人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册7.1.2 《乘法公式与全概率公式》名师课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
复习引入
(1)在(即 下同)这三者中,如果已知与,能不能求出？
(2)某人翻开电话本给自己的一位朋友打电话时,发现电话号码的最后一位数字变得模糊不清了,因此决定随机拨号进行尝试,你能用(1)中所得的结论,得出该人尝试两次但都拨不对电话号码的概率吗？
人教A版同步教材名师课件
乘法公式与全概率公式
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解乘法公式 数学抽象
能利用乘法公式解决简单的条件概率问题 逻辑推理
数学建模
理解全概率公式 逻辑推理
能利用全概率公式解决简单的应用问题 数学建模
学习目标
学习目标:
1.结合古典概型,会用乘法公式计算概率.
2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.
3.了解贝叶斯公式.
学科核心素养:
1.从复习条件概率入手,进一步认识事件A发生的概率、已知事件A发生的条件下事件B发生的概率和事件A与事件B同时发生的概率这三者之间的关系,推导出乘法公式,并通过具体实例的应用来加深对乘法公式的理解,培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣,渗透转化思想.
2.从互斥事件及乘法公式入手,通过全概率公式的推导与具体实例的探究,理解全概率公式的实质是可加性和乘法公式的综合运用,体会全概率公式可用于计算比较复杂的事件的概率,帮助学生积累基本解题经验,培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣,提升学生逻辑推理与数学建模等核心素养.
探究新知
学校的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有20名同学参加,学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序,不过,张明对抽签的公平性提出了质疑,他的理由是,如果第一个人抽的出场顺序是1号,那么其他人就抽不到1号了,所以每个人抽到1号的概率不一样,张明的想法正确吗？特别地,第一个抽签的人抽到1号的概率与第2个抽签的人抽到1号的概率是否相等,为什么？
探究新知
1.乘法公式
乘法公式:由条件概率的计算公式可知,
这就是说,根据事件发生的概率,以及已知事件发生的条件下事件发生的概率,可以求出与同时发生的概率.一般地,这个结论称为乘法公式.
典例讲解
例1、已知某品牌的手机屏幕从1米高的地方掉落时,第一次未碎掉的概率为0.5,当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3,试求这样的手机屏幕从1米高的地方掉落两次后仍未碎掉的概率.
设表示第次掉落手机屏幕没有碎掉,
则由已知可得,
,因此由乘法公式
即这样的手机屏幕从1米高的地方掉落两次后仍未碎掉的概率为0.15
解析
典例讲解
例2、在某次抽奖活动中,在甲、乙两人先后进行抽奖前,还有50张奖卷,其中共有5张写有“中奖”字样,假设抽完的奖券不放回,甲抽完之后乙再出抽,求:
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率;
(2)甲没中奖而且乙中奖的概率.
设A:甲中奖, B:乙中奖,则
(1)因为抽完的奖券不放回,所以甲中奖后乙抽奖时,有49张奖券且其中只有4张写有“中奖”字样,此时乙中奖的概率为
根据乘法公式可知,甲中奖而且乙也中奖的概率为
解析
典例讲解
例2、在某次抽奖活动中,在甲、乙两人先后进行抽奖前,还有50张奖卷,其中共有5张写有“中奖”字样,假设抽完的奖券不放回,甲抽完之后乙再出抽,求:
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率;
(2)甲没中奖而且乙中奖的概率.
(2)因为=1 ,所以= ,因为抽完的奖券不放回,所以甲没中奖后乙抽奖时,还有49张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样,此时乙中奖的概率为|)
根据乘法公式可知,甲没中奖而且乙中奖的概率为
)
解析
　
方法归纳
由条件概率公式 ,可推导得出乘法公式:
．
即要求事件同时发生的概率,需建立缩小的事件空间,
再由概率相乘可得．
变式训练
1.在标有1,2,3,4,5这5个数字的卡片里,无放回地抽取两次,一次一张,求:
(1)第一次取到奇数卡片的概率;
(2)已知第一次取到偶数卡片,求第二次取到奇数卡片的概率;
(3)第二次才取到奇数卡片的概率．
设分别表示第一次和第二次取到奇数卡片这两个事件,则
(1).
(2)第一次取出一张偶数卡片,还剩4张卡片,而其中有3张奇数卡片,故此时取一张奇数卡片的概率为,即＝.
解析
变式训练
1.在标有1,2,3,4,5这5个数字的卡片里,无放回地抽取两次,一次一张,求:
(1)第一次取到奇数卡片的概率;
(2)已知第一次取到偶数卡片,求第二次取到奇数卡片的概率;
(3)第二次才取到奇数卡片的概率．
(3)∵第二次才取到奇数卡片,
∴第一次应取偶数卡片,即第一次发生,故{第二次才取到奇数卡片}应是与同时发生,
∴.
解析
探究新知
(1)在例2中,如果想求乙中奖的概率 ,该怎样计算？
(2)一般地,如果已知与),能否求出 ？
如果已知 , , , 能否求出？
探究新知
2.全概率公式:一般地如果样本空间为,而为事件,则与是互斥的,且,如图所示,
从而).
更进一步,当且时,
因为由乘法公式有
,
所以.
这称为全概率公式.
典例讲解
如果用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的,B表示是女生.则根据已知,有
= ,
而且P(B|A),,
题目所要求的是
由全概率公式可知
例3.某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查,参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3,集中甲班中女生占,乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
解析
典例讲解
也可以这样来理解:假设参加活动的甲班人数为则乙班人数为,而且甲班中有女生人,乙班中有女生人。从而可知参加活动的总共有人,而女生有人,因此所求概率为.
例3.某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查,参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3,集中甲班中女生占,乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
解析
探究新知
在上述记号下,我们还可以利用
=P(A) 来得到该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是男生的概率,从而例3中的信息可借助如图所示的数形图来理解.
探究新知
利用全概率公式,可以解决情境与问题中的抽签问题,如果设表示第个抽签人抽到1号, 则可以看出, .
如果第1个抽签人抽到1号,那么第2个人抽到1号的概率为0,即
如果第1个抽签人抽到的不是1号,那么第2个人抽到1号的概率为,
即
因此+ .
这就是说
因此抽签是公平的
探究新知
定理1　若样本空间中的事件满足
(1)任意两个事件均互斥,即;
(2);
(3).
则对中的任意事件都有,且
上述公式也称为全概率公式.
典例讲解
例4.假设某市场供应的智能手机中,市场占有率和优质率的信息,如下表所示,
解析
在该市场中任意买一部智能手机,求买到的是优质品的概率.
用, , 分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌,B表示买到的是优质品,则依据已知条件可得
,
且
因此由全概率公式有
方法归纳
在较复杂情况下直接计算不易,但总是伴随着某个出现,适当地去构造一组互斥的,用之和计算即可．
全概率公式的实际意义
变式训练
解析
2.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30%,20%,50%,且三家工厂的次品率分别为3%,3%,1%,试求市场上该品牌产品的次品率．
设A表示买到一件次品;分别表示买到一件甲厂、乙厂、丙厂的产品．
则
探究新知
用适当的符号表示出下列描述中的已知与未知,并探索问题的解法:
已知某厂生产的食盐优质品率为90%,而且优质品中包装达标的占95%;非优质品中,包装达标的占80%.如果从该厂生产的食盐中,随机取了一袋,发现包装是达标的,那么这袋食盐是优质品的概率为多少？(精确到0.1% )
可以用A表示是优质品,B表示包装达标,
则表示不是优质品,而且有
问题中所要求的是
由条件概率可知 ,
不过,已知中并没有直接给出的值,
但由乘法公式和全概率公式可得
因此一袋包装达标的食盐是优质品的概率为：
探究新知
3.贝叶斯公式:一般地,当且时,
有.这称为贝叶斯公式.
探究新知
定理2　若样本空间中的事件满足:
(1)任意两个事件均互斥,即;
(2);
(.
则对中的任意概率非零的事件,有.
上述公式也称为贝叶斯公式.
典例讲解
用A表示生产线初始状态良好,B表示生产产品为合格品,则由已知有
有 ,,
从而
因此由贝叶斯公式可知
例5. 某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现,每天生产线启动时,初始状态良好的概率为80%,而且,当生产线初始状态良好时,第一件产品合格的概率为95%,否则,第一件产品合格的概率为60%,某天生产线启动时生产出的第一件产品是合格品,求当天生产线初始状态良好的概率（精确到0.1% ).
解析
方法归纳
利用贝叶斯公式解题,即在观察到事件已发生的条件下,寻找导致事件发生的每个原因的概率．
变式训练
解析
3.对以往的数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为75%.已知某天早上第一件产品是合格品,机器调整得良好的概率是多少？
设A表示机器调整良好,B表示产品合格．则
素养提炼
1.由条件概率公式可推出乘法公式,由乘法公式及概率的加法公式可推出全概率公式,由乘法公式和全概率公式可推出贝叶斯公式
2.各公式（乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)都是以等式的形式出现,所以利用公式求某一概率的本质即为解方程
素养提炼
3.在实际应用题中,若需要利用公式（乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)求解,则首先必须验证公式的使用前提条件,如乘法公式中要求;全概率公式中要求任意两个事件均互斥且所有事件构成样本空间,同时每个事件的概率均为正数;贝叶斯公式
中要求且,否则不可随意使用公式
当堂练习
1.某考生回答一道四选一的考题,假设他知道正确答案的概率为0.5,知道正确答案时,答对的概率为100%,而不知道正确答案时猜对的概率为0.25,那么他答对题目的概率为 (　　)
A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0
A
用A表示事件“考生答对了”,用B表示“考生知道正确答案”,用表示“考生不知道正确答案”,
则
解析
2.两批相同的产品各有12件和10件,每批产品中各有1件废品,现在先从第1批产品中任取1件放入第2批中,然后从第2批中任取1件,则取到废品的概率为________.
当堂练习
设A表示“取到废品”,
B表示“从第1批中取到废品”,
有,,
所以
.
解析
3.有甲、乙两袋,甲袋中有3个白球,2个黑球;乙袋中有4个白球,4个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率．
当堂练习
设事件表示“从甲袋取的2个球中有个白球”,其中.
事件表示“从乙袋中取到的是白球”.显然构成一个完备事件组,根据题意得
由全概率公式得= .
解析
归纳小结
乘法公式与
全概率公式
知识深化
方法总结
概率的乘法公式
全概率公式
用乘法公式求概率
用全概率公式求复杂事件的概率
作 业
课本P52：练习1,2