人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 6.3 《二项式定理》课时1 教学设计

《二项式定理》教学设计
课时1二项式定理
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
二项式定理 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 创造迁移能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 逻辑推理 数学抽象 数学运算 【考查内容】 根据二项式定理解决与二项展开式有关的问题 【考查题型】 选择题、填空题
二项式系数的性质 逻辑推理 数学运算
一、本节内容分析
本节内容是对二项式定理的研究与学习,主要介绍二项式定理、二项式系数的性质及应用,这部分内容也是高考重点,二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础,具有较高应用价值和思维训练价值.在计数原理之后学习二项式定理,一方面是因为它的证明要用到计数原理,是计数原理的一个应用.另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备.同时二项式系数是一些特殊的组合数,由二项式定理可推导出一些组合数的恒等式,这对组合数的认识起到了很好的促进作用.通过本节的学习,学生能掌握二项式定理及二项式系数的性质,并能运用于计算或证明一些简单的问题.学生通过体验二项式定理是代数中乘法公式的推广和提出二项式定理的推导过程,理解从特殊到一般的思维方法,锻炼观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.二项式定理 2.二项式系数的性质 逻辑推理 数学运算 数学抽象 核心素养
二、学情整体分析
知识上学生已经学习了两个计数原理、组合数的性质等,已经具备了对二项式部分性质的归纳和证明的能力.同时高二的学生已经基本接触了高中四大数学思想方法,即函数与方程、数形结合、转化化归、分类讨论思想,为突破本节课的难点奠定了基础.由于学生的学习特点存在较大的差异,而通过在教学中长期开展自主探究等学习性活动,学生间加强开展团结互助、合作交流等学习方式,学生能够克服学习差异性问题,学生之间也已经具备了一定的解决问题的能力,课堂上学生在教师的适当指导下,能够完成本节课的难点.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
【教学目标设计】
1.能用计数原理证明二项式定理,掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式,能解决与二项式定理有关的简单问题.
2.理解和掌握二项式系数的性质,并会应用性质解决相应问题,理解和初步掌握赋值法及其应用.
【教学策略设计】
1.本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、归纳得到二项式定理,应该为学生创造积极探究的平台.因此,在教学设计中,采取问题引导方式来组织课堂教学.问题的设置给学生留有充分的思考空间,让学生围绕问题主线,通过自主探究达到突出教学重点,突破教学难点.
2.在教学过程中,重视二项式定理性质的推导过程,由直观图形和杨辉三角结合,发现二项式定理的性质,并通过说明论证进行确认,让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程,同时,定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范.因此,本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有___________________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.证明并掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式,能解决与二项式定理有关的简单问题.
2.学生通过观察、讨论、交流、归纳得到二项式系数的性质,掌握二项式系数的性质,并会应用性质解决相应问题,理解和初步掌握赋值法及其应用.
难点 1.能解决与二项式定理有关的简单问题.
2.从函数的角度理解二项式系数的增减性与最大值,并论证.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:今天是星期二,那么7天后是星期几 15天后呢 30天后呢 天后呢
【学生短暂思考后可以回答7天后是星期二,15天后是星期三,30天后是星期四,但对天后一时回答不出来,教师鼓励学生说说7天、15天、30天后的推算过程】
师:星期几是以7为周期的,如果我们把8转化成,那么.如果我们能把展开,是不是就能得到除以7的余数,从而推算出天后是星期几了呢
师:展开式中的系数会有什么性质 本节课我们一起来探究.
【设计意图】
由日常生活中的实例引出课题,提高学生学习兴趣让学生自主思考,由学生自己总结出数据较小时的推算规律,教师引导,星期几是以7为周期的,为引入做准备.
教学精讲
师:请看下面的探究问题.
【情景设置】
探究二项式定理
我们在初中学习了,试用多项式的乘法推导,的展开式.并说出两个展开式有何特点
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
生:的展开式有4项,每项的次数是的展开式有5项,每项的次数为4.
【先学后教】
教师引导学生用多项式的乘法得到,的展开式,从到和4,实际上是一个“同样方法”的模仿过程,学生逐渐体会到用“联系”的观点解决问题.
师:我们继续思考问题.
【情景设置】
探究二项式的系数
4个袋子中各有1个红球和1个白球,每次从4个袋子中各取一个球,有什么样的取法 各种取法有多少种 你能结合这个例子用组合的观点说明是如何展开的吗
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
生:每次从4个袋子中各取一个球,有5种取法,分别是4红(种取法)、3红1白(种取法)、2红2白(种取法)、1红3白(种取法)、4白(种取法),由于,从每个中选或选相乘即得展开式中的一项.若都选,则得;若有一个选,其余三个选,则得;若有两个选,其余两个选,则得;若有三个选,其余一个选,则得;若都选,则得.
【设情境 促理解】学生通过完成从4个袋子中取小球的情境问题,更好地理解用组合的观点说明的展开式.
师:同学们继续思考下面的问题.
【情景设置】
探究二项式定理
你能用类比方法写出的展开式吗
【学生思考,回答问题,教师予以肯定】
生:是个相乘,每个在相乘时,有两种选择,选或选,由分步乘法计数原理可知展开式共有项(包括同类项),其中每一项都是,的形式,对于每一项,它是由个选了个选了得到的,它出现的次数相当于从个中取个的组合数.
【猜想探究能力】学生通过对,展开式的探究类比、猜想得到的展开式,并能从组合的角度理解每一项,这是数学教学中提倡培养的,是一种创造性的思维活动,在注重思维结果的同时,更注重思维过程.提升猜想探究能力.
师:同学们回答正确,那么我们就得到二项式定理如下.
【要点知识】
二项式定理
.
师:定理中右边展开式中项数、指数、二项式系数有何特征
【学生思考,回答问题,教师予以肯定并进行多媒体展示】
【归纳总结】
二项式定理的特征
1.二项展开式:公式中右边的多项式叫做的二项展开式,二项展开式中共有项.
2.二项展开式中的指数:字母的指数和为,字母的指数由递减至0,同时字母的指数由0递增至.
3.二项式系数:二项展开式中各项的系数叫做二项式系数.
4.通项:定理中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项.
【以学论教】
教师引导学生对二项式定理从项数、指数、系数通项等方面总结归纳,得出新概念:二项式系数和通项公式,展现了以学论教的教学策略.
师:我们已经知道了二项式定理的内容,下面我们一起来挑战如何用二项式定理解决问题.
【典型例题】
二项式定理的正用和逆用
例1 (1)求的展开式;
(2)化简:.
【学生思考,回答问题,教师予以肯定,教师展示解题过程】
【典型解析】
二项式定理的正用和逆用
解:(1)方法一
.
方法二 .
(2)原式
.
【发现创新能力】
一题多解例1(1)展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征,准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件,对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便,通过例1培养学生的发现创新能力.
师:通过例1,同学们能不能归纳总结二项式定理的双向功能
【学生归纳总结,得出结论,教师补充并展示】
【方法策略】
二项式定理的正用和逆用
1.正用:将二项式展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开,对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开.
2.逆用:将展开式合并成二项式的形式,即二项式定理从右到左使用是合并,对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.
【先学后教】
由上述知识的讲授,二项式定理的正用和逆用,学生在学习了这些知识的基础上再接受灵活将二项式展开的方法,展现了先学后教的教学策略.
师:请同学们及时整理,并完成巩固练习
【巩固练习】
二项式定理的正用和逆用
1.用二项式定理展开.
2.化简:.
【学生书写答题,独立完成,教师予以肯定.教师利用多媒体展示学生解题过程,规范解答,纠正错误】
生解:1.方法一
.
方法二
.
生解:2.原式
.
【分析计算能力】
通过巩固练习题增强学生对二项式定理的正逆用的理解和掌握力,培养学生的分析计算能力.
师:接下来我们来解决展开式中的特定项问题
【典型例题】
求展开式中的特定项
例2 (1)求的展开式的第4项的系数;
(2)求的展开式中的系数.
【学生思考,回答问题,教师予以肯定,教师展示解题过程】
【典型解析】
求展开式中的特定项
解:(1)的展开式的第4项为.因此,展开式的第4项的系数为280.
(2)的展开式的通项是.
根据题意,得,所以.
因此,的系数是.
【概括理解能力】
题干中出现的是“第4项的二项式系数”与“第4项的系数”,引导学生区分项的系数与二项式系数,提升概括理解能力.
【自主学习】
“求的项的系数”,学生可通过通项公式确定该项是展开式中的第几项,即确定的取值,从而求出所求项.学生总结通项公式的作用.
【先学后教】
由上述知识的讲授,学生在学习了这些知识的基础上再接受求二项展开式的特定项的方法,展现了先学后教的教学策略.
师:通过例2,同学们能不能归纳总结求二项展开式的特定项的常用方法
【学生归纳总结,得出结论,教师补充并展示】
【方法策略】
求展开式中的特定项
1.二项式系数都是组合数,它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.
2.求二项展开式的特定项的常用方法,一般是先写出通项公式,合并通项公式中同一字母的指数后,根据要求确定的值后再求出系数.
师:通过以上两个题型的学习,同学们已经掌握了二项式定理的内容.大家还记得我们的引例吗 现在你能推算出再过天的那一天是星期几吗
【情景设置】
二项式定理的实际应用
今天是星期二,天后是星期几
解:,,
故被7除余数为天后是星期三.
【以学论教】
回扣引例“第天是星期几 ”,学生通过本节知识的学习解决问题.使学生体会数学的应用价值,应用数学知识解决生活中的问题.
师:同学们,本节课我们学习了二项式定理,下面请同学们回忆一下本节课的重点概念和公式.
生:(1)二项式定理:).
(2)二项式定理的特征:二项展开式共有项;二项式系数,直到.
通项公式:.
师:非常好！这节课研究过程中体会了哪些数学方法
【课堂小结】
二项式定理
1.数学知识
(1)二项式定理
.
(2)二项式定理的特征
2.数学方法
(1)归纳、猜想、证明的数学方法.
(2)用计数原理分析二项式的展开过程.
【设计意图】
本课时通过引导学生归纳猜想、类比学习获得二项式定理,培养学生猜想、创新能力,提升逻辑推理、数学运算、数学建模核心素养.
教学评价
学完本节课,学生应该掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式,并能够利用通项公式解决展开式中特殊项的问题;理解和掌握二项式系数的性质,会求二项式系数最大的项;理解和初步掌握赋值法及其应用,会用赋值法求系数和,理解二项式系数的增减性,会求二项式系数最大值,初步掌握用待定系数法求展开式中系数最大的项.
应用所学知识,完成下面各题.
1.化简得( )
A.
B.
C.
D.
解析:原式.
答案:B
2.求的展开式的第三项的系数和常数项.
解析:,所以第三项的系数为.
由通项公式,令,得,所以常数项为.
3.已知,若,求的值.
解析:展开式的通项为,令,得,解得,即.
令,得.
所以.
【设计意图】
3个题目分别针对二项展开式的逆运用、展开式中的特定项、系数和问题,通过演练,学生锻炼自己的推测解释、猜想探究、分析计算、发现创新、解决问题的学科能力,从而达到逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养目标要求.
教学反思
本节课以“二项式定理”及其性质的形成过程为主线,让学生由特殊到一般,演绎、归纳,得出定理,培养学生猜想、归纳能力,整节课以学生为主体,师生互动,体现了新课标的教学理念.
以学生为主体,让学生自己去探索、发现、再创造,最能调动学生的积极性,最有利于培养学生的数学能力,特别是创造性能力,从数学教育对人的发展的意义看,有效地理解、主动地探索的认识过程必然对学生心理意志、情感、品质的成长与完善有所帮助,数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身,其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质、生命成长.
【以学论教】
本节课是二项式定理及二项式系数性质的探究,在教学中注重以学生为主体,教师引导学生自己去探索、发现、再创造,调动学生的学习积极性,达成知识体系和核心素养的培养.
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