人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册7.3.1《离散型随机变量的均值》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册7.3.1《离散型随机变量的均值》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 12:04:42 | ||
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文档简介
《离散型随机变量的均值》教学设计
一、谈话引入
对于离散型随机变量,可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题中,有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征.例如,要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平,很重要的是看平均分;要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”,则需要考察这个班数学成绩的方差.
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征,最常用的有均值与方差.这节课我们先来学习离散型随机变量的均值.
设计意图:通过谈话直接点明本节课题,让学生感受数学源于生活,学习数学是有用的.
二、探究新知1
1.问题1 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
如何比较他们射箭水平的高低呢
师生活动:
教师提出问题1,让学生思考、讨论、交流.
在学生讨论交流的同时,教师可以巡视指导,提示学生:由于射击环数所占的权重不同,在用数学方法解决这一问题时要考虑权重问题.
在学生充分交流讨论后,师生共同得出:
比较击中的平均环数.假设甲射箭次,射中7环、8环、9环和10环的频率分别为.甲次射箭射中的平均环数为.当足够大时,频率稳定于概率,所以稳定于.即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理,乙射中环数的平均值为.
从平均值的角度比较,甲的射箭水平比乙高.
2.离散型随机变量的均值
一般地,若离散型随机变量的分布列如下表所示,
则称为随机变量的均值或数学期望,数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
设计意图:通过具体的问题情境,引发学生思考,积极参与互动,说出自己的见解,从而引出离散型随机变量均值的概念,发展学生的数学运算和数学抽象核心素养.
三、典例剖析1
例1 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为,那么他罚球1次的得分的均值是多少
师生活动:
教师先让学生思考,然后引导学生分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时,不中时,因此随机变量服从两点分布.的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平.
解:因为,
所以.
即该运动员罚球1次的得分的均值是.
完成解答过程后,教师归纳总结得出:
一般地,如果随机变量服从两点分布,那么.
设计意图:通过例1,巩固离散型随机变量均值的概念,同时引出两点分布均值的公式,培养学生的数学运算和数学抽象核心素养.
例2 抛郑一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为,求的均值.
师生活动:
教师提出问题:你还记得求离散型随机变量分布列的步骤吗 让学生动手先求出出现的点数的分布列,再根据定义计算的均值.
解:的分布列为.
因此,.
完成解答后,教师引导学生共同归纳总结求离散型随机变量的均值的步骤.
求离散型随机变量的均值的步骤:
(1)理解的实际意义,写出全部可能取值;
(2)求出取每个值时的概率;
(3)写出的分布列(有时也可省略);
(4)利用定义公式求出均值.
设计意图:通过例2,归纳出求离散型随机变量均值的步骤,规范学生求均值的思维过程.
思考:随机变量的均值与样本均值有何联系与区别
活动:以小组为单位,掷一枚质地均匀的骰子,观察并记录掷出的点数,重复一定的次数后计算平均数,根据观测值的平均数绘制统计图.
教师引导学生出示统计图,并说说发现了什么,然后教师出示教材图7.3-1,引导学生观察,得出结论:
随机变量的均值是一个确定的数,而样本均值具有随机性,它围绕随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加,样本均值的波动幅度一般会越来越小.因此,我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.
跟踪训练 某地最近出台一项机动车驾照考试规定:
每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值.
解:的可能取值分别为.
,表明李明第一次参加驾照考试就通过了,
故.
,表明李明第一次考试就通过,第二次通过了,
故.
,表明李明第一、二次考试就通过,第三次通过了,
故.
,表明李明第一、二、三次考试都未通过,
故.
所以李明一年内参加考试的次数的分布列为
所以的均值为.
设计意图:通过跟踪训练,巩固求离散型随机变量均值的步骤.
四、新知探究2
1.问题2 如果是一个离散型随机变量,加一个常数或乘一个常数后,其均值会怎样变化 即和(其中为常数)分别与有怎样的关系
师生活动:
教师提出问题,学生思考后小组讨论,汇报:
设的分布列为.
根据随机变量均值的定义,.
类似地,可以证明.
追问:你能类比平均数的性质或根据均值的意义,猜出与的关系吗
提示:.
追问:你能根据随机变量均值的定义证明这一结论吗
学生动手尝试证明.
证明:因为
所以
由随机变量均值的定义,得
.
设计意图:通过观察、思考、类比,从特殊例子归纳猜想,得出离散型随机变量均值的线性性质的一般规律.意在使学生的思维遵循认识问题的一般规律,也为培养学生善于观察思考,发现新问题、新知识,勇于探索,追求真理的思维习惯和科学精神.
2.离散型随机变量的均值的性质.
若是离散型随机变量,则
为常数).
特别地,(1)当时,,即常数的均值就是这个常数本身.
(2)当时,,即随机变量与常数之和的均值等于的均值与这个常数的和.
(3)当时,,即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.
设计意图:通过对系数赋值,得出一些常用的结论,体现了由一般到特殊的思维过程.
五、典例剖析2
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示:
规则如下:按照的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值.
师生活动:
教师指出这是一个概率决策问题,也称为风险决策,并提出思考问题:我们如何利用数学方法进行决策
学生思考后,教师引导学生分析本例题:
根据规则,公益基金总额的可能取值有四种情况:猜错,获得0元基金;猜对而猜错,获得1000元基金;猜对和而猜错,获得3000元基金;全部猜对,获得6000元基金.因此是一个离散型随机变量.利用独立条件下的乘法公式可求分布列.
解:分别用表示猜对歌曲歌名的事件,则相互独立.
,
,
,
的分布列如下表所示.
的均值为.
思考:如果改变猜歌的顺序,获得公益基金的均值是否相同 如果不同,你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大
师生活动:
教师指出:选择不同的猜歌顺序,的分布列是不同的,不能直接进行比较,所以决策的原则是选择期望值()大的猜歌顺序,这称为期望值原则.猜对的概率大表示比较容易猜,猜对的概率小表示比较难猜.
教师要求学生列出所有不同的猜歌顺序,分别求出的分布列和均值,通过比较进行验证.
解:如果按的顺序来猜歌,分别用表示猜对歌曲歌名的事件,则相互独立.
,
,
,
.
的分布列如下表所示.
的均值为.
同理可求得按不同猜歌的顺序获得公益基金的均值分别如下表所示.
由上表可知,按由易到难的顺序来猜歌,获得的公益基金的均值最大.
例4 根据天气预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:
方案1 运走设备,搬运费为3800元;
方案2 建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水;
方案3 不采取措施.
工地的领导该如何决策呢
分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好.根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如下表所示.
方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案.
解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为,.
采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,.
采用方案2,遇到大洪水时,总损失为62000元;没有大洪水时,总损失为2000元.因此,.
采用方案.
于是,,
,.
因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.
教师最后指出:
值得注意的是,上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.一般地,我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2将会使总损失减到最小.不过,因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.
设计意图:通过例3和例4,使学生领悟利用期望值决策的思想方法,同时也了解期望值决策的局限性.随机变量的均值是一个理论上的均值,如果是大量重复地就同样的问题进行决策,期望值原则就是一个合理的决策原则.
六、达标检测
1.若随机变量的分布列为
则( )
A.0
B.
C.
D.
2.某射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为,现有4颗子弹,命中后剩余的子弹数目的均值为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知的分布列如下表,则_______.
4.设为平面上过点的直线,的斜率等可能地取.用表示坐标原点到的距离,则随机变量的均值________.
5.口袋里装有大小相同的8张卡片,其中3张标有数字1,3张标有数字2,2张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取1张,放回口袋里后第二次再任意抽取1张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.求:
(1)为何值时,其发生的概率最大 说明理由.
(2)随机变量的均值.
答案
1.C(点拨:.)
2.C(点拨:的可能取值为,,所以.)
(点拨:因为,所以,所以.)
4.(点拨:当的斜率时,直线方程为,此时时,直线方程为,此时时,直线方程为,此时时,直线方程为,此时.由等可能事件的概率可得分布列为
所以.)
5.(1)随机变量的可能取值是.
当时,其发生的概率最大.
因为.故当时发生的概率最大.
(2).
设计意图:通过练习巩固本节所学知识,提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
七、课堂总结
1.求离散型随机变量均值的步骤:
(1)确定离散型随机变量的可能取值;
(2)写出的分布列,并检查分布列正确与否;
(3)根据公式写出均值.
2.一般地,如果随机变量服从两点分布,那么其均值.
3.若是离散型随机变量,均为常数,则.
设计意图:采用师生共同归纳小结的方式,深化学生对基础概念、基本理论的理解,同时培养学生宏观掌握知识的能力.除了注重知识,还注重引导学生对解题思路和方法的总结,可切实提高学生分析问题、解决问题的能力,并让学生养成良好学习数学的方法和习惯.
板书设计:
7.3.1离散型随机变量的均值 1.离散型随机变量的均值 例1 一般地,如果随机变量服从两点分布,那么. 例2 求离散型随机变量的均值的步骤 2.离散型随机变量的均值的性质 例3 例4
教学研讨
本案例的教学设计注重教材的挖掘和利用,教师也可根据学生的实际情况,适当补充一些学生身边的例子,让学生体会数学的应用价值.同时在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中,是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极,并愿意与老师、同伴交流自己的想法.
教学中通过学生回答问题、归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、应用,教师根据反馈信息适时点拨,同时从新课标评价理念出发,鼓励学生发表自己的观点,充分质疑,并抓住学生在语言、思想等方面的亮点给予表扬,帮助他们树立学好数学的自信心,保持积极向上的学习心态,提高学习数学的兴趣.
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一、谈话引入
对于离散型随机变量,可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题中,有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征.例如,要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平,很重要的是看平均分;要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”,则需要考察这个班数学成绩的方差.
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征,最常用的有均值与方差.这节课我们先来学习离散型随机变量的均值.
设计意图:通过谈话直接点明本节课题,让学生感受数学源于生活,学习数学是有用的.
二、探究新知1
1.问题1 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
如何比较他们射箭水平的高低呢
师生活动:
教师提出问题1,让学生思考、讨论、交流.
在学生讨论交流的同时,教师可以巡视指导,提示学生:由于射击环数所占的权重不同,在用数学方法解决这一问题时要考虑权重问题.
在学生充分交流讨论后,师生共同得出:
比较击中的平均环数.假设甲射箭次,射中7环、8环、9环和10环的频率分别为.甲次射箭射中的平均环数为.当足够大时,频率稳定于概率,所以稳定于.即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理,乙射中环数的平均值为.
从平均值的角度比较,甲的射箭水平比乙高.
2.离散型随机变量的均值
一般地,若离散型随机变量的分布列如下表所示,
则称为随机变量的均值或数学期望,数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
设计意图:通过具体的问题情境,引发学生思考,积极参与互动,说出自己的见解,从而引出离散型随机变量均值的概念,发展学生的数学运算和数学抽象核心素养.
三、典例剖析1
例1 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为,那么他罚球1次的得分的均值是多少
师生活动:
教师先让学生思考,然后引导学生分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时,不中时,因此随机变量服从两点分布.的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平.
解:因为,
所以.
即该运动员罚球1次的得分的均值是.
完成解答过程后,教师归纳总结得出:
一般地,如果随机变量服从两点分布,那么.
设计意图:通过例1,巩固离散型随机变量均值的概念,同时引出两点分布均值的公式,培养学生的数学运算和数学抽象核心素养.
例2 抛郑一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为,求的均值.
师生活动:
教师提出问题:你还记得求离散型随机变量分布列的步骤吗 让学生动手先求出出现的点数的分布列,再根据定义计算的均值.
解:的分布列为.
因此,.
完成解答后,教师引导学生共同归纳总结求离散型随机变量的均值的步骤.
求离散型随机变量的均值的步骤:
(1)理解的实际意义,写出全部可能取值;
(2)求出取每个值时的概率;
(3)写出的分布列(有时也可省略);
(4)利用定义公式求出均值.
设计意图:通过例2,归纳出求离散型随机变量均值的步骤,规范学生求均值的思维过程.
思考:随机变量的均值与样本均值有何联系与区别
活动:以小组为单位,掷一枚质地均匀的骰子,观察并记录掷出的点数,重复一定的次数后计算平均数,根据观测值的平均数绘制统计图.
教师引导学生出示统计图,并说说发现了什么,然后教师出示教材图7.3-1,引导学生观察,得出结论:
随机变量的均值是一个确定的数,而样本均值具有随机性,它围绕随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加,样本均值的波动幅度一般会越来越小.因此,我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.
跟踪训练 某地最近出台一项机动车驾照考试规定:
每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值.
解:的可能取值分别为.
,表明李明第一次参加驾照考试就通过了,
故.
,表明李明第一次考试就通过,第二次通过了,
故.
,表明李明第一、二次考试就通过,第三次通过了,
故.
,表明李明第一、二、三次考试都未通过,
故.
所以李明一年内参加考试的次数的分布列为
所以的均值为.
设计意图:通过跟踪训练,巩固求离散型随机变量均值的步骤.
四、新知探究2
1.问题2 如果是一个离散型随机变量,加一个常数或乘一个常数后,其均值会怎样变化 即和(其中为常数)分别与有怎样的关系
师生活动:
教师提出问题,学生思考后小组讨论,汇报:
设的分布列为.
根据随机变量均值的定义,.
类似地,可以证明.
追问:你能类比平均数的性质或根据均值的意义,猜出与的关系吗
提示:.
追问:你能根据随机变量均值的定义证明这一结论吗
学生动手尝试证明.
证明:因为
所以
由随机变量均值的定义,得
.
设计意图:通过观察、思考、类比,从特殊例子归纳猜想,得出离散型随机变量均值的线性性质的一般规律.意在使学生的思维遵循认识问题的一般规律,也为培养学生善于观察思考,发现新问题、新知识,勇于探索,追求真理的思维习惯和科学精神.
2.离散型随机变量的均值的性质.
若是离散型随机变量,则
为常数).
特别地,(1)当时,,即常数的均值就是这个常数本身.
(2)当时,,即随机变量与常数之和的均值等于的均值与这个常数的和.
(3)当时,,即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.
设计意图:通过对系数赋值,得出一些常用的结论,体现了由一般到特殊的思维过程.
五、典例剖析2
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示:
规则如下:按照的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值.
师生活动:
教师指出这是一个概率决策问题,也称为风险决策,并提出思考问题:我们如何利用数学方法进行决策
学生思考后,教师引导学生分析本例题:
根据规则,公益基金总额的可能取值有四种情况:猜错,获得0元基金;猜对而猜错,获得1000元基金;猜对和而猜错,获得3000元基金;全部猜对,获得6000元基金.因此是一个离散型随机变量.利用独立条件下的乘法公式可求分布列.
解:分别用表示猜对歌曲歌名的事件,则相互独立.
,
,
,
的分布列如下表所示.
的均值为.
思考:如果改变猜歌的顺序,获得公益基金的均值是否相同 如果不同,你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大
师生活动:
教师指出:选择不同的猜歌顺序,的分布列是不同的,不能直接进行比较,所以决策的原则是选择期望值()大的猜歌顺序,这称为期望值原则.猜对的概率大表示比较容易猜,猜对的概率小表示比较难猜.
教师要求学生列出所有不同的猜歌顺序,分别求出的分布列和均值,通过比较进行验证.
解:如果按的顺序来猜歌,分别用表示猜对歌曲歌名的事件,则相互独立.
,
,
,
.
的分布列如下表所示.
的均值为.
同理可求得按不同猜歌的顺序获得公益基金的均值分别如下表所示.
由上表可知,按由易到难的顺序来猜歌,获得的公益基金的均值最大.
例4 根据天气预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:
方案1 运走设备,搬运费为3800元;
方案2 建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水;
方案3 不采取措施.
工地的领导该如何决策呢
分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好.根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如下表所示.
方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案.
解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为,.
采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,.
采用方案2,遇到大洪水时,总损失为62000元;没有大洪水时,总损失为2000元.因此,.
采用方案.
于是,,
,.
因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.
教师最后指出:
值得注意的是,上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.一般地,我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2将会使总损失减到最小.不过,因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.
设计意图:通过例3和例4,使学生领悟利用期望值决策的思想方法,同时也了解期望值决策的局限性.随机变量的均值是一个理论上的均值,如果是大量重复地就同样的问题进行决策,期望值原则就是一个合理的决策原则.
六、达标检测
1.若随机变量的分布列为
则( )
A.0
B.
C.
D.
2.某射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为,现有4颗子弹,命中后剩余的子弹数目的均值为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知的分布列如下表,则_______.
4.设为平面上过点的直线,的斜率等可能地取.用表示坐标原点到的距离,则随机变量的均值________.
5.口袋里装有大小相同的8张卡片,其中3张标有数字1,3张标有数字2,2张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取1张,放回口袋里后第二次再任意抽取1张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.求:
(1)为何值时,其发生的概率最大 说明理由.
(2)随机变量的均值.
答案
1.C(点拨:.)
2.C(点拨:的可能取值为,,所以.)
(点拨:因为,所以,所以.)
4.(点拨:当的斜率时,直线方程为,此时时,直线方程为,此时时,直线方程为,此时时,直线方程为,此时.由等可能事件的概率可得分布列为
所以.)
5.(1)随机变量的可能取值是.
当时,其发生的概率最大.
因为.故当时发生的概率最大.
(2).
设计意图:通过练习巩固本节所学知识,提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
七、课堂总结
1.求离散型随机变量均值的步骤:
(1)确定离散型随机变量的可能取值;
(2)写出的分布列,并检查分布列正确与否;
(3)根据公式写出均值.
2.一般地,如果随机变量服从两点分布,那么其均值.
3.若是离散型随机变量,均为常数,则.
设计意图:采用师生共同归纳小结的方式,深化学生对基础概念、基本理论的理解,同时培养学生宏观掌握知识的能力.除了注重知识,还注重引导学生对解题思路和方法的总结,可切实提高学生分析问题、解决问题的能力,并让学生养成良好学习数学的方法和习惯.
板书设计:
7.3.1离散型随机变量的均值 1.离散型随机变量的均值 例1 一般地,如果随机变量服从两点分布,那么. 例2 求离散型随机变量的均值的步骤 2.离散型随机变量的均值的性质 例3 例4
教学研讨
本案例的教学设计注重教材的挖掘和利用,教师也可根据学生的实际情况,适当补充一些学生身边的例子,让学生体会数学的应用价值.同时在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中,是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极,并愿意与老师、同伴交流自己的想法.
教学中通过学生回答问题、归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、应用,教师根据反馈信息适时点拨,同时从新课标评价理念出发,鼓励学生发表自己的观点,充分质疑,并抓住学生在语言、思想等方面的亮点给予表扬,帮助他们树立学好数学的自信心,保持积极向上的学习心态,提高学习数学的兴趣.
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