人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 6.3 .2《二项式系数的性质》教学设计2
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 6.3 .2《二项式系数的性质》教学设计2 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 705.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 11:44:26 | ||
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文档简介
《二项式系数的性质》教学设计
教学过程 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1.二项式定理: . 2.的展开式的二项式系数为:. 3.二项式定理公式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:. 教师指定学生回答,根据学生的回答情况进行适当补充. 将基础知识放在课前预复习,这样在课堂上有更多的时间去探究新的问题,而学生的展示对新问题的探究起着重要的作用;同时请对预复习的内容做得较好的学生进行展示,一方面能让所有学生对基础知识有一个较为完整和准确的认识,另一方面聆听同伴的讲解更能吸引学生的注意力,从而提升学生的学习动力.
探究新知 (一)从数值角度研究二项式系数的性质 问题1 用计算工具计算的展开式的二项式系数,并填入下表. 通过计算、填表,你发现了什么规律 问题2 将上表写成如下算术三角形的形式: 观察表示形式变化后的二项式系数表,探究二项式系数的数字规律,你还能发现什么性质 请试着证明这些性质. 提示:二项式系数的性质如下: 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质可直接由得到. 2.增减性与最大值 因为 即, 所以,当,即时,随的增加而增大;由对称性知,当时,随的增加而减小.当是偶数时,中间的一项取得最大值;当是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值. (二)从函数的角度研究二项式系数的性质 由上面的观察及简单证明我们知道,的展开式的二项式系数具有规律:对称性、增减性与最大值.你还能用什么方法研究它的这些性质 问题3 对于的展开式的二项式系数,我们从函数的角度来分析它们,可看成以为自变量的函数,其定义域为,你能发现二项式系数有哪些性质 例如,当时,函数,观察其图象(下图),你发现了什么规律 思考:分别画出时函数的图象,比较它们的异同,你发现了什么规律 提示: 直线将函数的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴. 函数的增减性与最大值也可从函数图象上直观看出. (三)各二项式系数的和 问题4 各二项式系数的和是多少 提示: 已知, 令,得.这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于. 拓展:(1)证明:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明:在展开式中,令,则得. 即 因此, 即在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. (2)设集合中有个元素,则该集合的子集个数为个.请结合本章知识给予合理的解释. 提示:集合的含有个元素的子集的个数分别为,从而该集合的子集个数为个. 教师出示二项式系数表.学生计算的展开式的二项式系数并填入表格.教师对学生的计算结果给予肯定,并引导学生从中发现规律. 教师引导学生先将表格数据表示成算术三角形的形式再从不同的角度观察,进一步研究规律.学生代表展示观察结果. 学生观察图象,教师引导学生联系数形结合的方法思考. 学生发现并总结规律: 1.从图象及其对称轴得出对称性性质. 2.由图象可得到“二项式系数先增后减,具有最大值”的性质. 教师要求学生进一步探讨r取何值时函数取得最大值.学生代表发言. 教师对每个性质进行分析、说明. 教师引导学生利用赋值法得出各二项式系数的和,并展示推导过程. 教师分析该性质在解题过程中的应用,并指出“赋值法”是求解二项展开式各种系数和的一种重要方法. 学生通过填表巩固二项式定理的相关知识和二项式系数的运算,并初步发现二项式系数的一些规律. 引导学生利用算术三角形进一步探究二项式系数的规律,并感受从多角度研究问题的妙处. 从函数的角度分析与论证二项式系数的性质,培养学生利用几何直观、数形结合、从特殊到一般的数学思想方法解决问题的能力,发展直观想象核心素养. 先运用赋值法求各二项式系数的和,再将问题拓展到分析奇数项与偶数项的二项式系数和之间的关系,进而利用计数原理与各二项式系数和这一性质,解释“元集合的子集个数为”的原因,从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和呼应,将学生的思维推向新高度.
例题剖析 例 已知,求: (1); (2); (3). 解:(1)令,可得, 则. 令,可得, 即, 所以. (2)由(1)得当时,.① 令,得.② ①-②,得, 即. (3)由于的展开式中的指数为偶数的项的系数是正数,为奇数的项的系数是负数,所以. 方法一:由(2)中②式,知. 方法二:依据与的关系,可知. 令,可得. 教师先引导学生分析解题思路: (1)要求的是除了常数项之外的其他项的系数和,令可求得,令可求得所有项的系数和,问题可解. (2)由于,对应的的指数都是奇数,剩下的各项对应的的指数都是偶数,故可分别令,把得到的式子相加减,就可得到对应的的指数为奇数或偶数的项的系数之和. 同理可解(3). 分析完后教师指定学生板演解答过程,并指导评价. 通过例题,加深学生对赋值法的理解,发展数学运算和逻辑推理核心素养.
随堂练习 1.若的展开式中的第3项和第8项的二项式系数相等,则______. 2.若的展开式中的第10项和第11项的二项式系数最大,则_____. 3.在的展开式中,各项系数的和是( ) A. B.1 C. D.0 学生自主练习,独立完成解题. 教师给出正确答案.参考答案如下: (点拨:由题意知,,所以 (点拨:由题意知,,所以.) (点拨:令,则. 提高学生对所学知识的理解,并能利用所学知识解决问题,发展数学运算核心素养.
课堂小结 通过本节课的学习,你有哪些收获和体会 延伸:今天同学们学习了二项式系数的一些性质,但二项式系数表中的规律是奥妙无穷的,只要大家从不同角度进行大胆猜想,用你们的热情和严谨的态度必能发现更多规律! 学生讨论及归纳总结后,发言概述所学内容. 教师肯定学生的回答,对不足之处加以补充.特别强调数形结合的思想和赋值法的应用. 通过课堂小结,总结与反思,使学生更好地掌握本节知识,体会探究过程中渗透的数学思想方法.
布置作业 教材第34页练习第1,2,3,4题. 学生独立完成作业.教师批阅. 课后巩固知识.
板书设计:
6.3.2 二项式系数的性质 一、复习引入 二、探究新知 1.对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 2.增减性与最大值:当是偶数时,中间的一项取得最大值;当是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值 3.各二项式系数的和: 拓展: 三、例题剖析 例 四、随堂练习 五、课堂小结 六、布置作业
教学研讨:
本案例的设计,由“关注知识”转向“关注学生”.在教学过程中,注意到了由“给出知识”转向“发现知识”,由“完成教学任务”转向“促进学生发展”,学生成为课堂上的真正主人.教学设计通过探究实现本节课的教学目标,突出以学生为主体,教师以引导者的身份参与其中.
探讨之处:一是可考虑收集一些二项式系数的规律,比较学生展示的结论,让学生享受成功的喜悦,同时激发学生进一步探索的热情;二是用多种方法调动学生的积极性,比如,在讨论时增加积极肯定的话语,多给他们一些鼓励的表情,采用游戏或抢答等活动形式等.
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教学过程 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1.二项式定理: . 2.的展开式的二项式系数为:. 3.二项式定理公式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:. 教师指定学生回答,根据学生的回答情况进行适当补充. 将基础知识放在课前预复习,这样在课堂上有更多的时间去探究新的问题,而学生的展示对新问题的探究起着重要的作用;同时请对预复习的内容做得较好的学生进行展示,一方面能让所有学生对基础知识有一个较为完整和准确的认识,另一方面聆听同伴的讲解更能吸引学生的注意力,从而提升学生的学习动力.
探究新知 (一)从数值角度研究二项式系数的性质 问题1 用计算工具计算的展开式的二项式系数,并填入下表. 通过计算、填表,你发现了什么规律 问题2 将上表写成如下算术三角形的形式: 观察表示形式变化后的二项式系数表,探究二项式系数的数字规律,你还能发现什么性质 请试着证明这些性质. 提示:二项式系数的性质如下: 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质可直接由得到. 2.增减性与最大值 因为 即, 所以,当,即时,随的增加而增大;由对称性知,当时,随的增加而减小.当是偶数时,中间的一项取得最大值;当是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值. (二)从函数的角度研究二项式系数的性质 由上面的观察及简单证明我们知道,的展开式的二项式系数具有规律:对称性、增减性与最大值.你还能用什么方法研究它的这些性质 问题3 对于的展开式的二项式系数,我们从函数的角度来分析它们,可看成以为自变量的函数,其定义域为,你能发现二项式系数有哪些性质 例如,当时,函数,观察其图象(下图),你发现了什么规律 思考:分别画出时函数的图象,比较它们的异同,你发现了什么规律 提示: 直线将函数的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴. 函数的增减性与最大值也可从函数图象上直观看出. (三)各二项式系数的和 问题4 各二项式系数的和是多少 提示: 已知, 令,得.这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于. 拓展:(1)证明:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明:在展开式中,令,则得. 即 因此, 即在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. (2)设集合中有个元素,则该集合的子集个数为个.请结合本章知识给予合理的解释. 提示:集合的含有个元素的子集的个数分别为,从而该集合的子集个数为个. 教师出示二项式系数表.学生计算的展开式的二项式系数并填入表格.教师对学生的计算结果给予肯定,并引导学生从中发现规律. 教师引导学生先将表格数据表示成算术三角形的形式再从不同的角度观察,进一步研究规律.学生代表展示观察结果. 学生观察图象,教师引导学生联系数形结合的方法思考. 学生发现并总结规律: 1.从图象及其对称轴得出对称性性质. 2.由图象可得到“二项式系数先增后减,具有最大值”的性质. 教师要求学生进一步探讨r取何值时函数取得最大值.学生代表发言. 教师对每个性质进行分析、说明. 教师引导学生利用赋值法得出各二项式系数的和,并展示推导过程. 教师分析该性质在解题过程中的应用,并指出“赋值法”是求解二项展开式各种系数和的一种重要方法. 学生通过填表巩固二项式定理的相关知识和二项式系数的运算,并初步发现二项式系数的一些规律. 引导学生利用算术三角形进一步探究二项式系数的规律,并感受从多角度研究问题的妙处. 从函数的角度分析与论证二项式系数的性质,培养学生利用几何直观、数形结合、从特殊到一般的数学思想方法解决问题的能力,发展直观想象核心素养. 先运用赋值法求各二项式系数的和,再将问题拓展到分析奇数项与偶数项的二项式系数和之间的关系,进而利用计数原理与各二项式系数和这一性质,解释“元集合的子集个数为”的原因,从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和呼应,将学生的思维推向新高度.
例题剖析 例 已知,求: (1); (2); (3). 解:(1)令,可得, 则. 令,可得, 即, 所以. (2)由(1)得当时,.① 令,得.② ①-②,得, 即. (3)由于的展开式中的指数为偶数的项的系数是正数,为奇数的项的系数是负数,所以. 方法一:由(2)中②式,知. 方法二:依据与的关系,可知. 令,可得. 教师先引导学生分析解题思路: (1)要求的是除了常数项之外的其他项的系数和,令可求得,令可求得所有项的系数和,问题可解. (2)由于,对应的的指数都是奇数,剩下的各项对应的的指数都是偶数,故可分别令,把得到的式子相加减,就可得到对应的的指数为奇数或偶数的项的系数之和. 同理可解(3). 分析完后教师指定学生板演解答过程,并指导评价. 通过例题,加深学生对赋值法的理解,发展数学运算和逻辑推理核心素养.
随堂练习 1.若的展开式中的第3项和第8项的二项式系数相等,则______. 2.若的展开式中的第10项和第11项的二项式系数最大,则_____. 3.在的展开式中,各项系数的和是( ) A. B.1 C. D.0 学生自主练习,独立完成解题. 教师给出正确答案.参考答案如下: (点拨:由题意知,,所以 (点拨:由题意知,,所以.) (点拨:令,则. 提高学生对所学知识的理解,并能利用所学知识解决问题,发展数学运算核心素养.
课堂小结 通过本节课的学习,你有哪些收获和体会 延伸:今天同学们学习了二项式系数的一些性质,但二项式系数表中的规律是奥妙无穷的,只要大家从不同角度进行大胆猜想,用你们的热情和严谨的态度必能发现更多规律! 学生讨论及归纳总结后,发言概述所学内容. 教师肯定学生的回答,对不足之处加以补充.特别强调数形结合的思想和赋值法的应用. 通过课堂小结,总结与反思,使学生更好地掌握本节知识,体会探究过程中渗透的数学思想方法.
布置作业 教材第34页练习第1,2,3,4题. 学生独立完成作业.教师批阅. 课后巩固知识.
板书设计:
6.3.2 二项式系数的性质 一、复习引入 二、探究新知 1.对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 2.增减性与最大值:当是偶数时,中间的一项取得最大值;当是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值 3.各二项式系数的和: 拓展: 三、例题剖析 例 四、随堂练习 五、课堂小结 六、布置作业
教学研讨:
本案例的设计,由“关注知识”转向“关注学生”.在教学过程中,注意到了由“给出知识”转向“发现知识”,由“完成教学任务”转向“促进学生发展”,学生成为课堂上的真正主人.教学设计通过探究实现本节课的教学目标,突出以学生为主体,教师以引导者的身份参与其中.
探讨之处:一是可考虑收集一些二项式系数的规律,比较学生展示的结论,让学生享受成功的喜悦,同时激发学生进一步探索的热情;二是用多种方法调动学生的积极性,比如,在讨论时增加积极肯定的话语,多给他们一些鼓励的表情,采用游戏或抢答等活动形式等.
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