人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册7.1《条件概率与全概率公式课时2》教学设计

《条件概率与全概率公式》教学设计
课时2全概率公式
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
条件概率的概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 创造迁移能力 综合问题解决 数学抽象 【考查内容】 根据条件概率、概率的乘法公式、条件概率的性质解决实际问题 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
概率的乘法公式 数学运算
条件概率的性质 数学建模 逻辑推理
全概率公式 数学运算
*贝叶斯公式 数学运算
一、本节内容分析
本节主要在必修课程概率的基础上,通过研究简单事件求复杂事件的概率,主要内容为条件概率和概率的乘法公式.条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位,教科书只是简单介绍条件概率的初等定义.为了便于学生理解,教材以简单事例为载体,逐步通过探究,引导学生体会条件概率的思想.
全概率公式是概率论中一个基本而重要的公式,其基本思想是利用一组两两互斥的事件,将一个复杂事件表示为两两互斥事件的和事件,再由概率的加法公式和乘法公式求这个复杂事件的概率,它为计算某些事件的概率提供了有力的工具.在本节,教材创设不同的情境,让学生先直观认识条件概率的意义,通过列举试验的样本空间,发现条件概率的本质是在缩小的样本空间上的概率,然后从特殊到一般,抽象出条件概率的定义.同样地,通过具体实例,提炼出求复杂事件概率的基本思路,将其一般化得到全概率公式.利用全概率公式计算概率,体现了分解与综合、化难为易的转化思想.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.条件概率的概念 2.概率的乘法公式 3.条件概率的性质 4.全概率公式 5.*贝叶斯公式 数学抽象 数学运算 数学建模 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
学生具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,并且对概率有了一些基础的认识,对一些简单的概率模型(古典概型、条件概率)已经有所了解.但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,但缺乏冷静、深刻.在学习中,学生可能对条件概率的判断和计算,会有些困难,但相比较,计算上困难会更大一些.
全概率公式的思想是用简单事件的运算表示复杂事件,利用概率的性质及概率公式简化概率的计算,这种思想方法具有一般性,贝叶斯公式虽然本质上是求条件概率,但隐含着深刻的数学思想,它反映了试验之后对各种“原因”发生可能性大小的新认识.学生还可能存在混淆两个事件相互独立与两个事件互斥的概念,并由此引发概率公式运用错误.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.条件概率
2.全概率公式
【教学目标设计】
1.结合古典概型,了解条件概率与概率的乘法公式,了解条件概率与独立性的关系,熟悉条件概率的性质,能计算简单随机事件的条件概率.
2.结合古典概型,理解全概率公式的概念,达到数学抽象素养.会利用全概率公式计算概率.
3.了解贝叶斯公式.
【教学策略设计】
由于学生自我归纳能力较差,又习惯于就题论题,因此适合提问引导启发式授课方式和归类对比的学习方法.讲解的时候,应做到适当启发、设问,引发学生对问题的思考,引导学生找到解题思路,并且点拨学生进行对比归类,提高学生对问题的分析、归纳、总结的能力.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.条件概率的概念及计算,概率的乘法公式及应用.
2.理解全概率公式的概念,认识全概率公式是用简单事件的运算表示复杂事件,会转化和化归、化繁为简的思想.
3.会用全概率公式解决一些实际问题.
4.了解贝叶斯公式及其应用.
难点 1.对条件概率中“条件”的正确理解,条件概率与无条件概率的比较.
2.由具体实例抽象推导全概率公式的过程.
3.运用全概率公式求概率.
4.贝叶斯公式的理解和应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:在计算较复杂事件概率时,我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件的运算结果,然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.我们还想知道,在这样的计算概率的过程中,还有什么规律和方法我们尚未发现,我们能总结出多少计算概率的好方法呢 让我们先从求一个复杂随机事件的概率开始吧！
教学精讲
探究1 全概率公式
【情景设置】
探究全概率公式
从有个红球和个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多少 如何计算这个概率呢
【以学论教】
对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处和不足之处.
【先由学生独立思考,侧重直观感知概率的值,并通过师生互动进行交流】
师:因为抽签具有公平性,所以第2次摸到红球的概率也应该是.对于这个结果,学生可能会产生疑惑,因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.
【教师指出数学上有许多问题与直觉相悖,不能仅凭感觉来作判断,而要进行严格的数学证明】
师:你能证明第2次摸到红球的概率是吗 你是怎样证明的
【先由学生自主论证,交流学习结果.教师进行点评,再给出严格的证明】
师:用表示事件“第次摸到红球”,表示事件“第次摸到蓝球”.我们就可以用图形来表示事件之间的关系,如图所示,事件可按第1次可能摸球的结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并,即.利用概率的加法公式和乘法公式,得.
【设活动 深探究】
教师先给出具体的问题情境,在学生根据实际情况并充分讨论的基础上展示结果,教师再总结引导.
【教师总结以上证明过程采用的方法,即按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和概率的乘法公式求得这个复杂事件的概率】
师:以上的证明蕴含着怎样的思想 将以上的问题一般化,你能得到什么结果呢
【要点知识】
全概率公式
一般地,设是一组两两互斥的事件,,且,则对任意的事件,有.
【概括理解能力】
由具体实例,通过数学抽象得出一般性的数学结论,是培养学生数学抽象素养的重要途径.按照对于特殊情形的全概率公式的证明,我们能证明这个公式,虽然我们没有证明全概率公式,这并不妨碍我们用全概率公式求概率.通过这个过程,提升学生概括理解能力.
师:以上这个公式称为全概率公式,它是计算概率的最基本的公式之一.如何利用全概率公式解决问题呢 请看下面的例题.
【典型例题】
利用全概率公式求概率
例1 某学校有两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
【教师提示学生运用全概率公式计算概率.可视学生的反应,对问题作如下分析】
师:第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响,可根据第1天可能去的餐厅,将样本空间表示为“第1天去A餐厅用餐”和“第1天去B餐厅用餐”两个互斥事件的并,利用全概率公式求解.
【学生完整地写出解题过程,师生进行交流.然后教师进行点评,给出规范的解题步骤】
师解:借助树状图（如图所示）
第一步,用符号表示随机事件:设“第1天去餐厅用餐”,“第1天去餐厅用餐”,“第2天去餐厅用餐”.
第二步,划分样本空间:,且与互斥.
第三步,分别计算概率:.
第四步,由全概率公式求出概率:.
即王同学第2天去餐厅的概率为.
【深度学 重推理】
由具体实例,通过数学抽象得出一般性的数学结论.在学习了全概率公式的基础上,通过层层引导设问,深化对全概率公式的理解,为引出贝叶斯公式做准备.
探究2 贝叶斯公式
师:下面我们一起探究这样的例题.
【典型例题】
探究贝叶斯公式
例2 有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为,第2,3台加工的次品率均为,加工出来的零件混放在一起.若第台车床加工的零件数分别占总数的.
(1)任取一个零件,计算它是次品的概率,
(2)如果取到的零件是次品,计算它是第台车床加工的概率.
【教师首先要求学生用集合语言表示例2中的事件.用简单事件的运算结果表示所要求概率的事件.接着让学生自主解决问题,同学之间可以进行讨论制订解决问题的方案】
【深度学习】
通过例题进一步强化应用全概率公式计算概率的方法与步骤,通过问题（2）中的条件概率的计算,为引出贝叶斯公式作准备.
师分析:取到的零件来自3台车床都有可能,如果设“任取一个零件为次品”,“零件为第台车床加工”,那么可将事件表示为3个两两互斥的事件的并(如图),利用全概率公式可以计算出事件的概率.
师解:第一步,用符号表示随机事件:设“任取一个零件为次品”,“零件为第台车床加工”.
第二步,划分样本空间:,且两两互斥.
第三步,分别计算概率:.
第四步,由全概率公式求出概率:
.
师:对于问题(2),“如果取到的零件是次品,计算它是第台车床加工的概率”,就是计算在发生的条件下,事件发生的概率,即求.因此根据条件概率,得
.
类似地,可得.
【以学定教】
贝叶斯公式为选学内容,由师生共同结合实例进行学习.通过以学定教来达到学习的目的.
师:在上面的例题解答中,概率的实际意义是什么 你能梳理出解决问题(2)过程中的关键等式吗
【由于贝叶斯公式属于选学内容,学生在理解上会存在一定的困难.教师可以在学生先行思考的基础上,进行讲解】
【概括理解能力】
深入理解全概率公式的适用题型和解题步骤,结合条件概率,概括理解贝叶斯公式.
师:是试验之前就已知的概率,它是第台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(发生),是这件次品来自第台车床加工的可能性大小,通常称为后验概率.
如果对加工的次品,要求操作员承担相应的责任,那么就分别是第台车床操作员应承担的份额.
【教师引导学生梳理出解决问题(2)过程中的关键性等式】
生:.①
追问:仿照全概率公式的一般化,你能写出①式的一般形式吗 请你尝试做一做.
【由学生先仿照全概率公式的一般化过程,尝试用符号化表示问题,然后教师指导学生根据例2,写出贝叶斯公式的一般形式】
【要点知识】
贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件,,且,则对任意的事件,有
【分析计算能力】
主要考查学生对全概率公式和贝叶斯公式的理解和应用,能根据题目情境正确分析应用哪个公式,注意计算准确.
师:这个公式是由英国数学家贝叶斯首先发现的,称为贝叶斯公式,它用来描述两个条件概率之间的关系.贝叶斯公式在统计学中有着广泛的应用.下面请看例题.
【典型例题】
贝叶斯公式的应用
例3 在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为和;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为和.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)分别求接收的信号为0和1的概率;
(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.
【教师首先要求学生用集合语言表示例3中的事件,用简单事件的运算结果表示所要求概率的事件,并根据题意将样本空间表示成两两互斥的事件的并集.在此基础上,要求学生灵活选用条件概率、概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式来解决问题】
【简单问题解决能力】
通过具体实例,让学生明白贝叶斯公式的含义,并总结出用贝叶斯公式解决相关概率问题的方法,提升简单问题解决能力.
师分析:设“发送信号为0”,“接收信号为0”,则“发送信号为1”,“接收信号为1”.我们可以用图形表示事件之间的关系,如图所示.问题(1)就是求和.
生解:设“发送的信号为0”,“接收到的信号为0”,则“发送的信号为1”,“接收到的信号为1”,由题意得.
(1),.
(2).
师:下面我们对全概率公式的应用进行一下巩固训练.
【巩固练习】
全概率公式的应用
设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库.假设第一、二车间生产的成品比例为2:3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,则该产品合格的概率为______.
【以学定教】
借助具体实例,让学生经历贝叶斯公式的一般化过程,在此过程中提升学生的数学抽象核心素养,使学生认识到事物之间都存在广泛的联系.
【学生积极思考,独立完成,教师巡视指导】
生解:设“从仓库中随机提出的一台是合格品”,“提出的一台是第车间生产的”,.由题意,由全概率公式.
【设计意图】通过具体实例,巩固全概率公式和贝叶斯公式,加强对它们的应用.
师:这节课,我们就上到这里,我们一起归纳总结一下.
【课堂小结】
全概率公式
条件概率
概率的乘法公式
全概率公式
贝叶斯公式.
教学评价
学完本节课,我们应该理解条件概率、全概率的概念,会求简单的条件概率、全概率问题,理解条件概率、全概率的性质,并能够利用性质解决较为综合性的实际问题.
【设计意图】
能够在熟悉的数学问题情境中直接应用数学知识进行列式、计算解决问题,锻练分析计算能力.通过问题组梳理全概率公式的基本思想和解题的步骤,有助于学生把握数学思想方法,提升他们的数学核心素养.
应用所学知识,完成下面各题:
1.一个盒子中有6只白球、4只黑球,从中不放回地每次任取1只,连取2次,第2次取到白球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析:设“第1次取到白球”,“第2次取到白球”.因为且与互斥,所以.
答案:
2.根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下的效果:若以表示事件“试验反应为阳性”,以表示事件“被诊断者患有癌症”,则有.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为,即,试求.
解析:因为,所以.
因为,所以.
所以.
【简单问题解决能力】
教学评价中的两个习题分别应用到全概率公式和贝叶斯公式,可以让学生对本节课的掌握情况进行及时的自我评价,通过练习提升学生的简单问题解决能力.
教学反思
条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位,为了便于学生理解,教材以简单事例为载体,通过逐步探究,引导学生体会条件概率的思想.通过本节课的学习,我们掌握了两种解决条件概率的方法,分别是定义法和缩小样本空间的方法,能不能运用好可能是学生在学习中主要困难.
全概率公式是概率论中一个基本而重要的公式,在本节课中,通过创设不同的情境,通过列举试验的样本点,从特殊到一般,提炼出求复杂事件概率的基本思路,将其一般化得到全概率公式.贝叶斯公式本质上还是条件概率,通过本节课的学习,可以增强学生思维的严谨性和思考问题的多角度性.另外,就全概率公式和贝叶斯公式的应用这一部分知识来说,题目涉及的试验过程一般较为繁琐,所以对两个公式的深刻理解,以及理清题意,灵活利用公式求解也是一个需要克服的难关.
【以学论教】
对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果总结出通过引导和启发学生体会条件概率的思想、创设不同情境从特殊到一般归纳总结全概率公式,并了解贝叶斯公式的实质.由于学生对相互独立事件与互斥事件的概念易发生混淆,教师在教学过程当中应帮助学生理解.
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