人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 7.1.2 全概率公式 教学设计

《全概率公式》教学设计
一、导语
在计算较复杂事件的概率时,可以先把一个复杂事件表示为一些简单事件的运算结果,然后利用概率的加法公式和概率的乘法公式求其概率.在这样的计算概率的过程中,还有什么规律和方法尚未被发现呢 让我们从求一个复杂随机事件的概率开始今天的学习吧!
设计意图:通过导语设计,引出本节课研究的问题,激发学生学习的热情.
二、探究新知,建构概念
问题1:从有个红球和个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大 如何计算这个概率呢
师生活动:
教师提出问题,让学生充分思考、讨论、交流.然后教师找几名学生分享观点与思路.
我们知道,抽签具有公平性,所以第2次摸到红球的概率也应该是,对于这个结果,你能理解吗 你能证明吗
师生活动:
先让学生尝试自主证明上面的问题,在学生证明时,教师可以适当引导.
第2次摸到红球,可能是在第一次摸到红球的情况下第2次摸到红球,也可能是在第一次摸到蓝球的情况下第2次摸到红球.
教师和学生共同完成证明,证明过程如下:
用表示事件“第次摸到红球”,表示事件“第次摸到蓝球”,.如下图所示,事件可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并,即.利用概率的加法公式和乘法公式,得
.
教师总结:将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.
追问:如果把一个复杂事件表示成多个互斥事件的并,能得出什么结果
设是一组两两互斥的事件,,且,则对任意事件,求事件的概率.
师生活动:
教师引导学生画图分析,如下图所示.
直接归纳出,于是可得到全概率公式:一般地,设是一组两两互斥的事件,,且,则对任意事件,有.
教师指出这个公式称为全概率公式,它是计算概率的最基本公式之一.
设计意图:通过具体摸球实例,由具体到抽象,由特殊到一般,让学生感受、体会全概率公式得出的全过程,提升学生分析问题、解决问题的能力,培养学生用数学语言表达问题的能力.
三、典例剖析
例1 某学校有两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去餐厅,那么第2天去餐厅的概率为;如果第1天去餐厅,那么第2天去餐厅的概率为.计算王同学第2天去餐厅用餐的概率.
师生活动:
教师引导学生分析:第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响,可根据第1天可能去的餐厅,将样本空间表示为“第1天去餐厅用餐”和“第1天去B餐厅用餐”两个互斥事件的并,利用全概率公式求解.
教师要求学生写出解题过程,然后进行点评,给出规范的解题过程,如下:
解:设“第1天去餐厅用餐”,“第1天去餐厅用餐”,“第2天去餐厅用餐”,则,且与互斥.根据题意得,.
由全概率公式,得
.
因此,王同学第2天去餐厅用餐的概率为.
教师引导学生归纳解题的一般步骤:
第一步,用符号表示随机事件;
第二步,划分样本空间;
第三步,分别计算概率;
第四步,由全概率公式求概率.
设计意图:通过对一个现实情境问题的分析与解决,让学生体会全概率模型,以及掌握如何从具体问题中抽象出全概率模型,最后归纳总结用全概率公式解决问题的步骤.
例2 有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为,第2,3台加工的次品率均为,加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的.
(1)任取一个零件,计算它是次品的概率;
(2)如果取到的零件是次品,计算它是第台车床加工的概率.
师生活动:
教师首先要求学生用符号表示例2中的事件.用简单事件的运算结果表示所要求概率的事件.接着让学生自主解决问题,也可以与同学进行讨论.
在此基础上,教师进行如下分析:取到的零件可能来自不同的车床,如果设“任取一个零件为次品”,“零件为第台车床加工”,那么可将事件表示为3个两两互斥事件的并(如图),利用全概率公式可以计算出事件的概率.
要求学生写出规范的解题步骤,找两名学生板演.
解:设“任取一个零件为次品”,“零件为第台车床加工”,则,且,两两互斥.根据题意得
,.
(1)由全概率公式,得.
(2)“如果取到的零件是次品,计算它是第台车床加工的概率”,就是计算在发生的条件下,事件发生的概率..
类似地,可得.
学生完成后教师进行点评指导,提醒学生解答过程要有文字说明和符号表示,不能只写运算式子.
设计意图:通过本例题,提高学生用数学语言表达问题与解答问题的能力,也为引出贝叶斯公式作铺垫.
四、知识延伸,综合应用
问题2:例2中的实际意义是什么
师生活动:
教师引导学生思考,指出是试验之前就已知的概率,它是第台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(发生),是这件次品来自第台车床加工的可能性大小,通常称为后验概率.
如果对加工的次品,要求操作员承担相应的责任,那么就分别是第台车床操作员应承担的份额.
教师引导学生归纳出解决例3第二问的关键性等式:.
追问:你能把这个式子进行推广吗
师生活动:
引导学生仿照全概率公式一般化的过程,尝试用符号表示问题.
学生尝试写出贝叶斯公式的一般形式:
设是一组两两互斥的事件,,且,则对任意事件,有.
教师指出:这个公式是由英国数学家贝叶斯首先发现的,称为贝叶斯公式,它用来描述两个条件概率之间的关系.贝叶斯公式在统计学中有着广泛的应用.
设计意图:借助例2引导学生思考,并把这一思考结果进行推广,得出贝叶斯公式,让学生体会贝叶斯公式与全概率公式的关系,体会数学公式推导的过程.
例3 在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或.已知发信号0时,接收为0和1的概率分别为和;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为和.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)分别求接收的信号为0和1的概率;
(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.
师生活动:
教师引导学生分析:设“发送的信号为0”,“接收到的信号为0”,则“发送的信号为1”,接收到的信号为1”.我们可以用图形表示事件之间的关系,如图所示.
问题(1)就是求和;问题(2)就是求.
要求学生写出完整的解答过程.
解:设“发送的信号为0”,“接收到的信号为0”,则“发送的信号为1”,“接收到的信号为1”.由题意得
.
(1)
.
(2).
设计意图:通过具体问题,让学生学会在具体情境中使用不同的概率模型分析解决问题,提升学生的数学建模核心素养.
巩固练习:教材第52页练习第1,2题.
五、总结与提升
教师可以设置以下问题让学生思考:
(1)全概率公式中将样本空间分拆成若干个两两互斥的事件的并集的作用是什么
(2)应用全概率公式计算概率的步骤是什么
(3)条件概率与贝叶斯公式有什么联系
设计意图:通过问题设计,让学生归纳总结本节课学习的内容.
六、布置作业
教材第53页习题7.1第5,7,8题.
板书设计:
全概率公式 1.全概率公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,,且,则对任意的事件,有.我们称这个公式为全概率公式 例1 例2 2.贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件,,且,则对任意的事件,有 , 例3 3.总结与提升 4.布置作业
教学研讨:
本案例通过不放回摸球试验引入本节课的研究课题,在不放回摸球试验中,求第2次摸到红球的概率,这是一个古典概型问题.在必修“概率”一章的学习中,当球的个数为具体数时,通过列举试验的样本空间,求出第2次摸到红球的概率,这个概率与第1次摸到红球的概率相等.现在球的个数是抽象的数,希望根据已有的经验,借助于树状图,利用第1次摸球的两种可能结果,将事件“第2次摸到红球”表示为两个互斥事件的并事件,然后利用概率公式求第2次摸到红球的概率这一过程使学生体会并学习到这种解决问题的方法.在教学中,教师可以试着让学生将这个过程一般化,归纳得到全概率公式.如果学生自己完不成归纳,要结合学生的情况,给予一定的引导.此案例的例题都是教材上的例题,情境真实且多样化,既简单又典型.三个例题代表三个不同的实际情境,都是典型的应用全概率公式求解的问题,而且计算量较小.教师还可以根据学生的实际情况,适当补充一些实例.
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