人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 6.3《二项式定理》教学设计2
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 6.3《二项式定理》教学设计2 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 252.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 11:41:24 | ||
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文档简介
《二项式定理》教学设计
一、情境引入
问题1:若今天是星期一,30天后是星期几 怎么算
提示:将问题转化为求30被7除后余数是多少的问题再求解.
问题2:若今天是星期一,天后是星期几 怎么算
提示:将问题转化为求被7除后余数是多少的问题再求解.
教师指出:要解决这个问题需研究的展开式是什么.这就是本节课要学的内容,学完本课后,此题就不难求解了.
设计意图:从学生熟悉的实例出发,激发学生的学习兴趣,通过相关问题的提出,使学生明确本节课的学习内容.
二、探究新知
1.对于,要求学生写出它们的展开式.
教师将以上各展开式的各项系数整理成如下形式:
问题3:请你找出以上数据上下行之间的规律.
提示:下一行中间的各个数(除“1”外)分别等于上一行与该数位置相邻的两数之和.
问题4:以的展开式为例,说说各项字母指数的规律;项数与二项式的次数的关系;展开式中第二项的系数与二项式的次数的关系;你能初步给出的展开式的形式吗 (不考虑系数)
提示:①展开式每一项的某一字母指数降幂排列,另一字母指数升幂排列,且两个字母的指数和等于二项式的次数;
②展开式的项数比二项式的次数多1;
③展开式中第二项的系数等于二项式的次数.
初步归纳出下式:
.
设计意图:以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”,起到了“先行组织者”的作用.虽然教师将此“三角形”以定论的形式呈现给学生,但是它毕竟不是最后的结果,而是一种寻找系数规律的有效工具,便于学生将新的学习材料同自已原有的认知结构联系起来.
练习:展开.
学生根据刚才的讨论尝试写出的展开式,集体订正.
教师作阶段性评价,告诉学生以上形式的系数表是我国数学史上的一个伟大成就,称为杨辉三角.它的发现比欧洲人帕斯卡早500年左右.后面我们会系统探究杨辉三角的性质与应用.
2.思考:如何展开以及呢 用刚才的方法写展开式还适合吗
设计意图:让学生感到仅了解杨辉三角是不够的,激发学生继续学习新的更简捷方法的欲望.
师:为了寻找规律,我们将中的第一个括号中的字母分别记成,第二个括号中的字母分别记成请再次用多项式乘法法则计算下式:
.
生:原式
.
设计意图:上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”,用以激活学生认知结构中已有的知识与经验,便于学生发现规律,学习新知识.
问题5:(1)在刚才的展开式中,以项为例,有几种情况相乘可得到项 这里的字母各来自哪个括号
(2)既然以上项中的字母分别来自4个不同的括号,你能用组合数来表示项的系数吗
(3)你能将问题(2)所述的意思改编成一个含有组合数的命题吗
提示:是4个相乘,展开时,每个中只能选一项(选或个中任取2个个,然后相乘.追问:项不同的取法有几种
是由2个中选,另2个中选得到的.由于选定后,的选法也随之确定,因此,出现的次数相当于从4个中取2个的组合数,即项的系数为.
问题6:请用类比的方法,求出的展开式中的其他各项系数,并将式子括号中的系数全部用组合数的形式进行填写.
学生结合刚才的分析,小组进行讨论,汇报结果:
.
教师要求学生将前面给出的系数三角形写成组合数的形式.
学生写出后汇报:
;
;
;
;
.
问题7:观察这些式子,现在你能尝试写出与的展开式吗
学生写出后汇报与的展开式,找2名学生上黑板板演.
;
.
教师指出:这就是二项式定理.
问题8:(1)二项式定理等号右边中的各项的系数、各项的次数、项数的特点分别是什么
(2)二项式定理等号右边中的结构特征是什么 哪一项最具有代表性
学生思考讨论,由此得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念:
.
该公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式,其中各项的系数叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.
问题9:在二项式定理中,令,得到怎样的公式
提示:.
设计意图:教师用边讲边问的形式,让学生自已总结、发现规律,挖掘学习材料潜在的意义,从而使学习成为有意义的学习.
三、典型例题
例1 用二项式定理展开:
(1);(2).
解:(1).
(2)
.
例2 (1)求的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数;
(2)求的展开式中的系数.
解:(1)的展开式的第4项是.
因此,展开式第4项的系数是280,展开式第4项的二项式系数为.
(2)的展开式的通项是.
根据题意,得.
因此,的系数是.
四、课堂小结
在本节课中你学到了哪些知识 你认为学会这些知识的关键是什么 在学习中你认为又该注意哪些问题 二项式定理有什么应用
(1)本节课我们主要学习了二项式定理及其应用.
(2)关键是掌握二项式定理的表达式以及展开式的通项.
(3)要正确区别“项的系数”和“二项式系数”.
(4)将二项式定理中的字母赋上适当的值,就可以求一些特殊的多项式的值.
师生活动
教师考察学生的掌握情况.学生自己总结,并对本节知识点进行梳理,学生间相互交流与补充.
设计意图:引领学生感悟数学认知过程,提升学生的归纳总结能力.
五、布置作业
教材第31页练习第题.
板书设计:
6.3.1 二项式定理 一、情境引入 二、探究新知 1.. 该公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式,其中各项的系数叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:. 2.在二项式定理中,令,得 三、典型例题 例1 例2 四、课堂小结 五、布置作业
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一、情境引入
问题1:若今天是星期一,30天后是星期几 怎么算
提示:将问题转化为求30被7除后余数是多少的问题再求解.
问题2:若今天是星期一,天后是星期几 怎么算
提示:将问题转化为求被7除后余数是多少的问题再求解.
教师指出:要解决这个问题需研究的展开式是什么.这就是本节课要学的内容,学完本课后,此题就不难求解了.
设计意图:从学生熟悉的实例出发,激发学生的学习兴趣,通过相关问题的提出,使学生明确本节课的学习内容.
二、探究新知
1.对于,要求学生写出它们的展开式.
教师将以上各展开式的各项系数整理成如下形式:
问题3:请你找出以上数据上下行之间的规律.
提示:下一行中间的各个数(除“1”外)分别等于上一行与该数位置相邻的两数之和.
问题4:以的展开式为例,说说各项字母指数的规律;项数与二项式的次数的关系;展开式中第二项的系数与二项式的次数的关系;你能初步给出的展开式的形式吗 (不考虑系数)
提示:①展开式每一项的某一字母指数降幂排列,另一字母指数升幂排列,且两个字母的指数和等于二项式的次数;
②展开式的项数比二项式的次数多1;
③展开式中第二项的系数等于二项式的次数.
初步归纳出下式:
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设计意图:以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”,起到了“先行组织者”的作用.虽然教师将此“三角形”以定论的形式呈现给学生,但是它毕竟不是最后的结果,而是一种寻找系数规律的有效工具,便于学生将新的学习材料同自已原有的认知结构联系起来.
练习:展开.
学生根据刚才的讨论尝试写出的展开式,集体订正.
教师作阶段性评价,告诉学生以上形式的系数表是我国数学史上的一个伟大成就,称为杨辉三角.它的发现比欧洲人帕斯卡早500年左右.后面我们会系统探究杨辉三角的性质与应用.
2.思考:如何展开以及呢 用刚才的方法写展开式还适合吗
设计意图:让学生感到仅了解杨辉三角是不够的,激发学生继续学习新的更简捷方法的欲望.
师:为了寻找规律,我们将中的第一个括号中的字母分别记成,第二个括号中的字母分别记成请再次用多项式乘法法则计算下式:
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生:原式
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设计意图:上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”,用以激活学生认知结构中已有的知识与经验,便于学生发现规律,学习新知识.
问题5:(1)在刚才的展开式中,以项为例,有几种情况相乘可得到项 这里的字母各来自哪个括号
(2)既然以上项中的字母分别来自4个不同的括号,你能用组合数来表示项的系数吗
(3)你能将问题(2)所述的意思改编成一个含有组合数的命题吗
提示:是4个相乘,展开时,每个中只能选一项(选或个中任取2个个,然后相乘.追问:项不同的取法有几种
是由2个中选,另2个中选得到的.由于选定后,的选法也随之确定,因此,出现的次数相当于从4个中取2个的组合数,即项的系数为.
问题6:请用类比的方法,求出的展开式中的其他各项系数,并将式子括号中的系数全部用组合数的形式进行填写.
学生结合刚才的分析,小组进行讨论,汇报结果:
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教师要求学生将前面给出的系数三角形写成组合数的形式.
学生写出后汇报:
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问题7:观察这些式子,现在你能尝试写出与的展开式吗
学生写出后汇报与的展开式,找2名学生上黑板板演.
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教师指出:这就是二项式定理.
问题8:(1)二项式定理等号右边中的各项的系数、各项的次数、项数的特点分别是什么
(2)二项式定理等号右边中的结构特征是什么 哪一项最具有代表性
学生思考讨论,由此得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念:
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该公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式,其中各项的系数叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.
问题9:在二项式定理中,令,得到怎样的公式
提示:.
设计意图:教师用边讲边问的形式,让学生自已总结、发现规律,挖掘学习材料潜在的意义,从而使学习成为有意义的学习.
三、典型例题
例1 用二项式定理展开:
(1);(2).
解:(1).
(2)
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例2 (1)求的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数;
(2)求的展开式中的系数.
解:(1)的展开式的第4项是.
因此,展开式第4项的系数是280,展开式第4项的二项式系数为.
(2)的展开式的通项是.
根据题意,得.
因此,的系数是.
四、课堂小结
在本节课中你学到了哪些知识 你认为学会这些知识的关键是什么 在学习中你认为又该注意哪些问题 二项式定理有什么应用
(1)本节课我们主要学习了二项式定理及其应用.
(2)关键是掌握二项式定理的表达式以及展开式的通项.
(3)要正确区别“项的系数”和“二项式系数”.
(4)将二项式定理中的字母赋上适当的值,就可以求一些特殊的多项式的值.
师生活动
教师考察学生的掌握情况.学生自己总结,并对本节知识点进行梳理,学生间相互交流与补充.
设计意图:引领学生感悟数学认知过程,提升学生的归纳总结能力.
五、布置作业
教材第31页练习第题.
板书设计:
6.3.1 二项式定理 一、情境引入 二、探究新知 1.. 该公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式,其中各项的系数叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:. 2.在二项式定理中,令,得 三、典型例题 例1 例2 四、课堂小结 五、布置作业
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