《二项式定理》高考通关练
一、选择题
1．（2021菏泽学院附中高三月考）展开式中的系数为10,则实数等于（ ）
A.
B.
C.1
D.2
2．（2020哈尔滨六中高三期末）的展开式中的系数是（ ）．
A.
B.
C.2
D.4
3．（2020南阳一中高二月考）已知,则（ ）．
A.180
B.90
C.
D.5
4．（2020烟台高三新高考模拟）(多选)已知的展开式的第5项与第
7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1024,则下列说法正确的是（ ）
A.展开式的奇数项的二项式系数的和为256
B.展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含项的系数为45
5．（2021胜利一中高二下月考）(多选)已知n为满足能被9整除的正整数的最小值,则的展开式中,二项式系数最大的项为（ ）．
A.第6项
B.第7项
C.第8项
D.第9项
二、填空题
6．（2020天津高考）在的展开式中,的系数是____________．
7．（2021复旦附中高二月考）将“杨辉三角”中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的三角数表．
从上往下数,第1次全行数都为1的是第1行,第2次全行数都为1的是第3行,,第n次全行数都为1的是第_______行;第61行中的1的个数是_________.
8.（2020浙江高考）二项展开式,则__________,__________.
9.（2021邵东一中高二月考）已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,则展开式中所有的有理项为____________.
三、解答题
10.（2021襄阳四中高二月考）已知,求:
(1)各项系数之和;
(2)所有奇数项系数之和;
(3)系数绝对值的和;
(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和.
11.（2021黄冈中学月考）已知的展开式中的系数恰好是数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列满足,记数列的前n项和为,求证:.
参考答案
一、填空题
1.
答案：D
解析：二项式的展开式的通项,当时, ,系数,解得,故选D.
2.
答案：C
解析：x的系数由两部分组成即和.,故选.
3.
答案：A
解析：,其通项公式为,是当时即第9项的系数,∴.故选.
4.
答案：BCD
解析：由的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知,又因为展开式的各项系数之和为1024,
即当时,,所以,所以,其展开式的各二项式系数的和为,则奇数项的二项式系数的和为,故错误;由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为与的系数均为1,所以展开式的各项的二项式系数与系数相同,即第6项的系数与二项式系数相等且最大,故B正确;若展开式中存在常数项,则展开式中存在x的指数为0的项,由通项,可得当,即时,符合要求,故C正确;由通项可得,当时,,所以展开式中含项的系数为,故D正确.故选.
5.
答案：AB
解析：,∵,∴能被9整除的正整数的最小值是,∴,∴,其展开式的二项式系数最大的项为第6,7项.故选.
6.
答案：10
解析：二项式的展开式的通项为.令得.因此,在的展开式中,的系数为.
7.
答案：
解析：写出三角数表的前面几行,如图所示:
可以看出第1次全行数都为1的是第1行共2个1,第2次全行数都为1的是第3行共4个1,第3次全行数都为1的是第7行共8个1,第4次全行数都为1的是第15行共16个1,所以第n次全行数都为1的是第行共个1.
因为第行与第行中分别都有个1,又当时,,所以第63行全是1(第6次全行数都为,所以第61行中的1的个数是.
8.
答案：80 122
解析：由二项式定理得的展开式的通项为,所以,,,,所以.
9.
答案：,,
解析：依题意,前三项系数的绝对值是1,,,且,即,∴(舍去),∴
.若为有理项,则为整数.∵,,∴,即展开式中的有理项共有三项,它们是,,.
10.
答案：见解析
解析：解:(1)令,得.
(2)由(1)知,令,,可得.
将两式相加,可得.
(3)方法一 ,
令,,则.
方法二:即为的展开式中各项的系数和,令,得
.
(4)奇数项的二项式系数之和为,
偶数项的二项式系数之和为.
11.
答案：见解析
解析：(1)解:的展开式中x的系数为,则.
所以当时,.
当时,也符合上式,
所以数列的通项公式为.
(2)证明:因为,所以,命题得证.
3 / 7《二项式定理》链接高考
一、选择题
1.(2020·北京卷)在的展开式中,的系数为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
2.(2020·天津卷)在的展开式中,的系数是_____________.
3.(2020·浙江卷)二项展开式,则______,___________.
4.(2020·四川绵阳南山中学高三一模)的展开式的第5项为,则展开式的第6项的二项式系数为_______.
5.(2020·上海高三二模)设,若,则______________.
6.(2020·天津耀华中学高三二模)的展开式中的系数为______________.(用数字作答)
7.二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大,且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍,则的值为______________.
答案解析
一、选择题
1.答案:C
解析:展开式的通项公式为,令,可得,则的系数为:.
二、填空题
2.答案10
解析:因为二项展开式的通项公式为,
令,解得.所以的系数为.
3.答案:80 122
解析:的通项为,令,则,故.
4.答案:56
解析:的展开式的通项为,
因为的展开式的第五项为,
所以,且,解得,
所以展开式的第六项的二项式系数为.
5.答案:160
解析:原式,令,即,得,所以.
所以展开式中含项为:.
6.答案:
解析:展开式通项为,令,得,所以展开式中的系数为.
7.答案:8
解析:展开式中只有第6项的二项式系数最大,故的展开式的通项为:.
故,化简得到.
1 / 3《二项式定理》竞赛培优
一、填空题
1.（2019全国高中数学联合竞赛一试B卷）设整数,的展开式中与xy两项的系数相等,则n的值为____________.
2.（2019全国高中数学联赛山东赛区）在的展开式中,x的整数次幂项的系数和为_____________.
参考答案
一、填空题
1.
答案：51
解析：注意到.其中项仅出现在时的展开式中,其项系数为.而项仅出现在时的展开式中,则xy项的系数为.因此有.注意到,化简得,故n只能为奇数且,解得n=51.
2.
答案：
解析：令,,由二项式定理知P和Q中的x的整数次幂项系数之和相同,记作,非整数次莫项系数之和互为相反数.故有,令,则所求的系数和.
1 / 2《二项式定理》学考达标练
一、选择题
1．（2021合肥一中月考）(多选)使得的展开式中含有常数项的n的值为（ ）．
A.2
B.5
C.8
D.10
2．（2021深圳中学月考）(多选)在的展开式中含的项的系数为,则下列结论正确的是（ ）．
A.
B.
C.展开式中第4项的系数是10
D.展开式中第5项的二项式系数是5
3．（2021华师一附中高三模拟）若的展开式中含的项为第6项,设,则的值为（ ）．
A.255
B.260
C.276
D.280
4．（2021白鹭洲中学高三月考） 除以 9 的余数为（ ）．
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
二、填空题
5．（2021上海中学高二月考）在的展开式中,是第____________项的二项式系数,第
3项的系数是____________．
6．（2021江北中学高二月考）在的展开式中,常数项是____________．(用数字作答)
三、解答题
7．（2021安岳中学高二月考）已知在的展开式中,第6项为常数项．
(1)求n;
(2)求含项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项．
参考答案
一、选择题
1.
答案：BD
解析：二项式的展开式的第项.要存在常数项,则,当时,,舍去;当时,,舍去,故A,C错误;当时, ;当时,,故B,D正确,故选.
2.
答案：AD
解析：在的展开式中,第2项,则,解得,故A正确,B错误;展开式中第4项,系数是,故C错误;展开式中第5项的二项式系数是,故D正确.
3.
答案：A
解析：二项式的展开式的第6项是,令得.在二项式的展开式中,令得,令得,所以.
4.
答案：B
解析：依题意是正整数,∴被9除的余数为7.
二、填空题
5.
答案：384
解析：由二项式系数的定义知为第项的系数,
∴为第3项的二项式系数.∵,
∴第3项的系数为.
6.
答案：45
解析：的通项为,令,解得,代入得常数项为.解:(1)的展开式的通项为,又第6项为常数项,则当时,,即,解得.
(2)由(1)可得,令,可得,所以含项的系数为.
(3)由(1)可得,若为有理项,则,且,所以,则展开式中的有理项分别为,,.
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