人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册第六章 《计数原理》学业水平测试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册第六章 《计数原理》学业水平测试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 275.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 11:50:42 | ||
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文档简介
《计数原理》学业水平测试题
（时间：45分，满分：100分）
一、选择题（本大题共4小题，每小题7分，共28分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.某公司现准备针对某区域市场开发一款手机软件，而软件的运行需要有相应的手机系统，目前主要的手机系统有6种，在该区域使用的主要有3种，如果公司要选2种系统，那么合适的选择方法种数为（ ）
（A）3 （B）6 （C）15 （D）30
2.电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0~255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ）
（A）6 （B）27 （C） （D）
3.学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（）
（A）5 （B）12 （C）20 （D）120
4.现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100 m接力赛，其中已确定1人跑第1棒或第4棒，另有2人只能跑第2，3棒，还有1人不能跑第1棒，那么合适的选择方法种数为
（A）12 （B）56 （C）84 （D）120
二、填空题（本大题共3小题，每小题7分，共21分，将答案填在题中的横线上.）
5. .
6. .
7. 展开式中的系数为 .
三、解答题（本大题共3小题，每小题17分，共51分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
8，为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复.某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者.
（1）共有多少种选法？
（2）如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法？
（3）如果三个组的志愿者都不能重复，且都要有男生和女生，那么共有多少种选法？
9.（1）已知，求的最大值.
（2）某种细菌每天增加20%，2个这种细菌经过10天大约会变为多少个？（用具体数字作答.）
10.某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过6个转运环节，其中第1，6个环节有两种运输方式，第2，3，5个环节有两种运输方式，第4个环节有三种运输方式.
（1）快件从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有多少种？
（2）如果第4个环节三种运输方式的耗时由低到高各相差12 h，其他环节不同运输方式的耗时相差1h，且每个环节的运输耗时范围见下表.
①如果快递公司的揽件时间是8：00-17：00，送件时间是8：00-20：00，那么“次日送达”和“隔日送达”的运输顺序各有几种？
②假如每种运输方式的运价都相同，1 kg以内快件从甲送到乙的成本为10元，为使公司毛利润达到100%，你会怎样给“次日送达”和“隔日送达”两种快递方式定价？
参考答案
1.A.本题主要评价学生对分类加法计数原理的了解程度，以及运用分类讨论的思想方法进行推理论证的能力.
2.D.本题主要评价学生对分步乘法计数原理的了解程度，以及运用转化与化归的思想方法进行推理论证的能力.
3.B.本题主要评价学生对组合概念和分步乘法计数原理的了解程度，以及运用特殊与一般的思想方法进行抽象概括的能力.
4.B.本题主要评价学生对排列概念的理解程度，对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的了解程度，以及运用特殊与一般的思想方法进行抽象概括的能力.
5.0.本题主要评价学生对排列数和排列数公式的了解程度，以及运用函数与方程的思想方法进行运算求解的能力.
6.256.本题主要评价学生对组合数公式和二项式定理的理解程度，以及运用函数与方程的思想方法进行运算求解的能力.
7.42.本题主要评价学生对二项式定理的理解程度，对组合数公式、分类加法和分步乘法计数原理的了解程度，以及运用转化与化归的思想方法进行运算求解的能力.
8.（1）可以分三步完成：先选下午的志愿者，有种选法；再选上午的志愿者，有种选法；最后选晚上的志愿者，因为可以与上午的重复，所以有种选法.因此，共有种选法.
（2）当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，剩有3名，则从班上的非志愿者中选一名男生替代，至少有种选法.
（3）可以分步完成：第1步，从22名女生中选3名分别安排在三个组，有种选法；第2步，从18名男生中选3名分别安排在三个组，有种选法；第3步，从剩下的34人中选3名安排在上午组，有种选法；第4步，从剩下的31人中选3名安排在下午组，有种选法；第5步，从剩下的28人中选3名安排在晚上组，有种选法.因此，共有种选法.
本题主要通过计数原理和排列组合的应用评价学生对计数原理、排列和组合的理解程度，以及分类讨论的思想方法进行数学建模的能力.
9.（1）设.
因为当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，有最大值.又因为是减函数，所以只需考虑时的大小情况即可.
当时，比较与的大小：
因为，所以.令，可得.由于，因此当时，.
因此，当时，为最大值.
（2）依题意，经过10天，2个细菌可变为个.
因为
，
又，并且当时，递减，所以
.
因此，2个这种细菌经过10天大约会变为12个.
本题主要通过二项式定理的应用评价学生对二项式定理的理解程度，以及运用函数与方程的思想方法进行运算求解的能力.
10.（1）可以分三步完成：先考虑第4环节，从d，e中选1个，有种可能，再考虑第1，
6个环节，可分为两类：一类将a，b全排列，有种；另一类都排a，有1种.最后考虑第2，
3，5个环节，可分为两类：当第1，6个环节为a，b全排列时，三个环节至少一个排c，有种；当第1，6个环节都排a时，三个环节既要排b又要排c，有种.所以，快件从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有种.
（2）①因为揽件时间是8：00-17：00，而最晚送件时间是20：00，所以不同揽件时间“次日送达”的最晚时间范围是[27，36]，“隔日送达”的最晚时间范围是[51，60].根据已知列表，快件从甲到乙的运输耗时范围为[19，60]，则可分为“次日送达”[19，36]和“隔日送达”(36，60]两个运输耗时范围，全部运输顺序为种.
不妨设五种运输方式的速度由小到大依次为a，b，c，d，e，则各环节不同运输方式的耗时范围如下表所示
当第4环节选e时，可得从甲到乙的运输耗时范围为[14，36]，则不论其他环节选哪种运输方式，都可“次日送达”，全部运输顺序有种；
当第4环节选d时，可得从甲到乙的运输耗时范围为[26，48]，其中按d的最晚时间的送达时间范围为[38，48]，则不论其他环节选哪种运输方式，都应列为“隔日送达”，全部运输顺序有种；
当第4环节选c时，可得从甲到乙的运输耗时范围为[38，60]，则不论其他环节选哪种运输方式，都只能“隔日送达”，全部运输顺序有种.
综上所述，“次日送达”的运输顺序有32种，“隔日送达”的运输顺序有2×32=64种
②设“次日送达”和“隔日送达”1 kg以内快件从甲送到乙的价格分别为元和元，则，即.依题意，.不妨令，则.因此，可以给“次日送达”和“隔日送达”1 kg以内快件从甲送到乙的价格分别定为22元和19元.
本题主要通过计数原理和排列组合的应用评价学生对计数原理的理解、排列和组合的掌握程度，以及分类讨论的思想方法进行数学建模的能力.
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（时间：45分，满分：100分）
一、选择题（本大题共4小题，每小题7分，共28分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.某公司现准备针对某区域市场开发一款手机软件，而软件的运行需要有相应的手机系统，目前主要的手机系统有6种，在该区域使用的主要有3种，如果公司要选2种系统，那么合适的选择方法种数为（ ）
（A）3 （B）6 （C）15 （D）30
2.电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0~255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ）
（A）6 （B）27 （C） （D）
3.学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（）
（A）5 （B）12 （C）20 （D）120
4.现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100 m接力赛，其中已确定1人跑第1棒或第4棒，另有2人只能跑第2，3棒，还有1人不能跑第1棒，那么合适的选择方法种数为
（A）12 （B）56 （C）84 （D）120
二、填空题（本大题共3小题，每小题7分，共21分，将答案填在题中的横线上.）
5. .
6. .
7. 展开式中的系数为 .
三、解答题（本大题共3小题，每小题17分，共51分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
8，为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复.某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者.
（1）共有多少种选法？
（2）如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法？
（3）如果三个组的志愿者都不能重复，且都要有男生和女生，那么共有多少种选法？
9.（1）已知，求的最大值.
（2）某种细菌每天增加20%，2个这种细菌经过10天大约会变为多少个？（用具体数字作答.）
10.某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过6个转运环节，其中第1，6个环节有两种运输方式，第2，3，5个环节有两种运输方式，第4个环节有三种运输方式.
（1）快件从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有多少种？
（2）如果第4个环节三种运输方式的耗时由低到高各相差12 h，其他环节不同运输方式的耗时相差1h，且每个环节的运输耗时范围见下表.
①如果快递公司的揽件时间是8：00-17：00，送件时间是8：00-20：00，那么“次日送达”和“隔日送达”的运输顺序各有几种？
②假如每种运输方式的运价都相同，1 kg以内快件从甲送到乙的成本为10元，为使公司毛利润达到100%，你会怎样给“次日送达”和“隔日送达”两种快递方式定价？
参考答案
1.A.本题主要评价学生对分类加法计数原理的了解程度，以及运用分类讨论的思想方法进行推理论证的能力.
2.D.本题主要评价学生对分步乘法计数原理的了解程度，以及运用转化与化归的思想方法进行推理论证的能力.
3.B.本题主要评价学生对组合概念和分步乘法计数原理的了解程度，以及运用特殊与一般的思想方法进行抽象概括的能力.
4.B.本题主要评价学生对排列概念的理解程度，对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的了解程度，以及运用特殊与一般的思想方法进行抽象概括的能力.
5.0.本题主要评价学生对排列数和排列数公式的了解程度，以及运用函数与方程的思想方法进行运算求解的能力.
6.256.本题主要评价学生对组合数公式和二项式定理的理解程度，以及运用函数与方程的思想方法进行运算求解的能力.
7.42.本题主要评价学生对二项式定理的理解程度，对组合数公式、分类加法和分步乘法计数原理的了解程度，以及运用转化与化归的思想方法进行运算求解的能力.
8.（1）可以分三步完成：先选下午的志愿者，有种选法；再选上午的志愿者，有种选法；最后选晚上的志愿者，因为可以与上午的重复，所以有种选法.因此，共有种选法.
（2）当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，剩有3名，则从班上的非志愿者中选一名男生替代，至少有种选法.
（3）可以分步完成：第1步，从22名女生中选3名分别安排在三个组，有种选法；第2步，从18名男生中选3名分别安排在三个组，有种选法；第3步，从剩下的34人中选3名安排在上午组，有种选法；第4步，从剩下的31人中选3名安排在下午组，有种选法；第5步，从剩下的28人中选3名安排在晚上组，有种选法.因此，共有种选法.
本题主要通过计数原理和排列组合的应用评价学生对计数原理、排列和组合的理解程度，以及分类讨论的思想方法进行数学建模的能力.
9.（1）设.
因为当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，有最大值.又因为是减函数，所以只需考虑时的大小情况即可.
当时，比较与的大小：
因为，所以.令，可得.由于，因此当时，.
因此，当时，为最大值.
（2）依题意，经过10天，2个细菌可变为个.
因为
，
又，并且当时，递减，所以
.
因此，2个这种细菌经过10天大约会变为12个.
本题主要通过二项式定理的应用评价学生对二项式定理的理解程度，以及运用函数与方程的思想方法进行运算求解的能力.
10.（1）可以分三步完成：先考虑第4环节，从d，e中选1个，有种可能，再考虑第1，
6个环节，可分为两类：一类将a，b全排列，有种；另一类都排a，有1种.最后考虑第2，
3，5个环节，可分为两类：当第1，6个环节为a，b全排列时，三个环节至少一个排c，有种；当第1，6个环节都排a时，三个环节既要排b又要排c，有种.所以，快件从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有种.
（2）①因为揽件时间是8：00-17：00，而最晚送件时间是20：00，所以不同揽件时间“次日送达”的最晚时间范围是[27，36]，“隔日送达”的最晚时间范围是[51，60].根据已知列表，快件从甲到乙的运输耗时范围为[19，60]，则可分为“次日送达”[19，36]和“隔日送达”(36，60]两个运输耗时范围，全部运输顺序为种.
不妨设五种运输方式的速度由小到大依次为a，b，c，d，e，则各环节不同运输方式的耗时范围如下表所示
当第4环节选e时，可得从甲到乙的运输耗时范围为[14，36]，则不论其他环节选哪种运输方式，都可“次日送达”，全部运输顺序有种；
当第4环节选d时，可得从甲到乙的运输耗时范围为[26，48]，其中按d的最晚时间的送达时间范围为[38，48]，则不论其他环节选哪种运输方式，都应列为“隔日送达”，全部运输顺序有种；
当第4环节选c时，可得从甲到乙的运输耗时范围为[38，60]，则不论其他环节选哪种运输方式，都只能“隔日送达”，全部运输顺序有种.
综上所述，“次日送达”的运输顺序有32种，“隔日送达”的运输顺序有2×32=64种
②设“次日送达”和“隔日送达”1 kg以内快件从甲送到乙的价格分别为元和元，则，即.依题意，.不妨令，则.因此，可以给“次日送达”和“隔日送达”1 kg以内快件从甲送到乙的价格分别定为22元和19元.
本题主要通过计数原理和排列组合的应用评价学生对计数原理的理解、排列和组合的掌握程度，以及分类讨论的思想方法进行数学建模的能力.
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