人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 6.3《二项式定理》教学设计1

《二项式定理》教学设计
一、问题引入
让学生写出完全平方公式和完全立方公式:
,
.
教师提出以下问题:
(1)观察以上展开式,分析其运算过程,你能发现什么规律
(2)根据你发现的规律,你能写出的展开式吗
(3)进一步地,你能写出的展开式吗
学生先独立思考,然后小组讨论交流,代表展示讨论交流的结果.
根据多项式的乘法法则,
追问1:展开式中的每一项是如何得到的
提示:是2个相乘,其展开式中的每一项都是从一个中选一项(选或,再从另一个中选一项(选或,然后相乘得到的.
追问2:在合并同类项之前,的展开式中共有多少项 根据是什么
提示:由分步乘法计数原理可知,在合并同类项之前,的展开式共有项.
追问的展开式中的每一项是否都是的形式构成的
提示:每一项都是.
追问4:你能分析的展开式中形如的同类项的个数吗
提示:当时,,这是由2个中都不选得到的.因此,出现的次数相当于从2个中取0个(都取)的组合数,即只有1个.
当时,,这是由1个中选,另1个中选得到的.由于选定后,的选法也随之确定,因此,出现的次数相当于从2个中取1个的组合数,即共有2个.
当时,,这是由2个中都选得到的.因此,出现的次数相当于从2个中取2个的组合数,即只有1个.
所以,.
设计意图:通过问题串引入二项式定理,让学生体会知识的发展是建立在已有的知识基础上的.通过分析已有知识得出规律,进而发展构建新知识.
二、概念形成
问题1:仿照上述过程,你能利用分步乘法计数原理,写出的展开式吗
提示:根据以上规律,可以得到:
,
.
问题2:你能猜想出的展开式吗
提示:猜想:.
追问:你能说明这一猜想的正确性吗
学生思考、讨论、交流.
教师找几名代表就这一猜想的正确性进行说明,教师给予适当的评价与指导.
提示:由于是个相乘,每个在相乘时有两种选择,选或,而且每个中的或都选定后,才能得到展开式的一项.因此,由分步乘法计数原理可知,在合并同类项之前,的展开式共有项,其中每一项都是的形式.
对于每个,对应的项是由个中选,另外个中选得到的.由于选定后,的选法也随之确定,因此,出现的次数相当于从个中取个的组合数.这样,的展开式中,共有个,将它们合并同类项,就可以得到上述二项展开式.
设计意图:通过得出猜想,并说明其正确性,让学生体会从特殊到一般的思想方法,体会归纳猜想在知识产生过程中的重要性.
三、概念深化
1.有关概念.
.
该公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式,其中各项的系数叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.
对二项式定理的说明:
(1)只要是两项和的次幂的形式都可以用二项式定理展开.
(2)与的值相同,但展开式的第项却不一定相同.
(3)二项式系数的下标为,上标由0递增至.
(4)通项指的是第项,该项的二项式系数为.
(5)公式左边的式子称为二项式,右边的式子称为二项展开式.
(6)字母按降幂排列,指数由递减到0;字母按升幂排列,指数由0递增到.
组织学生分析二项展开式的结构特点,教师要强调二项式系数是与二项式的次数有关的组合数.
2.教师提出以下问题引导学生理解二项式定理:
(1)二项展开式有多少项
提示:项.
(2)各项的次数有什么规律
提示:各项的次数都等于的次数.
(3)如果令,你能写出二项式的展开式吗 从函数的观点看这个展开式,它是一个什么函数
提示:,它是一个一元次多项式函数.
学生通过观察二项式定理的表达式回答以上问题.
3.对于二项展开式的通项,教师提出以下问题帮助学生理解:
(1)如果把看作一个数列的通项公式,这个数列有多少项
提示:项.
(2)字母代表的是什么
提示:只是一种符号,可以是任意的数或式子.
学生思考、讨论解答以上问题,教师点评指导.
设计意图:通过提出问题,引导学生思考,强化记忆,辨析概念,加深学生对二项式定理的理解与认识.
四、应用举例
例1 求的展开式.
解:根据二项式定理,
.
教师提出问题:式子中,谁相当于二项式定理中的,谁相当于二项式定理中的
学生完成解答.
例2 (1)求的展开式的第4项的系数;
(2)求的展开式中的系数.
教师提出问题:的展开式的第4项的二项式系数与第4项的系数的区别是什么
提示:一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念.
解:(1)的展开式的第4项是
因此,展开式第4项的系数是280.
(2)的展开式的通项是
根据题意,得.
因此,的系数是.
教师找两名学生板演,其他学生自己独立完成.教师根据学生的完成情况进行点评、指导.在符号、系数等问题上适当强调.
设计意图:通过例题让学生熟悉二项式定理并能应用,促进学生记忆公式,培养学生的数学运算核心素养.
巩固练习:教材第31页练习第15题.
学生独立完成,然后教师订正答案.对于前4题,学生可以独立完成.对于第5题,教师可指定几名学生回答解题思路与方法,通过这个题目,可以考查学生对二项式定理原理的理解情况.
设计意图:通过利用二项式定理解决问题,及时巩固所学知识,形成解决二项式定理有关问题的一般方法,进一步发展学生的数学运算与逻辑推理核心素养.
五、归纳总结
教师引导学生回顾本节课学习的主要内容,并让学生回答下列问题:
(1)二项式定理是如何得出的 二项式定理的内容是什么 二项式定理中的字母分别可以表示什么
(2)二项展开式的通项如何表示
(3)某一项的二项式系数与这一项的系数的区别是什么 如何求二项式系数及项的系数
设计意图:通过提出问题,帮助学生回顾二项式定理的推导过程及二项式定理的有关概念,总结用二项式定理解决问题的方法,形成完整的知识体系.
六、布置作业
教材第34页习题6.3第2~6题.
板书设计:
6.3.1二项式定理 一、问题引入 二、概念形成 该公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式,其中各项的系数叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项: 三、概念深化 四、应用举例 例1 例2 五、归纳总结 六、布置作业
1 / 6