人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册《计数原理》单元测试二（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册《计数原理》单元测试二（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 576.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 11:49:09 | ||
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文档简介
《计数原理》单元测试二
一、选择题
1.用数字1,2,3,4组成无重复数字的四位数,其中奇数的个数为( )
A.8
B.12
C.16
D.24
2.二项式展开式中,二项式系数最大的项是( )
A.
B.
C.
D.
3.现有甲、乙、丙、丁、戊5位同学站成一列,若甲不在右端,且甲与乙不相邻的不同站法共有( )
A.60种
B.36种
C.48种
D.54种
4.展开式中的常数项为( )
A.
B.
C.64
D.240
5.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员,现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1,2号中至少有1名新队员的排法有多少种( )
A.72
B.63
C.54
D.48
6.二项式的展开式的各项系数和为( )
A.256
B.257
C.254
D.
7.若为奇数,被9除所得的余数是( )
A.0
B.2
C.7
D.
8.已知集合,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标,则不同点的坐标个数为( )
A.36
B.35
C.34
D.
9.若展开式的常数项为15,则( )
A.
B.0
C.1
D.
10.从5名候选人中选派出3人参加A,B,C活动,且每项活动有且仅有1人参加,甲不参加A活动,则不同的选派方案有( )
A.36种
B.48种
C.56种
D.64种
11.已知二项式的展开式中第4项为常数项,则中项的系数为( )
A.
B.19
C.20
D.
12.如图为与杨辉三角结构相似的“帕斯卡”三角,这个三角的构造方法是:除第一行为1外,其余各行中的每一个数,都等于它右肩上的数乘以右肩所在的行数,再加上左肩而得.例如第5行第3个数是35,它的右肩为6,左肩为11,右肩所在的行数为4,所以.这个三角中的数与下面这个展开式中的系数有关:.则在“帕斯卡”三角中,第8行从左到右的第2个数到第7个数之和为( )
A.322559
B.35279
C.5880
D.322560
二、填空题
13.把3男生2女生共5名新学生分配到甲、乙两个班,每个班分的新生不少于2名,且甲班至少分配1名女生,则不同的分配方案种数为________.(用数字作答)
14.的展开式中,的系数为________.
15.已知5辆不同的白颜色汽车和3辆不同的红颜色汽车停成一排,则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有________.
16.如图,用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色,要求每个点涂一种颜色.若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同,则不同的涂色方法共有________种;若每条棱的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有________种.
三、解答题
17.某校寒假行政值班安排,要求每天安排一名行政人员值日,现从包含甲、乙两人的七名行政人员中选四人负责四天的轮班值日,在下列条件下,各有多少种不同的安排方法？
(1)甲、乙两人都被选中,且安排在前两天值日;
(2)甲、乙两人只有一人被选中,且不能安排在后两天值日.
18.已知二项式,若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列.
(1)求正整数的值;
(2)求展开式中二项式系数最大项,并指出是第几项
19.一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球.
(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种
(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种
20.若二项式的展开式中的常数项为第5项.
(1)求的值;
(2)求展开式中系数最大的项.
21.从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组,请解答下列问题:
(1)如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人,共有多少种不同的建组方案 (用数字作答)
(2)男医生甲要担任医疗小组组长,所以必选,而且医疗小组必须男女医生都有,共有多少种不同的建组方案
(3)男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.(化成最简分数)
22.已知是正整数,的展开式中的系数为7,
(1)对于使的的系数为最小的,求出此时的系数;
(2)利用上述结果,求的近似值(精确到0.01);
(3)已知展开式的二项式系数的最大值为,系数的最大值为,求.
答案解析
一、选择题
1.答案:B
解析:先排个位,有2种选法,再排前三位,有(种)排法,因此共有种排法.
2.答案:B
解析:二项式展开式中共有5项,中间项即第三项的二项式系数最大,故二项式系数最大的项是.
3.答案:D
解析:甲排1号位,乙可以排号位,故方法数有种.甲排2号位,乙可以排4,5号位,故方法数有种.甲排3号位,乙可以排1,5号位,故方法数有种.甲排4号位,乙可以排1,2号位,故方法数有种.故总的方法数有种.
4.答案:B
解析:因为,所以.,∴,
则可知展开式中常数项为.
5.答案:D
解析:入选的3名队员中至少有1名老队员,包括两老一新和两新一老,且1,2号中至少有1名新队员的排法,
当两老一新时,有(种)排法;
当两新一老时,有(种)排法,
所以共有(种)排法.
6.答案:A
解析:由题意,对于二项式中,令,则,即二项式的展开式的各项系数的和为256.
7.答案:C
解析:因为
.
8.答案:D
解析:不考虑限定条件确定的不同点的个数为36,但集合中有相同元素3,由三个数确定的不同点的个数只有三个,不是个,故所求的不同点的个数为.
9.答案:A
解析:二项式的展开式的通项公式为,令,求得,可得展开式中的常数项为,由此求得.
10.答案:B
解析:若甲参加活动:(种);若甲不参加活动:(种),所以不同的选派方案有48种.
11.答案:C
解析:的展开式的通项公式,由题意知,得,则所求式子中项的系数为1+3+6+10=20.
12.答案:B
解析:由已知中“帕斯卡”三角的前5行可得:
第行的第一个数为,
故第8行的第一个数为,
第9行的第一个数为,
又由第一行的累加和等于第二行的第一个数;
第二行的累加和等于第三行的第一个数;
第三行的累加和等于第四行的第一个数;
第四行的累加和等于第五行的第一个数;
……
故第8行的所有数的和为第9行的第一个数,
设第8行从左到右的第2个数到第7个数之和为S,则
,故.
二、填空题
13.答案:16
解析:把5名新生分配给甲、乙两个班,每个班分配的新生不少于2名,共有(种)分配方案,其中甲班都是男生的情况共有(种),所以,甲班至少分配1名女生,则不同的分配方案种数为(种).
14.答案:
解析:要求的系数,则展开式中项与相乘,项与相乘,所以展开式中项为与相乘得到,展开式中项为,与相乘得到,所以的系数为.
15.答案:14400
解析:不管怎么排都能满足白颜色汽车至少2辆停在一起,所以分两步:
第一步,将5辆白色汽车全排列,有(种);
第二步,3辆红色汽车插空,有(种).
由分步乘法计数原理得共有(种).
16.答案:①576 ②264
解析:(1)由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同,则不同的涂色方法共有(种);
(2)若用四种颜色,则有(种);若用三种颜色,则有(种);若用两种颜色,则有(种).
所以共有种.
三、解答题
17.答案:见解析
解析:(1)第一步:甲、乙两人安排在前两天值日,有种排法,
第二步:从剩下的五人中选两人安排在后两天排列值日,有种排法.
根据分步乘法计数原理,可得满足条件的排法种数为.
(2)第一步:从甲、乙两人中选一人安排在前两天中的一天值日,有种排法.
第二步:从剩下的五人中选三人安排在剩余的三天值日,有种排法.
根据分步乘法计数原理,可得满足条件的排法种数为.
18.答案:见解析
解析:(1)由二项式,
可得,
.
因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列,可得,
整理得,即,解得或.
因为,所以.
(2)当时,展开式中二项式系数最大项为第五项.
19.答案:见解析
解析:(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法,红球4个,红球3个和白球1个,红球2个和白球2个,红球4个,取法有1种;红球3个和白球1个,取法有(种);红球2个和白球2个,取法有(种);根据分类加法计数原理,红球的个数不比白球少的取法有(种).
(2)使总分不少于7分情况有三种情况,4红1白,3红2白,2红3白.
第一种,4红1白,取法有(种);
第二种,3红2白,取法有(种),
第三种,2红3白,取法有(种),
根据分类加法计数原理,总分不少于7分的取法有(种).
20.答案:见解析
解析:(1)因为二项式的展开式的通项公式为
所以的指数为.
又因为的展开式中的常数项为第五项,
所以,且,解得.
(2)因为,其系数为.
设第项的系数最大,
则化简得即,
因为,所以,即第四项系数最大,
且.
21.答案:见解析
解析:(1)由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人,
共(种)不同的建组方案.
(2)由题知,除开男医生甲后不考虑,必须男女医生都有的建组方案共(种),其中只有男医生的情况数有,不可能存在只有女医生的情况.故共有65(种)不同的建组方案.
(3)由题,男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率为.
22.答案:见解析
解析:(1)根据题意得:,
即,①
中的的系数为
.
将①变形为代入上式,得的系数为.
故当,或时,的系数的最小值为9.
当时,的系数为;
当时,的系数为.
(2).
(3)由题意可得,再根据
即
求得或6,此时,,所以.
1 / 11
一、选择题
1.用数字1,2,3,4组成无重复数字的四位数,其中奇数的个数为( )
A.8
B.12
C.16
D.24
2.二项式展开式中,二项式系数最大的项是( )
A.
B.
C.
D.
3.现有甲、乙、丙、丁、戊5位同学站成一列,若甲不在右端,且甲与乙不相邻的不同站法共有( )
A.60种
B.36种
C.48种
D.54种
4.展开式中的常数项为( )
A.
B.
C.64
D.240
5.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员,现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1,2号中至少有1名新队员的排法有多少种( )
A.72
B.63
C.54
D.48
6.二项式的展开式的各项系数和为( )
A.256
B.257
C.254
D.
7.若为奇数,被9除所得的余数是( )
A.0
B.2
C.7
D.
8.已知集合,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标,则不同点的坐标个数为( )
A.36
B.35
C.34
D.
9.若展开式的常数项为15,则( )
A.
B.0
C.1
D.
10.从5名候选人中选派出3人参加A,B,C活动,且每项活动有且仅有1人参加,甲不参加A活动,则不同的选派方案有( )
A.36种
B.48种
C.56种
D.64种
11.已知二项式的展开式中第4项为常数项,则中项的系数为( )
A.
B.19
C.20
D.
12.如图为与杨辉三角结构相似的“帕斯卡”三角,这个三角的构造方法是:除第一行为1外,其余各行中的每一个数,都等于它右肩上的数乘以右肩所在的行数,再加上左肩而得.例如第5行第3个数是35,它的右肩为6,左肩为11,右肩所在的行数为4,所以.这个三角中的数与下面这个展开式中的系数有关:.则在“帕斯卡”三角中,第8行从左到右的第2个数到第7个数之和为( )
A.322559
B.35279
C.5880
D.322560
二、填空题
13.把3男生2女生共5名新学生分配到甲、乙两个班,每个班分的新生不少于2名,且甲班至少分配1名女生,则不同的分配方案种数为________.(用数字作答)
14.的展开式中,的系数为________.
15.已知5辆不同的白颜色汽车和3辆不同的红颜色汽车停成一排,则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有________.
16.如图,用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色,要求每个点涂一种颜色.若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同,则不同的涂色方法共有________种;若每条棱的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有________种.
三、解答题
17.某校寒假行政值班安排,要求每天安排一名行政人员值日,现从包含甲、乙两人的七名行政人员中选四人负责四天的轮班值日,在下列条件下,各有多少种不同的安排方法？
(1)甲、乙两人都被选中,且安排在前两天值日;
(2)甲、乙两人只有一人被选中,且不能安排在后两天值日.
18.已知二项式,若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列.
(1)求正整数的值;
(2)求展开式中二项式系数最大项,并指出是第几项
19.一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球.
(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种
(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种
20.若二项式的展开式中的常数项为第5项.
(1)求的值;
(2)求展开式中系数最大的项.
21.从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组,请解答下列问题:
(1)如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人,共有多少种不同的建组方案 (用数字作答)
(2)男医生甲要担任医疗小组组长,所以必选,而且医疗小组必须男女医生都有,共有多少种不同的建组方案
(3)男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.(化成最简分数)
22.已知是正整数,的展开式中的系数为7,
(1)对于使的的系数为最小的,求出此时的系数;
(2)利用上述结果,求的近似值(精确到0.01);
(3)已知展开式的二项式系数的最大值为,系数的最大值为,求.
答案解析
一、选择题
1.答案:B
解析:先排个位,有2种选法,再排前三位,有(种)排法,因此共有种排法.
2.答案:B
解析:二项式展开式中共有5项,中间项即第三项的二项式系数最大,故二项式系数最大的项是.
3.答案:D
解析:甲排1号位,乙可以排号位,故方法数有种.甲排2号位,乙可以排4,5号位,故方法数有种.甲排3号位,乙可以排1,5号位,故方法数有种.甲排4号位,乙可以排1,2号位,故方法数有种.故总的方法数有种.
4.答案:B
解析:因为,所以.,∴,
则可知展开式中常数项为.
5.答案:D
解析:入选的3名队员中至少有1名老队员,包括两老一新和两新一老,且1,2号中至少有1名新队员的排法,
当两老一新时,有(种)排法;
当两新一老时,有(种)排法,
所以共有(种)排法.
6.答案:A
解析:由题意,对于二项式中,令,则,即二项式的展开式的各项系数的和为256.
7.答案:C
解析:因为
.
8.答案:D
解析:不考虑限定条件确定的不同点的个数为36,但集合中有相同元素3,由三个数确定的不同点的个数只有三个,不是个,故所求的不同点的个数为.
9.答案:A
解析:二项式的展开式的通项公式为,令,求得,可得展开式中的常数项为,由此求得.
10.答案:B
解析:若甲参加活动:(种);若甲不参加活动:(种),所以不同的选派方案有48种.
11.答案:C
解析:的展开式的通项公式,由题意知,得,则所求式子中项的系数为1+3+6+10=20.
12.答案:B
解析:由已知中“帕斯卡”三角的前5行可得:
第行的第一个数为,
故第8行的第一个数为,
第9行的第一个数为,
又由第一行的累加和等于第二行的第一个数;
第二行的累加和等于第三行的第一个数;
第三行的累加和等于第四行的第一个数;
第四行的累加和等于第五行的第一个数;
……
故第8行的所有数的和为第9行的第一个数,
设第8行从左到右的第2个数到第7个数之和为S,则
,故.
二、填空题
13.答案:16
解析:把5名新生分配给甲、乙两个班,每个班分配的新生不少于2名,共有(种)分配方案,其中甲班都是男生的情况共有(种),所以,甲班至少分配1名女生,则不同的分配方案种数为(种).
14.答案:
解析:要求的系数,则展开式中项与相乘,项与相乘,所以展开式中项为与相乘得到,展开式中项为,与相乘得到,所以的系数为.
15.答案:14400
解析:不管怎么排都能满足白颜色汽车至少2辆停在一起,所以分两步:
第一步,将5辆白色汽车全排列,有(种);
第二步,3辆红色汽车插空,有(种).
由分步乘法计数原理得共有(种).
16.答案:①576 ②264
解析:(1)由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同,则不同的涂色方法共有(种);
(2)若用四种颜色,则有(种);若用三种颜色,则有(种);若用两种颜色,则有(种).
所以共有种.
三、解答题
17.答案:见解析
解析:(1)第一步:甲、乙两人安排在前两天值日,有种排法,
第二步:从剩下的五人中选两人安排在后两天排列值日,有种排法.
根据分步乘法计数原理,可得满足条件的排法种数为.
(2)第一步:从甲、乙两人中选一人安排在前两天中的一天值日,有种排法.
第二步:从剩下的五人中选三人安排在剩余的三天值日,有种排法.
根据分步乘法计数原理,可得满足条件的排法种数为.
18.答案:见解析
解析:(1)由二项式,
可得,
.
因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列,可得,
整理得,即,解得或.
因为,所以.
(2)当时,展开式中二项式系数最大项为第五项.
19.答案:见解析
解析:(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法,红球4个,红球3个和白球1个,红球2个和白球2个,红球4个,取法有1种;红球3个和白球1个,取法有(种);红球2个和白球2个,取法有(种);根据分类加法计数原理,红球的个数不比白球少的取法有(种).
(2)使总分不少于7分情况有三种情况,4红1白,3红2白,2红3白.
第一种,4红1白,取法有(种);
第二种,3红2白,取法有(种),
第三种,2红3白,取法有(种),
根据分类加法计数原理,总分不少于7分的取法有(种).
20.答案:见解析
解析:(1)因为二项式的展开式的通项公式为
所以的指数为.
又因为的展开式中的常数项为第五项,
所以,且,解得.
(2)因为,其系数为.
设第项的系数最大,
则化简得即,
因为,所以,即第四项系数最大,
且.
21.答案:见解析
解析:(1)由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人,
共(种)不同的建组方案.
(2)由题知,除开男医生甲后不考虑,必须男女医生都有的建组方案共(种),其中只有男医生的情况数有,不可能存在只有女医生的情况.故共有65(种)不同的建组方案.
(3)由题,男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率为.
22.答案:见解析
解析:(1)根据题意得:,
即,①
中的的系数为
.
将①变形为代入上式,得的系数为.
故当,或时,的系数的最小值为9.
当时,的系数为;
当时,的系数为.
(2).
(3)由题意可得,再根据
即
求得或6,此时,,所以.
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