人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册7.1《条件概率与全概率公式课时1》教学设计

《条件概率与全概率公式》教学设计
课时1条件概率
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
条件概率的概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 创造迁移能力 综合问题解决 数学抽象 【考查内容】 根据条件概率、概率的乘法公式、条件概率的性质解决实际问题 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
概率的乘法公式 数学运算
条件概率的性质 数学建模 逻辑推理
全概率公式 数学运算
*贝叶斯公式 数学运算
一、本节内容分析
本节主要在必修课程概率的基础上,通过研究简单事件求复杂事件的概率,主要内容为条件概率和概率的乘法公式.条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位,教科书只是简单介绍条件概率的初等定义.为了便于学生理解,教材以简单事例为载体,逐步通过探究,引导学生体会条件概率的思想.
全概率公式是概率论中一个基本而重要的公式,其基本思想是利用一组两两互斥的事件,将一个复杂事件表示为两两互斥事件的和事件,再由概率的加法公式和乘法公式求这个复杂事件的概率,它为计算某些事件的概率提供了有力的工具.在本节,教材创设不同的情境,让学生先直观认识条件概率的意义,通过列举试验的样本空间,发现条件概率的本质是在缩小的样本空间上的概率,然后从特殊到一般,抽象出条件概率的定义.同样地,通过具体实例,提炼出求复杂事件概率的基本思路,将其一般化得到全概率公式.利用全概率公式计算概率,体现了分解与综合、化难为易的转化思想.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.条件概率的概念 2.概率的乘法公式 3.条件概率的性质 4.全概率公式 5.*贝叶斯公式 数学抽象 数学运算 数学建模 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
学生具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,并且对概率有了一些基础的认识,对一些简单的概率模型(古典概型、条件概率)已经有所了解.但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,但缺乏冷静、深刻.在学习中,学生可能对条件概率的判断和计算,会有些困难,但相比较,计算上困难会更大一些.
全概率公式的思想是用简单事件的运算表示复杂事件,利用概率的性质及概率公式简化概率的计算,这种思想方法具有一般性,贝叶斯公式虽然本质上是求条件概率,但隐含着深刻的数学思想,它反映了试验之后对各种“原因”发生可能性大小的新认识.学生还可能存在混淆两个事件相互独立与两个事件互斥的概念,并由此引发概率公式运用错误.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.条件概率
2.全概率公式
【教学目标设计】
1.结合古典概型,了解条件概率与概率的乘法公式,了解条件概率与独立性的关系,熟悉条件概率的性质,能计算简单随机事件的条件概率.
2.结合古典概型,理解全概率公式的概念,达到数学抽象素养.会利用全概率公式计算概率.
3.了解贝叶斯公式.
【教学策略设计】
由于学生自我归纳能力较差,又习惯于就题论题,因此适合提问引导启发式授课方式和归类对比的学习方法.讲解的时候,应做到适当启发、设问,引发学生对问题的思考,引导学生找到解题思路,并且点拨学生进行对比归类,提高学生对问题的分析、归纳、总结的能力.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.条件概率的概念及计算,概率的乘法公式及应用.
2.理解全概率公式的概念,认识全概率公式是用简单事件的运算表示复杂事件,会转化和化归、化繁为简的思想.
3.会用全概率公式解决一些实际问题.
4.了解贝叶斯公式及其应用.
难点 1.对条件概率中“条件”的正确理解,条件概率与无条件概率的比较.
2.由具体实例抽象推导全概率公式的过程.
3.运用全概率公式求概率.
4.贝叶斯公式的理解和应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
抓阄游戏:三张奖券中只有一张能中奖.现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.
师:在抓阄游戏中,三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小
【学生讨论,可以小组交流,充分交流后展示结果】
生:若抽到中奖奖券用表示,没有抽到用表示,则三名同学的抽奖结果共有三种可能:和.用表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”,则仅包含一个样本点.由古典概型计算公式可知,最后一名同学抽到中奖奖券的概率.故三名同学抽到中奖奖券的概率是相同的.
师:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少
【深入思考,小组内同学合作讨论,得出以下结论,教师因势利导.一些学生缺乏用数学语言来表述问题的能力,教师可适当辅助完成】
师:因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券,所以可能的样本点只有和.而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的样本点仍是.由古典概型计算公式可知,最后一名同学抽到中奖奖券的概率为.不妨记为,其中表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”,这就是今天要学习的内容——条件概率.
【设情境 巧激趣】
教师先规定学习任务,在学生根据实际情况充分讨论的基础上展示结果,教师再总结引导,进而引出本节课的内容,激发学生学习兴趣.
【以学论教】
教师在课堂教学中,充分体现了学生的主体地位,组织并促进学生讨论交流,激发了学生学习的热情和探究兴趣,充分体现了问题教学法、以学论教.
教学精讲
探究1 条件概率的概念
【情景设置】
探究条件概率的概念
假定生男孩和生女孩是等可能的,现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭,那么,
(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大
(2)如果已经知道这个家庭有女孩,那么两个小孩都是女孩的概率又是多大
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
师:若用表示男孩,表示女孩,样本空间.设“选择的家庭中有女孩”,则;设事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”,则.
(1)根据古典概型的知识可知,该家庭中两个小孩都是女孩的概率是.
(2)“在选择的家庭有女孩的条件下,两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件发生的条件下,事件发生”的概率,记为.此时成为样本空间,事件就是积事件.根据古典概型知识可知,.
师:结合以上问题,你能探索条件概率与之间的关系吗
【少教精教】
通过思考,合作交流,由学生计算问题1和问题2的概率,教师作适当点评,规范书写的格式.通过少教精教使学生深入探究条件概率.
生:由上面的计算得知,,
师:所以,在事件发生的条件下,事件发生的概率可以通过来计算.由此我们可归纳出条件概率的概念.
【要点知识】
条件概率的概念
设和为两个事件,,那么,在“已发生”的条件下,发生的条件概率读作发生的条件下发生的概率.定义为.
师:通过前面的问题我们看到.一般地,与不一定相等.如果与相等,那么事件与应满足什么条件
【概括理解能力】
由具体实例抽象概括形成数学概念,是数学抽象的重要表现形式,也是重要的数学思想方法.条件概率的定义不再局限于古典概型,对于一般的概率模型都成立,这也是数学概念一般性的体现.提升学生概括理解能力.
【学生思考、师生共同分析、归纳和总结,教师出示多媒体】
【要点知识】
的条件
当事件与相互独立时,事件发生与否不影响事件发生的概率,这等价于成立.事实上,若事件与相互独立,即且则
反之,若且则
即事件与相互独立.
探究2 条件概率的解法
师:大家思考这样一个问题,对于任意两个事件与,如果已知与,如何计算呢
【学生思考、交流,教师补充、共同归纳得到计算公式】
【要点知识】
概率的乘法公式
由条件概率的定义,对任意两个事件与,若,则,我们称上式为概率的乘法公式.
师:条件概率是当试验结果的一部分已知,求另一事件在此条件下发生的概率.为了更好地理解这一概念和利用概率乘法公式,下面我们来看一道例题.
【分析计算能力】
学生在教师引导下,独立完成例1.在解题过程中提升了分析计算能力.
【典型例题】
探究条件概率的两种求法
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽取1道题,抽出的题不再放回.求:
(1)第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率;
(2)在第一次抽到代数题的条件下,第二次抽到几何题的概率.
【教师先作示范性分析,强调“抽出的题不放回”的意义】
师:如果把“第一次抽到代数题”和“第二次抽到几何题”作为两个事件,由于“抽出后不放回”,所以两个事件是不独立的,那么问题(1)就是去积事件的概率,问题(2)就是条件概率.
【由学生独立完成.在学生完成本例题的解答后,教师给出完整的解题过程】
师解:设=“第一次抽到代数题”,=“第二次抽到几何题”.
对于问题(1),
,所以,
对于问题(2),
显然,利用条件概率公式,得.
师:还有没有更简便的方法来求
【在分析学生的各种解法后,教师需指出可以在缩小的样本空间上求.在事件发生的条件下,事件发生的概率为】
【要求学生与自己的解题过程进行对比分析,找出不足,进行反思.教师进行解法的总结】
追问:通过以上的例题解答,请问求条件概率一般有几种方法
【学生思考并回答问题,教师进行总结】
【先学后教】
组织学生展开充分的交流讨论,明确两个事件同时发生的概率与条件概率的区别与联系,教师对于解题的要点、技巧和解决问题的经验予以点拨和分析.
【方法策略】
求条件概率的方法
一种是基于样本空间,先计算和,利用条件概率公式求;另一种是根据条件概率的直观意义,增加了“发生”的条件后,样本空间缩小为,求就是以为样本空间计算的概率.
【情境学习】
通过具体的实例,引入条件概率的直观概念,使学生认识到在事件发生的条件下,会缩小样本空间,能够使学生直观理解概念,进行计算.
师:好的,那接下来我们利用条件概率解决一些简单问题.
【典型例题】
利用定义求条件概率
例2 现准备6个节目参加比赛,其中4个舞蹈类节目,2个语言类节目.如果不放回地依次抽取2个节目,求:
(1)第1次抽到舞蹈类节目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈类节目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈类节目的条件下,第2次抽到舞蹈类节目的概率.
师:第(1)问,该问题可以利用以前所学的古典概型的相关知识进行解答,也可只考虑第一次抽取的情况即可,即一共6个节目,其中4个舞蹈类节目,任取一个取到舞蹈类节目的概率是多少.
【同学们积极思考,独立完成,教师指定学生回答】
师:第(2)问,如果两次都取到舞蹈类节目,可能用到的方法有:列举法,即把所有的情况全部列举出来进行求解;利用乘法原理及古典概型进行求解.
【教师引导学生思考,学生独立完成,让学生充分展示自己的解题思路】
师:第(3)问,根据条件概率的定义以及该题的前两问直接利用公式就可以求出结果.
【教师引导学生思考,学生独立完成,教师指定学生回答并给予肯定】
【简单问题解决能力】
通过实际问题,让学生总结归纳出条件概率的基本性质.为解决较为复杂的条件概率问题做好铺垫.提升简单问题解决能力.
师:请同学们用缩小样本空间的方法,解决下面的条件概率问题.
【典型例题】
缩小样本空间求条件概率
例3 集合,甲、乙两人各从中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
师:最直观的想法是,把所有的情况列举出来,共30种情况,甲抽到奇数的情况有15种,甲抽到奇数的概率就是.甲抽到奇数且乙抽到的数比甲大的情况共有9种,即概率为,所以根据条件概率的定义得到最终结果为.
【放手让学生交流讨论,展示各自的想法】
生解:将甲抽到数字,乙抽到数字,记作,甲抽到奇数的情形有,,共15个.在这15个情形中,乙抽到的数比甲抽到的数大的有,,共9个.所以所求概率.
【先学后教】
对于三个例题的处理,都是给学生留出充分的时间,可以进行小组讨论,然后学生给出解题思路及答案.最后教师总结提升,确保教的针对性和适切性.
【以学定教】
教师以生活中的实际问题,得出条件概率的概念,再以条件概率的公式解决简单的问题,通过实际问题的处理总结分析出条件概率的基本性质,进而解决较为复杂的综合问题,确定研究的新问题,以学定教.
师:同学们,接下来,我们看一道乘法公式的应用例题.
【典型例题】
概率乘法公式的应用
例4 已知3张奖券中只有1张有奖,甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗
师:要知道中奖概率是否与抽奖次序有关吗 为什么
【分析计算能力】
通过具体的实例,利用概率乘法公式求条件概率,帮助学生掌握概率乘法公式,提升学生对实际问题的分析计算能力.
【学生思考、讨论、交流,教师点名回答问题】
生:没有关系,因为只有1张有奖,谁抽到谁中奖,所以和次序无关.
师:如何通过求概率证明这个结论呢
【教师引导学生积极思考,独立做题,教师巡视,给予个别指导,并出示规范解题过程】
【典例解析】
概率乘法公式的应用
分析:因为只有1张有奖,所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”,“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”,利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.
解:用分别表示甲、乙、丙中奖的事件,则.;
;
.
因为,所以中奖的概率与抽奖的次序无关.
师:事实上,在抽奖问题中,无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取,中奖的概率都与抽奖的次序无关.
【少教精教】
通过前面的学习,由师生总结条件概率的基本性质,教师做适当的点评,在学生自学的基础上进行精教,少教是凸显精致,意味着更高的质量.
探究3 条件概率的性质
师:同学们,我们知道了条件概率是缩小了样本的空间,那么条件概率是否仍然具有概率的基本性质呢
【学生思考,合作交流、回答问题、学生总结、教师点评,得到条件概率仍然具备概率的基本性质】
【要点知识】
条件概率的基本性质
条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质,设0,则:
(1);
(2);
(3)如果和是两个互斥事件,则;
(4)设和互为对立事件,则.
【活动学习】
通过教师引导,学生积极思考,独立完成题目,教师板书,规范解题思路和方法,锻炼了学生的数学思维.
师:接下来,我们通过一道例题,来解决互斥事件的条件概率问题.
【典型例题】
求互斥事件的条件概率
例5 在一个袋子中装有10个球,其中有1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球,从中依次摸2个球,求在第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率.
【引导学生积极思考,独立完成,根据学生的回答教师板书该题的详细解题步骤】
师解:(定义法)设“摸出第一个球为红球”为事件“摸出第二个球为黄球”为事件,“摸出第二个球为黑球”为事件,
则.
所以,
.
所以.所以所求的条件概率为.
师:该题是否还有更简洁的解题方法
生:因为,
所以.所以所求的条件概率为.
【推测解释能力】
学生能提取相关知识,对其进行直接推理,利用条件概率的相关知识解决简单的实际问题,通过例6使知识掌握更牢固.提升推测解释能力.
【简单问题解决能力】
通过例题的学习,使学生能够在熟悉的数学问题情境中,将实际问题还原成数学问题,建立数学模型,培养学生利用条件概率的有关知识解决简单问题的能力.
师:很好!请同学解决下面利用条件概率的性质求复杂事件概率的应用题.
【巩固练习】
求互斥事件的条件概率
银行储蓄卡的密码由6位数字组成,某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后1位数字.求:
(1)任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率;
(2)如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率.
【教师引导,学生独立思考、做题,教师巡视,给予个别指导】
师:最后1位数字“不超过2次就按对”等价于“第1次按对,或者第1次按错但第2次按对”.因此,可以先把复杂事件用简单事件表示,再利用概率的性质求解.
生解:(1)设“第次按对密码”,则事件“不超过2次就按对密码”可表示为.
事件与互斥.由概率的加法公式及乘法公式,得
.
因此,任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率为.
(2)设“最后1位密码为偶数”,则
因此,如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率为.
【综合问题解决能力】
通过巩固练习,加强条件概率性质的应用,使学生掌握求互斥事件的条件概率,提升了学生的综合问题解决能力.
师:好的,同学们,本节课主要在必修课程概率的基础上,研究通过简单事件求复杂事件的概率,主要内容为条件概率和概率的乘法公式.下面请同学们具体回忆一下,本节课的重点概念.
生:本节课共学习了以下主要内容:
(1)条件概率的概念及求解方法;(2)概率的乘法公式及其应用;(3)条件概率的性质;(4)条件概率的应用.
师:很好！通过本节课的学习,同学们要会应用条件概率的有关知识解决简单的实际问题.
【学生回忆、归纳总结,教师补充】
【课堂小结】
条件概率
【设计意图】
通过条件概率的学习,学生理解条件概率、会利用条件概率公式和概率乘法公式,计算简单随机事件的条件概率,了解条件概率与独立性的关系,培养概括理解、分析计算、简单问题解决、综合问题解决、猜想探究能力,提升了数学抽象、数学建模、数学运算核心素养.
教学评价
学完本节课,我们应该理解条件概率、全概率的概念,会求简单的条件概率、全概率问题,理解条件概率、全概率的性质,并能够利用性质解决较为综合性的实际问题.
【设计意图】
能够在熟悉的数学问题情境中直接应用数学知识进行列式、计算解决问题,锻炼分析计算能力.通过问题组梳理全概率公式的基本思想和解题的步骤,有助于学生把握数学思想方法,提升他们的数学核心素养.
应用所学知识,完成下面各题:
1.一个盒子中有6只白球、4只黑球,从中不放回地每次任取1只,连取2次,第2次取到白球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析:设“第1次取到白球”,“第2次取到白球”.因为且与互斥,所以.
答案:
2.根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下的效果:若以表示事件“试验反应为阳性”,以表示事件“被诊断者患有癌症”,则有.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为,即,试求.
解析:因为,所以.
因为,所以.
所以.
【简单问题解决能力】
教学评价中的两个习题分别应用到全概率公式和贝叶斯公式,可以让学生对本节课的掌握情况进行及时的自我评价,通过练习提升学生的简单问题解决能力.
教学反思
条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位,为了便于学生理解,教材以简单事例为载体,通过逐步探究,引导学生体会条件概率的思想.通过本节课的学习,我们掌握了两种解决条件概率的方法,分别是定义法和缩小样本空间的方法,能不能运用好可能是学生在学习中主要困难.
全概率公式是概率论中一个基本而重要的公式,在本节课中,通过创设不同的情境,通过列举试验的样本点,从特殊到一般,提炼出求复杂事件概率的基本思路,将其一般化得到全概率公式.贝叶斯公式本质上还是条件概率,通过本节课的学习,可以增强学生思维的严谨性和思考问题的多角度性.另外,就全概率公式和贝叶斯公式的应用这一部分知识来说,题目涉及的试验过程一般较为繁琐,所以对两个公式的深刻理解,以及理清题意,灵活利用公式求解也是一个需要克服的难关.
【以学论教】
对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果总结出通过引导和启发学生体会条件概率的思想、创设不同情境从特殊到一般归纳总结全概率公式,并了解贝叶斯公式的实质.由于学生对相互独立事件与互斥事件的概念易发生混淆,教师在教学过程当中应帮助学生理解.
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