人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 6.3.2二项式系数的性质与杨辉三角 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
6.3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质
1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.
2.理解二项式系数的性质并灵活运用.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
答案
问题导学 　　　　新知探究 点点落实
知识点一　“杨辉三角”与二项式系数的性质
(a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
思考1　从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
答案　在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；
在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
答案
思考2　计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？
答案　2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.
思考3　二项式系数的最大值有何规律？
答案　n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大.
1.杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是 ，与这两个1等距离的项的系数 .
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 ，即 .
1
相等
和
答案
2.二项式系数的性质
性质 内容
对称性 ，即二项展开式中，与首末两端“ ”的两个
相等.
增减性 与最大值 如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项 的二项式系数最大.
如果n为奇数，那么其展开式中间两项 与 的二项式系数相等且同时取得最大值.
等距离
二项式系数
二项式 系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于 ，即
＝ .
奇数项的二项式系数之和等于 项的二项式系数之和，都等于2n－1，即 ＝ .
2n
2n
偶数
2n－1
答案
返回
类型一　与杨辉三角有关的问题
例1　如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值.
解　由题意及杨辉三角的特点可得
S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)
解析答案
反思与感悟
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
反思与感悟
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
解析答案
跟踪训练1　(1)如图数表满足：①第n行首尾两数
均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则
第n(n≥2)行的第2个数是_________.
解析　由图中数字规律可知，第n行的第2个数是
1
2　2
3　4　3
4　7　7　4
5　11　14　11　5
…　　…　　…
(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成
0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，
第1次全行的数都为1的是第1行，第2次
全行的数都为1的是第3行，…，第n次全
行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是___.
解析　观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，
故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；
∵n＝6 26－1＝63，
故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，
第61行共有32个1.
2n－1
32
解析答案
解析答案
类型二　求展开式的系数和
例2　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
解　当x＝1时，(1－2x)7＝(1－2)7＝－1，
题中等式等号右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.
当x＝0时，a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.
解析答案
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1， ①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37， ②
由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37，
解析答案
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
解　由展开式，知a1，a3，a5，a7均为负，a0，a2，a4，a6均为正，
∴由(2)中①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－1＋37，
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝37＝2 187.
反思与感悟
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2　在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.
解　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，
又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
解析答案
类型三　二项式系数性质的应用
例3　已知f(x)＝( ＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项.
反思与感悟
解　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，
又展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间的项，
解析答案
反思与感悟
展开式的通项公式为
∴展开式中系数最大的项为
反思与感悟
1.二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2.展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，
An，且第r＋1项最大，应用 解出r，即得出系数的最大项.
反思与感悟
跟踪训练3　已知 展开式中的二项式系数的和比(3a＋2b)7展开式的二项式系数的和大128，求 展开式中的系数最大的项和系数最小的项.
当r＝4时，展开式中的系数最大，
即T5＝70x4为展开式中的系数最大的项；
当r＝3或5时，展开式中的系数最小，
即T4＝－56x7，T6＝－56x为展开式中的系数最小的项.
解析答案
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解析答案
达标检测
1.已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋…a10x10，则a8等于(　　)
A.180 B.－180
C.45 D.－45
1
2
3
4
A
解析答案
B
1
2
3
4
解析答案
3.若 的展开式的各项系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A.10 B.20
C.30 D.120
解析　由2n＝64，得n＝6.
B
1
2
3
4
解析答案
4.已知(1－x)8的展开式，求：
(1)二项式系数最大的项；
解　因为(1－x)8的幂指数8是偶数，
所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，
(2)系数最小的项.
解　二项展开式系数的最小值应在各负项中确定.
由题意知第4项和第6项系数相等且最小，
1
2
3
4
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规律与方法
1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.
2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0、1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握.
3.注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数.
(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0,1,2，…，n}的范围.