人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 6.3 .2《二项式系数的性质》教学设计1
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 6.3 .2《二项式系数的性质》教学设计1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 622.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 11:43:47 | ||
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文档简介
《二项式系数的性质》教学设计
一、情境引入
1.由学生集体回顾上节课学过的相关知识:
(1)二项式定理及其特例;(2)二项展开式的通项;(3)二项式系数.
2.小张在进行投篮练习,共投了10次,只考虑是否投中,那么不难知道,投篮结果可以分成11类:投中0次,投中1次,投中2次……投中10次.而投中0次只有1(即)种情况,投入1次有种情况,投中2次有种情况……投中10次有种情况.因此,小张投篮10次,结果共有种情况.那么上式的结果是多少呢
这节课我们就来研究这类问题.
设计意图:通过先复习引入,调动学生已有的相关知识,再从学生熟悉的实例出发,激发学生的学习兴趣.
二、探索新知
活动一:初识二项式系数表及算术三角形
1.用计算工具计算的展开式的二项式系数,并填入下面的表格中:
通过计算、填表,你发现了什么规律
2.为了便于发现规律,上表还可以写成如下图所示的算术三角形:
观察上面的算术三角形,你还能发现什么规律
设计意图:学生通过填表的活动,巩固二项式定理的知识和二项式系数的运算,并发现二项式系数具有的一些规律;同时引导学生发现这样的表格不利于观察二项式系数的更多规律,进而引发思考:哪种表示形式更方便观察呢 借此引出算术三角形,为下面观察得出二项式系数的性质作准备.
活动二:合作交流探究二项式系数的性质
先观察二项式系数表和算术三角形,探究二项式系数的数字规律.然后与同一个学习小组的同学讨论交流各自的发现和想法,尝试证明这些性质.最后请学生代表展示学习成果:
1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
2.增减性与最大值
的展开式的二项式系数先增大,后减小.且当为偶数时,中间的一项取得最大值;当为奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值.
注意:在观察二项式系数的数字规律这一环节,教师要引导学生从不同的角度观察,如同一行横着看、上下两行看、斜着看、整体看、局部看等.“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,让学生感受从多角度思考数学问题的妙处.
设计意图:学生通过教师的引导,学习感受从多角度认识同一事物;经过独立的思考,为交流合作做好铺垫;通过学习小组的交流合作及成果展示,不同的想法得以展示,获得学习的成就感.同时可以对教材上没有出现的性质进行补充或者证明,教师要充分肯定学生在学习中的创新精神.
活动三:证明二项式系数的性质
问题1:如何用组合的意义解释二项式系数的对称性
提示:可利用公式得到这一性质.
设计意图:前面通过观察与归纳,概括出了二项式系数的对称性,该性质是二项式系数的性质之一.此处结合组合数的知识,给出了一个证明方法,让学生灵活运用知识,并感受思想方法的多样性和重要性.
问题2:如何证明二项式系数的对称性、增减性与最大值呢
提示:
方法一:利用组合数的意义,通过相邻项作商证明.
因为,
即,
所以,当,即时,随的增加而增大;由对称性知,当时,随的增加而减小.当是偶数时,中间的一项取得最大值;当是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值.
方法二:利用函数知识观察得到.
教师分步引导:
(1)的展开式的二项式系数按顺序排成一列,可以看成一个数列吗 可以看成是以为自变量的函数吗 它的定义域是什么
(2)分别画出和7时函数的图象,并观察分析它们的对称性、增减性与最大值.
(3)结合图象,发现直线将函数的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴.由此可得二项式系数的对称性、增减性与最大值.
设计意图:教师引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质,培养学生利用几何直观、数形结合的数学思想解决问题的能力.这一过程不仅有利于培养学生的数学核心素养,提高学生的数学思维,而且有利于学生理解本节课的核心数学知识,发展其数学应用意识.
活动四:求各二项式系数的和
问题3:如何利用的展开式求的展开式的各二项式系数的和
提示:已知,
令,得.
这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于.
设计意图:利用赋值法求各二项式系数的和,使学生体会赋值法的好处,发展学生的逻辑推理核心素养.
三、例题剖析
例 求证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
分析:奇数项的二项式系数的和为,
偶数项的二项式系数的和为.
由于中的可以取任意实数,因此我们可以通过对适当赋值来得到上述两个系数和.
证明:在展开式
中,
令,则得
即.
因此,,
即在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
练习
1.在的展开式中,与第5项的二项式系数相同的项是( )
A.第6项
B.第7项
C.第8项
D.第9项
2.在的展开式中,二项式系数最大的项是( )
A.第6项
B.第7项
C.第6项和第7项
D.第5项和第6项
答案:(点拨:的展开式中第5项的二项式系数为,又由二项式系数的对称性可知,是的展开式中第8项的二项式系数,故选C.)
2.C(点拨:的展开式共有12项,由二项式系数的性质可知中间两项与相等,且同时取得最大值.即二项式系数最大的项是第6项和第7项.)
设计意图:通过练习,巩固本节课所学内容.
四、归纳总结
教师引导学生回顾本节课学习的主要内容,并让学生回答下列问题:
(1)通过本节课的学习,你知道二项式系数有哪些性质 你还能发现其他的一些性质吗
(2)二项式系数与函数、数列有什么关系 如何用函数、数列的观点来研究二项式系数
(3)本节课体现了哪些重要的思想方法
设计意图:通过问题形式,回顾二项式系数的有关性质,总结归纳研究二项式系数的思想方法.
五、布置作业
教材第34页练习第1,2,3,4题.
板书设计:
二项式系数的性质 一、情境引入 二、探究新知 1.对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 2.增减性与最大值: 当是偶数时,中间的一项取得最大值;当是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值 3.各二项式系数的和: 三、例题剖析 四、归纳总结 五、布置作业
教学研讨:
进行研究性学习,并不是纯粹由学生独立去研究.学生能力有限,基础比较薄弱,必须在教师的引导下逐步研究问题.因此教师在培养学生研究问题的能力上,有着举足轻重的作用,适当进行引导对开阔学生的思维有着重要帮助.就这节课来说,着重应引导学生学会发现问题、探索问题、研究问题的方法.
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一、情境引入
1.由学生集体回顾上节课学过的相关知识:
(1)二项式定理及其特例;(2)二项展开式的通项;(3)二项式系数.
2.小张在进行投篮练习,共投了10次,只考虑是否投中,那么不难知道,投篮结果可以分成11类:投中0次,投中1次,投中2次……投中10次.而投中0次只有1(即)种情况,投入1次有种情况,投中2次有种情况……投中10次有种情况.因此,小张投篮10次,结果共有种情况.那么上式的结果是多少呢
这节课我们就来研究这类问题.
设计意图:通过先复习引入,调动学生已有的相关知识,再从学生熟悉的实例出发,激发学生的学习兴趣.
二、探索新知
活动一:初识二项式系数表及算术三角形
1.用计算工具计算的展开式的二项式系数,并填入下面的表格中:
通过计算、填表,你发现了什么规律
2.为了便于发现规律,上表还可以写成如下图所示的算术三角形:
观察上面的算术三角形,你还能发现什么规律
设计意图:学生通过填表的活动,巩固二项式定理的知识和二项式系数的运算,并发现二项式系数具有的一些规律;同时引导学生发现这样的表格不利于观察二项式系数的更多规律,进而引发思考:哪种表示形式更方便观察呢 借此引出算术三角形,为下面观察得出二项式系数的性质作准备.
活动二:合作交流探究二项式系数的性质
先观察二项式系数表和算术三角形,探究二项式系数的数字规律.然后与同一个学习小组的同学讨论交流各自的发现和想法,尝试证明这些性质.最后请学生代表展示学习成果:
1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
2.增减性与最大值
的展开式的二项式系数先增大,后减小.且当为偶数时,中间的一项取得最大值;当为奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值.
注意:在观察二项式系数的数字规律这一环节,教师要引导学生从不同的角度观察,如同一行横着看、上下两行看、斜着看、整体看、局部看等.“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,让学生感受从多角度思考数学问题的妙处.
设计意图:学生通过教师的引导,学习感受从多角度认识同一事物;经过独立的思考,为交流合作做好铺垫;通过学习小组的交流合作及成果展示,不同的想法得以展示,获得学习的成就感.同时可以对教材上没有出现的性质进行补充或者证明,教师要充分肯定学生在学习中的创新精神.
活动三:证明二项式系数的性质
问题1:如何用组合的意义解释二项式系数的对称性
提示:可利用公式得到这一性质.
设计意图:前面通过观察与归纳,概括出了二项式系数的对称性,该性质是二项式系数的性质之一.此处结合组合数的知识,给出了一个证明方法,让学生灵活运用知识,并感受思想方法的多样性和重要性.
问题2:如何证明二项式系数的对称性、增减性与最大值呢
提示:
方法一:利用组合数的意义,通过相邻项作商证明.
因为,
即,
所以,当,即时,随的增加而增大;由对称性知,当时,随的增加而减小.当是偶数时,中间的一项取得最大值;当是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值.
方法二:利用函数知识观察得到.
教师分步引导:
(1)的展开式的二项式系数按顺序排成一列,可以看成一个数列吗 可以看成是以为自变量的函数吗 它的定义域是什么
(2)分别画出和7时函数的图象,并观察分析它们的对称性、增减性与最大值.
(3)结合图象,发现直线将函数的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴.由此可得二项式系数的对称性、增减性与最大值.
设计意图:教师引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质,培养学生利用几何直观、数形结合的数学思想解决问题的能力.这一过程不仅有利于培养学生的数学核心素养,提高学生的数学思维,而且有利于学生理解本节课的核心数学知识,发展其数学应用意识.
活动四:求各二项式系数的和
问题3:如何利用的展开式求的展开式的各二项式系数的和
提示:已知,
令,得.
这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于.
设计意图:利用赋值法求各二项式系数的和,使学生体会赋值法的好处,发展学生的逻辑推理核心素养.
三、例题剖析
例 求证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
分析:奇数项的二项式系数的和为,
偶数项的二项式系数的和为.
由于中的可以取任意实数,因此我们可以通过对适当赋值来得到上述两个系数和.
证明:在展开式
中,
令,则得
即.
因此,,
即在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
练习
1.在的展开式中,与第5项的二项式系数相同的项是( )
A.第6项
B.第7项
C.第8项
D.第9项
2.在的展开式中,二项式系数最大的项是( )
A.第6项
B.第7项
C.第6项和第7项
D.第5项和第6项
答案:(点拨:的展开式中第5项的二项式系数为,又由二项式系数的对称性可知,是的展开式中第8项的二项式系数,故选C.)
2.C(点拨:的展开式共有12项,由二项式系数的性质可知中间两项与相等,且同时取得最大值.即二项式系数最大的项是第6项和第7项.)
设计意图:通过练习,巩固本节课所学内容.
四、归纳总结
教师引导学生回顾本节课学习的主要内容,并让学生回答下列问题:
(1)通过本节课的学习,你知道二项式系数有哪些性质 你还能发现其他的一些性质吗
(2)二项式系数与函数、数列有什么关系 如何用函数、数列的观点来研究二项式系数
(3)本节课体现了哪些重要的思想方法
设计意图:通过问题形式,回顾二项式系数的有关性质,总结归纳研究二项式系数的思想方法.
五、布置作业
教材第34页练习第1,2,3,4题.
板书设计:
二项式系数的性质 一、情境引入 二、探究新知 1.对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 2.增减性与最大值: 当是偶数时,中间的一项取得最大值;当是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值 3.各二项式系数的和: 三、例题剖析 四、归纳总结 五、布置作业
教学研讨:
进行研究性学习,并不是纯粹由学生独立去研究.学生能力有限,基础比较薄弱,必须在教师的引导下逐步研究问题.因此教师在培养学生研究问题的能力上,有着举足轻重的作用,适当进行引导对开阔学生的思维有着重要帮助.就这节课来说,着重应引导学生学会发现问题、探索问题、研究问题的方法.
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