人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册《计数原理》单元测试一（含解析）

《计数原理》单元测试一
一、选择题
1.甲、乙两人从4门课程中各选修1门,则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( )
A.6种
B.12种
C.30种
D.36种
2.由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中,偶数的个数为( )
A.15
B.12
C.10
D.5
3.若,则等于( )
A.
B.
C.
D.
4.从3名男生和4名女生中随机选取3名学生去参加一项活动,则至少有一名女生的抽法共多少种( )
A.34
B.30
C.31
D.32
5.现有男、女学生共8人,从男生中选2人,从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案,那么男、女生人数分别是( )
A.男生2人,女生6人
B.男生3人,女生5人
C.男生5人,女生3人
D.男生6人,女生2人
的展开式中含项的系数是( )
A.40
B.
C.80
D.
7.5人排成一排,要求甲、乙两人之间至多有1人,则不同的排法有多少种( )
A.84
B.72
C.96
D.48
8.5个节目,若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有( )
A.120种
B.80种
C.48种
D.20种
9.展开式中的系数为( )
A.1
B.
C.31
D.
10.根据疫情防控的要求,我市疾控中心决定派出五位相关专家对三个地区进行工作指导,每个区至少派遣一位专家,其中甲、乙两位专家需要派遣至同一个区,则不同的派遣方案种数为( )
A.18
B.24
C.28
D.36
11.在的展开式中,记项的系数为,则( )
A.125
B.5
C.
D.
12.的二项展开式17个项中,整式的个数是( )
A.1
B.3
C.5
D.7
二、填空题
13.有4名优秀学生全部被保送到中大、华工、广工3所学校,每所学校至少去1名,则不同的保送方案共_________种.
14.的展开式中项的系数为20,则实数_________.
15.已知,则_________,_________.
16.2021年义乌国际马拉松赛,我校要从甲、乙、丙、丁等10人中挑选3人参加比赛,其中甲、乙、丙、丁4人中至少有1人参加且甲、乙不同时参加,丙、丁也不同时参加,则不同的报名方案有_________种.
三、解答题
17.现有3名医生,5名护士、2名麻醉师.
(1)从中选派1名去参加外出学习,有多少种不同的选法？
(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组,有多少种不同的选法？
18.一个口袋里有5封信,另一个口袋里有4封信,各封信内容均不相同.
(1)从两个口袋中任取一封信,有多少种不同的取法？
(2)从两个口袋里各取一封信,有多少种不同的取法？
(3)把这两个口袋里的9封信,分别投入4个邮筒,有多少种不同的投法？
19.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数,求:
(1)可以组成多少个六位数？
(2)可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个
(3)可以组成能被3整除的三位数多少个？
20.已知的展开式中,第5项与第3项的二项式系数之比是.
(1)求展开式中各项系数的和;
(2)求展开式中的常数项;
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
21.已知集合.
(1)从中取出3个不同的元素组成三位数,则可以组成多少个
(2)从集合中取出1个元素,从集合中取出3个元素,可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数
22.已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)若,求的值.
答案解析
一、选择题
1.答案:B
解析:∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门,∴由分步乘法计数原理,可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3=12种.
2.答案:D
解析:分三类,第一类组成一位整数,偶数有1个;第二类组成两位整数,其中偶数有2个;第三类组成3位整数,其中偶数有2个.由分类加法计数原理知共有偶数5个.
3.答案:A
解析:.
4.答案:A
解析:共有(种).
5.答案:B
解析:设男学生有人,则女学生有人,从男生中选2人,从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案,即,,即.
6.答案:C
解析:展开式的通项为令,得,则,所以的展开式中含项的系数是80.
7.答案:A
解析:5人排成一排,要求甲、乙两人之间至多有1人,可分为甲乙相邻和甲乙之间只有1人两种情况.当甲、乙相邻时有(种);当甲、乙之间只有1人时,有(种),则不同的排法有84种.
8.答案:D
解析:5个节目全排列共有(种)可能,甲、乙、丙三个节目全排列共有(种)可能,由于甲、乙、丙三个节目的顺序已知确定,所以不同的排法有20(种).
9.答案:B
解析:的展开式中第项为,其中的系数,常数项,的系数分别为,故展开式中的系数为.
10.答案:D
解析:由题意分为两类:第一类,有一个区有3位专家且包含甲、乙,另外两个区各1位专家,则;第二类,有一个区有1位专家,另外两区各有2位专家,其中有一个区是甲、乙2位专家,则,综上一共有36种派遣方案.
11.答案:C
解析:由题意记项的系数为,可知,对应的项为对应的项为对应的项为对应的项为.
而展开式中项的系数为;对应的项的系数为;对应的项的系数为;对应的项的系数为.所以.
12.答案:B
解析:二项展开式的通项为,要使得它为整式,则与均为非负整数,即,故有三项.
二、填空题
13.答案:36
解析:分两步进行,先把4名学生分为的三组,有(种)分法,再将3组对应3个学校,有6(种)情况,则共有(种)保送方案.
14.答案:4
解析:二项式展开式的通项为,令,解得,故展开式中项的系数为,解得.
15.答案:
解析:.
令,得,所以,
令,得,所以.
令得
16.答案:84
解析:根据题意,分3种情况讨论:
①甲、乙、丙、丁4人中,只从甲、乙中选出1人,需要在其他6人中选出2人,有(种)报名方案,
②甲、乙、丙、丁4人中,只从丙、丁中选出1人,需要在其他6人中选出2人,有(种)报名方案,
③甲、乙、丙、丁4人中,从甲与乙、丙与丁中各选1人,需要在其他6人中选出1人,
有(种)报名方案.
故有(种)报名方案.
三、解答题
17.答案:见解析
解析:(1)分三类:第一类:选出的是医生,共有3种选法;第二类:选出的是护士,共有5种选法;第三类:选出的是麻醉师,共有2种选法.根据分类加法计数原理,共有3+5+2=10种选法.
(2)分三步:第一步:选出1名医生,共有3种选法;第二步:选出1名护士,共有5种选法;第三步:选出1名麻醉师,共有2种选法.根据分步乘法计数原理,共有3×5×2=30(种)选法.
18.答案:见解析
解析:(1)任取一封信,不论从哪个口袋里取,都能单独完成这件事,是分类问题.
从第一个口袋中取一封信有5种情况,从第二个口袋中取一封信有4种情况,则共有5+4=9(种).
(2)各取一封信,不论从哪个口袋中取,都不能完成这件事,是分步问题,
应分两个步骤完成,第一步,从第一个口袋中取一封信有5种情况,第二步,从第二个口袋中取一封信有4种情况,由分步乘法计数原理,共有(种).
(3)第一封信投入邮筒有4种可能,
第二封信投入邮筒有4种可能,
……
第九封信投入邮筒有4种可能,
由分步乘法计数原理可知,共有种不同的投法.
19.答案:见解析
解析:(1)先考虑首位,其他任排:(个),故可以组成的六位数600个.
(2)由可组成三位数:先考虑首位,其他任排:(个);
其中不含偶数数字的三位数为任排,有:(个),所以至少有一个偶数数字的三位数有(个).
(3)能被3整除的三位数,即各位数字之和被3整除;可以是包含0的有1,.不包含0的有1,2,.
所以可以组成能被3整除的三位数有:(个).
20.答案:见解析
解析:(1)由题意知,,即,
求得,
故令,可得展开式中各项系数的和为.
(2)由于二项式的通项公式为,
令,求得,
故展开式中的常数项为.
(3)要使二项式系数最大,只要最大,故,
故二项式系数最大的项为第6项.
21.答案:见解析
解析:由,得,又,所以的取值为,即,所以.
(1)从中取出3个不同的元素,可以组成的三位数的个数为.
(2)若从集合中取元素3,则3不能是千位上的数字,满足题意的自然数的个数为.若不从集合中取元素3,则四位数的组成数字有5组:4,5,6,.分别全排列,有(个)满足题意的自然数.所以满足题意的自然数共有(个).
22.答案:见解析
解析:(1),
因为为偶函数且定义域为,则,
即,恒成立,所以.
(2)由(1)可知.
令,可得,
令,可得,
所以.
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