江西省吉安市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试文科数学试题（Word版含答案）

吉安市名校2022-2023学年高三上学期期中考试
数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（ ）
A．这五个社团的总人数为100
B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C．这五个社团总人数占该校学生人数的8%
D．从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%
3．已知是等比数列，若，且，则（　　）
A． B． C． D．
4．的展开式中的系数为（　　）
A．25 B．20 C．15 D．10
5．已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，则（　　）
A． B． C．－ D．
7．已知，且，，，则a，b，c三个数（ ）
A．至少有一个不小于0 B．都小于0
C．至少有一个不大于0 D．都大于0
8．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有
A．种 B．种 C．种 D．种
9．已知函数，则其图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．若随机变量，且.已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．将方程 的实数根称为函数 的“新驻点”．记函数 ， 的“新驻点”分别为a，b，c，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)
13．某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）,要在如图所示的6个点上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则不同的安装方法共有____________种．（用数字作答）
14．已知平面向量，，，，满足，，，若，则的取值范围是________．
15．如图所示，已知双曲线：的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是　 　.
16．如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题：
①直线与直线所成角的大小为定值；
②二面角的大小为定值；
③若Q是对角线，上一点，则长度的最小值为；
④若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线有可能平行．
其中真命题有　 　（填序号）．
三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程。)
17．(本题12分)记的内角的对边分别为，已知.
(1)求的值；
(2)若的外接圆半径为，求的面积.
18．(本题12分)如图， 四棱锥中，底面为矩形，平面， 点在线段上.
(1)若为的中点， 证明：平面；
(2)若，，若二面角的大小为，试求的值.
19．(本题12分) 某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表：
　 良好及以下 优秀 合计
男 450 200 650
女 150 100 250
合计 600 300 900
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
其中，．
（1）计算并判断是否有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？
（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从该地区高一所有学生中，采取随机抽样的方法每次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取3次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的3名学生的体测等级为“优秀”的人数为，求的分布列和数学期望．
20．(本题12分)已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围.
21．(本题12分) 已知指数函数若函数，且满足：
（1）求指数函数的解析式；
（2）已知函数 ，若有两个不同的实根，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22．(本题10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
23．(本题10分) 选修4—5：不等式选讲
已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若，且，其中是的最小值，求的最小值.
答案
1．D
【分析】利用交集运算即可.
【详解】因为，，所以
故选：D
2．B
【分析】根据饼状图及有关数据得各个社团比例，计算人数及相应概率判断各选项．
【详解】这五个社团的总人数为，．A错误，C错误．
因为太极拳社团人数的占比为，所以脱口秀社团人数的占比为
，B正确．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，D错误．
故选：B．
3．C
【分析】分别求出和展开式中的系数，最后相加即可.
【详解】由题意，.
故答案为：C.
4．B
【分析】根据二项式系数的增减性即可求解.
【详解】的展开式中第5项的二项式系数为，要使最大，由二项式系数的单调性可知当时，最大，故，
故选：B.
5．D
【分析】由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，参变分离，构造函数，求出的最小值即可.
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，令，则，当时，所以在上单调递增，又因为，且，所以，
故选：D.
6．A
【分析】根据三角函数的诱导公式和基本关系式，求得，，结合正弦的倍角公式，即可求解.
【详解】由已知得，又因为，故
故答案为：A
7．A
【分析】由配方可得，从而得出答案.
【详解】
所以，则a，b，c三个数至少有一个不小于0
故选：A
8．C
【详解】分析：直接按照乘法分步原理解答.
详解：
按照以下顺序涂色，
,
所以由乘法分步原理得总的方案数为种.
所以总的方案数为96，
故答案为：C
点睛：（1）本题主要考查排列组合计数原理的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和排列组合的基本运算能力.解答排列组合时，要思路清晰，排组分清.（2）解答本题时，要注意审题，“有公共顶点的两个格子颜色不同”，如C和D有公共的顶点，所以颜色不能相同.
9．B
【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化情况分析判断.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除AC，
当时，当时，，，
所以，所以排除D，
故选：B
10．D
【分析】根据已知条件先得到的值即得到了的值，再利用抛物线的定义由的值可得到点的坐标为，要求的最小值即要在准线上找一点到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值.
【详解】随机变量，且，
1和关于对称，
即，
设为第一象限中的点，，
抛物线方程为：，，
解得即，
关于准线的对称点为，
根据对称性可得：
当且仅当三点共线时等号成立.如图
故选：D
【点睛】本题考查了利用抛物线的定义求解距离，定直线上的动点到两个定点的距离之和的最小值，关键是利用对称性把距离之和最小值转化为三点共线问题，属于较难题.
11．D
【分析】利用函数的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得，即，，从而得到，进而得到的值.
【详解】函数的图像向左平移个单位长度后，可得的图象.
由条件为奇函数，则，即
又，所以，即
关于的方程在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即，其中(为锐角) 在内有两个不同的解，
即方程即在内有两个不同的解，
由，则，
所以，
所以
则，即，
所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
12．A
【分析】根据新定义，利用指数式求得a；利用对数式，结合利用导数研究函数的单调性求得b；根据三角函数的性质求得c，从而求解
【详解】解：由f(x)=ex-x得f'(x)=ex-1，则由“新驻点”的定义得f(a)=f'(a)，即ea-a=ea-1，解得a=1；
由g(x)=lnx得，同理可得g(x)=g'(x)，即，
构造函数，则，
当x∈(0,+∞)时，r'(x)>0，r(x)单调递增，
∵r(1)=ln1-1=-1<0，，r(b)=0，
∴1由h(x)=sinx， 得h'(x)=cosx，则sinc=cosc，所以tanc=1，∴
所以c故答案为：A
13．
【分析】利用分步计数原理，先安排底面三个顶点，再安排底面的三个顶点.由分步计数原理可知所有的安排方法.
【详解】先安排下底面三个顶点共有种不同的安排方法，
再安排上底面的三个顶点共有种不同的安排方法，
由分步计数原理可知：共有种不同的安排方法，
故答案为：.
14．
【分析】根据已知得到与终点的轨迹，设出利用圆的相关知识即可求得的范围.
【详解】由已知，，，设
不妨设，，
可得
又因为，故
所以，即
所以，易知，终点在以为圆心，为半径的圆上.
终点在以为圆心，为半径的圆上.
的取值范围为与终点距离的取值范围
故
故答案为：
15．
【分析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，根据双曲线的对称性可知四边形 为平行四边形，由题意以及双曲线定义和余弦定理，进而得出 ，再利用双曲线的离心率公式变形得出双曲线 的离心率。
【详解】设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，根据双曲线的对称性可知，
四边形 为平行四边形，由题意以及双曲线定义，
可得 ，
则 ， ， ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以双曲线 的离心率为： 。
故答案为： 。
16．①②④
【分析】对于①，由正方体的性质可得，进行判断；对于②，由平面与平面所成的二面角为定值进行判断；对于③，将平面沿直线翻折到平面内，过C点做，，，此时的值最小，从而可求得结果；对于④，设，结合余弦定理可得在上必然存在一点E，使得二面角为， 设平面EBD与平面的交线为ED，则，过P点作BD的垂线PR，从而可得结论.
【详解】解：对于①，由正方体的性质可知，平面，又平面，
故，异面直线与直线的所成的角为定值，①正确；
对于②，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，
而这两个平面位置固定不变，故二面角为定值，②正确；
对于③，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，
过C点做，，，
此时，的值最小，
由题可知，，
，
则，
故，又，
故的最小值为，故③错误；
对于④，在正方体中易证平面，
设，则即为二面角的平面角，
又正方体棱长为1，故，则，
由余弦定理得，故，同理，
故在上必然存在一点E，使得二面角为，
即平面平面，平面EBD与平面的交线为ED，
则，过P点作BD的垂线PR，此时平面，
又平面，故，故④正确．
故答案为：①②④．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，再由余弦定理得，代入可求;
（2）利用正弦定理得到，再依次求出的值，最后利用三角形面积公式求得结果.
（1）
在中，由正弦定理及已知，得.
又，由余弦定理得
所以.
（2）
在中，由正弦定理得，
则，
由（1）得，
，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值，即可得解.
（1）
证明：连接交于，连接，
因为四边形为矩形，为的中点，
又因为为的中点，则，
因为平面，平面，因此，平面.
（2）
解：由题设平面，四边形为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
平面，平面，，
所以，，
则、、、，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
易知平面的一个法向量为，
由题可得，
因为，解得，此时.
19．
（1）解：依题意， 的观测值 ，
故有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系．
（2）解：依题意，体测结果等级为“优秀”的概率为 ，
的取值有0，1，2，3，
则 ， ，
， ，
则 的分布列为：
0 1 2 3
P
所以 的数学期望 ．
【分析】（1）根据公式求出K2的观测值，结合表中数据即可判断是否有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；
（2）写出随机变量的可能取值，求出相应的概率，列出分布列，求出数期望即可.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由题意，建立关于的方程组，求解方程组即可得答案；
（2）设，若直线的斜率存在，设的方程为，联立方程组，由韦达定理及，可得，且，进而可得；当直线的斜率不存在时，易得.综上，即可得答案.
(1)
解：不妨设左焦点为，上顶点为，则，
所以，
因为直线与椭圆相交于和两点，且，
所以将点的坐标代入椭圆的方程，得，
联立方程组，解得，
所以椭圆的方程为；
(2)
解：设，
若直线的斜率存在，设的方程为，联立方程组，
消去得，则，
又，所以，且，即，则，
因为，
所以，整理得，
则，且恒成立，
所以，
又，且，
所以，即；
当直线的斜率不存在时，，又，解得，
所以
综上，的取值范围为.
21．
（1）解法1：
令，则；
由于为指数函数，故 ，
解法2：
设
（2）解：由题意知： ，即可
若，则 ，
若则
（ⅰ）当，即时
符合，不符合；
则，
（ⅱ）当，即时
不符合，
综上所述：的取值范围是
【分析】（1） 解法1：利用，令，则，再利用为指数函数得出k的值，从而得出指数函数f(x)的解析式；
解法2：
设 ，再利用以及函数的解析式和代入法，进而得出实数k的值，再利用 进而得出b的值， 从而得出指数函数f(x)的解析式。
（2） 由题意知分段函数的解析式为，再利用分类讨论的方法和方程求解方法以及不等式求解方法，进而得出实数的取值范围。
22．（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos2t＋sin2t=1消参数得普通方程：（x－4）2＋（y－5）2＝25 ，再根据将普通方程化为极坐标方程：（2）将代入得得，也可利用直角坐标方程求交点，再转化为极坐标
试题解析： （1）∵C1的参数方程为
∴（x－4）2＋（y－5）2＝25（cos2t＋sin2t）＝25，
即C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，
把代入（x－4）2＋（y－5）2＝25，
化简得：.
（2）C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，
∴C1与C2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.
∴C1与C2交点的极坐标为.
考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程
23．(1)
(2)最小值为
【分析】（1）分情况讨论将绝对值不等式转化为分段函数，解不等式即可；根据（2）由（1）知，再根据“1”的代换，根据基本不等式计算得解.
（1）
函数.
因为，
所以等价于，或，或，
解得，或，或
即不等式的解集为；
（2）
由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，
故，即，则，
，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
则，故的最小值为.