人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册7.1.2《条件概率》教学设计

《条件概率》教学设计
一、提出问题,引入课题
在必修“概率”一章的学习中,我们遇到过求同一试验中两个事件与同时发生(积事件的概率问题.当事件与相互独立时,有.如果事件与不独立,如何计算 是否也有一个一般的公式呢 这节课我们就来研究这个问题.
设计意图:通过设置问题情境,引出本节课要研究的课题,激发学生的求知欲.
二、探究新知
1.提出问题
问题1:某个班级有45名学生,其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示.
在班级里随机选择一人做代表.
(1)选到男生的概率是多少
(2)如果已知选到的是团员,那么选到的是男生的概率是多少
师生活动:
教师展示问题1,提出相关问题引导学生分析.
师:你还记得我们学习过的古典概型所具有的两个特征吗
生:有限性与等可能性.
师:上面问题1中的两个问题是否满足古典概型
对于问题(1),是古典概型.让学生自主完成,要求学生用符号表示样本空间和相关事件,然后用古典概型的概率计算公式求解.
教师引导学生思考,学生小组讨论后,教师展示解题过程:
随机选择一人做代表,则样本空间包含45个等可能的样本点.用表示事件“选到团员”,表示事件“选到男生”,根据上表得出.根据古典概型知识可知,选到男生的概率.
对于问题(2),教师提出问题:这个问题还是我们前面学习过的古典概型问题吗 如果是,那么它的样本空间是什么
引导学生分析“在选到团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件发生的条件下,事件发生”的概率,记为.此时相当于以为样本空间来考虑事件发生的概率,而在新的样本空间中事件就是积事件,包含的样本点数.根据古典概型知识可知.
追问:事件的发生对样本空间产生了怎样的影响
生:事件的发生使样本空间缩小了.
设计意图:通过具体实例,使学生对条件概率有初步的了解和认识,为引出条件概率的概念奠定基础.
问题2:假定生男孩和生女孩是等可能的,现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭,那么
(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大
(2)如果已经知道这个家庭有女孩,那么两个小孩都是女孩的概率又是多大
师生活动:对于问题(1),要求学生用集合语言表示样本空间和问题中涉及的事件,并找一名学生判断问题(1)是否是古典概型.然后教师引导学生进行互动交流,并选出学生代表展示解题过程:
用表示男孩,表示女孩,样本空间,,且所有样本点都是等可能的,因此问题(1)是古典概型问题.事件“选择的家庭中有两个小孩都是女孩”,则.根据古典概型知识可知,该家庭中两个小孩都是女孩的概率是.
如果学生只是写出最后的表达式,没有写出解答过程,那么教师首先要规范学生用集合语言表示样本空间和问题中涉及的事件.学生先判断该问题是否是古典概型问题,然后再用古典概型的概率计算公式求解.
对于问题(2),教师先提出问题:问题(2)是否满足古典概型的条件 然后引导学生进行互动交流,让学生自主完成解题过程,最后展示解题过程:
问题(2)是古典概型问题.在问题(1)的基础上,设“选择的家庭中有女孩”,则.“在选择的家庭有女孩的条件下,两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件发生的条件下,事件发生”的概率,记为.此时成为样本空间,事件就是积事件.根据古典概型知识可知,.
设计意图:通过问题的分析,加深理解样本空间的变化对概率的影响,为抽象概括条件概率的概念作铺垫.
2.抽象概括条件概率的概念
问题3:结合以上两个问题,你能探索条件概率与之间的关系吗
师生活动:借助下图可知,若已知事件发生,则成为样本空间.此时,事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值,即.
因为,
所以在事件发生的条件下,事件发生的概率可以通过来计算.
于是,给出一般的条件概率的定义:一般地,设为两个随机事件,且,我们称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率,简称条件概率.
设计意图:通过上面的问题,得出条件概率的概念,让学生经历条件概率概念形成的过程,提升学生的数学抽象核心素养.用图表示事件的关系,加深学生对条件概率的直观理解.
3.条件概率与独立性的关系,乘法公式
问题4:在以上问题的探究过程中,我们发现与一般不相等.如果与相等,那么事件与应满足什么条件 为什么
师生活动:
师:你能解释的意义吗
直观上看,当事件与相互独立时,事件发生与否不影响事件发生的概率,这等价于成立.
师:你能用条件概率的定义及事件独立性的定义证明吗
若事件与相互独立,即,且,则.
反之,若,且,即,所以有,即事件与相互独立.
因此,当时,当且仅当与相互独立时,有.
追问:对于任意两个事件与,如果已知与,如何计算呢
师生活动:
教师引导学生通过对条件概率公式进行变形,得到计算的公式,即对任意两个事件与,若0,则,称此式为概率的乘法公式.同理,若,则.
设计意图:通过提出问题,让学生探究条件概率与独立性的关系,加深对条件概率的理解,在此基础上引导学生推导出概率的乘法公式.
三、举例应用
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,抽出的题不再放回.求:
(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;
(2)在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.
师生活动:
教师引导学生分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件,由于“抽出的题不再放回”,所以两个事件是不独立的,那么问题(1)就是积事件的概率,问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率,再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率,再用乘法公式求积事件的概率.
接着,让学生独立完成.在学生完成本例题的解答以后,教师给出完整的解题过程,具体如下:
解法1:设“第1次抽到代数题”,“第2次抽到几何题”.
(1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道,试验的样本空间包含20个等可能的样本点,即.
因为,所以.
(2)“在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题”的概率就是事件发生的条件下,事件发生的概率.显然.利用条件概率公式,得
解法2:在缩小的样本空间上求.已知第1次抽到代数题,这时还余下4道试题,其中代数题和几何题各2道.因此,事件发生的条件下,事件发生的概率为.
又,利用乘法公式可得.
最后,要求学生把上述解题过程与自己的解题过程进行对比与分析,找出不足,进行反思.教师进行解法的总结.
追问:通过以上的例题解答,请问求条件概率一般有几种方法 你认为条件概率有什么性质
师生活动:学生思考并回答问题,教师进行总结.
(1)求条件概率一般有两种方法:一种是基于样本空间,先计算和,再利用条件概率公式求;另一种是根据条件概率的直观意义,增加了“发生”的条件后,样本空间缩小为,求就是以为样本空间计算的概率.
(2)条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设,则
①;
②如果和是两个互斥事件,则;
③设和互为对立事件,则.
设计意图:通过具体问题情境,使学生从多角度分析解决问题,加深学生对条件概率和事件独立性的理解和认识,归纳求条件概率的两种方法,总结条件概率的基本性质.
例2 已知3张奖券中只有1张有奖,甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗
师生活动:
教师引导学生分析:要知道中奖概率是否与抽奖次序有关,只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张有奖,所以“乙中奖”等价于“甲没有中奖且乙中奖”,“丙中奖”等价于“甲和乙都没有中奖”,利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.
解:用分别表示甲、乙、丙中奖的事件,则.
;
;
.
因为,所以中奖的概率与抽奖的次序无关.
追问:如果是放回随机抽样,中奖的概率与抽奖的次序有关吗 获奖的情况会有什么改变
师生活动:教师引导学生与放回随机抽样中奖的概率进行比较,得出结论:在抽奖问题中,无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取,中奖的概率都与抽奖的次序无关.
设计意图:通过这一现实问题的分析与解决,让学生体会如何把一个实际问题转化成一个数学问题,并用数学的思想与方法解决问题,培养学生的数学建模核心素养.
例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后1位数字.求:
(1)任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率;
(2)如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率.
师生活动:
教师引导学生分析:最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对,或者第1次按错但第2次按对”.因此,可以先把复杂事件用简单事件表示,再利用概率的性质求解.
在例题讲解时,教师要指出相比例题2,例题3涉及的事件更多.如果设“第次按对密码”,要求学生能够准确表示事件“不超过2次就按对密码”,可表示为.
事件与事件互斥,由概率的加法公式及乘法公式,得.
因此,任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率为.
在问题(2)的讲解中,教师指出若设“最后1位密码是偶数”,可以得到
因此,如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率为.
设计意图:通过具体实例,让学生进一步感受计算复杂事件的概率的方法.
四、课堂总结
教师引导学生回顾本节课的学习过程,并让学生回答以下问题:
(1)什么是条件概率 条件概率与积事件的概率有什么关系
(2)“事件同时发生”与“在事件发生的条件下,事件B发生”的区别,这两个事件的概率有什么关系 哪个概率较大
(3)求条件概率一般有几种方法
(4)条件概率有哪些性质 如何运用条件概率的性质求较复杂事件的概率
设计意图:通过问题设计,引导学生思考总结本节课所学的内容与方法,提升学生的总结归纳能力.
五、布置作业
教材第48页练习第题.
板书设计:
7.1.1条件概率 1.条件概率的定义 一般地,设为两个随机事件,且,我们称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率,简称条件概率 2.条件概率与独立性的关系,乘法公式 当时,当且仅当事件与相互独立时,有 对任意两个事件与,若,则,称此式为概率的乘法公式 例1 3.条件概率的性质 设,则 (1) (2)如果和是两个互斥事件,则 (3)设和互为对立事件,则 例2 例3
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