人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册7.3.2 《离散型随机变量的数字特征》名师课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
情境引入
一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时,经过评估后发现:如果项目成功,将获利5000万元;如果项目失败,将损失3000万元.设这个项目成功的概率为,而你是投资公司的负责人,如果仅从平均收益方面考虑,则满足什么条件时你才会对该项目进行资助 为什么
人教A版同步教材名师课件
离散型随机变量的数字特征
学习目标
学 习 目 标 核心素养
通过实例,理解离散型随机变量的均值和方差的概念 数学抽象
会计算简单的离散型随机变量的均值和方差 数学运算
能利用随机变量的数字特征解决一些实际问题 逻辑推理
数学建模
学习目标
学习目标:
1.理解离散型随机变量的均值和方差的意义和性质,会根据离散型随机变量的分布列求出均值和方差,掌握二项分布的数字特征.
2.会利用离散型随机变量的数字特征解决一些相关问题.
学科核心素养:
通过探究概念的过程,体会由特殊到一般、由具体到抽象以及类比的数学探究的方法,进一步感受数学的应用价值,提高数学的应用意识,培养学生对数学知识的整合能力,提升学生的逻辑推理、数学抽象与数学运算等数学学科核心素养.
探究新知
上述情境中,平均收益显然与的取值有关.例如,当时,平均收益应为5000万元;而当时,平均收益应为万元.一般情形下的平均收益该怎样确定呢
注意到成功的概率为,指的是如果重复这个创业项目足够多次（设为次),那么成功的次数可以用来估计,而失败的次数可以估计为因此,在这次试验中,投资方收益（单位:万元)的个数据可以估计为
这一组数的平均数为
个
个
探究新知
因为上述平均数体现的是平均收益,所以不难想到,当,即时,就应该对创业项目进行资助
另一方面,如果设投资公司的收益为万元,则这个随机变量的分布列如下表所示
从上面的分析可以看出,式子
刻画了取值的平均水平
探究新知
一般地,如果离散型随机变量的分布列如下表所示
为离散型随机变量的均值或数学期望（简称为期望)
则称
典例讲解
例1.某运动员投篮命中率为.
(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望;
(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的数学期望.
(1)投篮1次,命中次数的分布列如下表:
则.
(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数服从二项分布,即,则.
解析
0 1
0.4 0.6
　
方法归纳
设为一次试验中成功的概率,则
(1)二点分布;
(2)二项分布
(3)超几何分布.
常见的三种分布的均值
变式训练
1.已知某离散型随机变量服从的分布列如下,则随机变量X的数学期望等于(　　)
由题意可知,
所以,又服从两点分布,
所以
解析
D
A. B. C. D.
典例讲解
只考虑甲、乙两单位的相对位置,故可用组合计算基本事件数.
(1)设表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”,由等可能性事件的概率计算公式得
.
(2)的所有可能取值为0,1,2,3,4,且
,
例2.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求:
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与均值.
解析
典例讲解
例2.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求:
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与均值.
解析
.
从而知的分布列为
0 1 2 3 4
所以.
方法归纳
(1)根据的实际意义,写出的全部取值.
(2)求出的每个值的概率.
(3)写出的分布列.
(4)利用定义求出数学期望.
求离散型随机变量的数学期望的步骤
变式训练
2.盒中装有5节同牌号的五号电池,其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数的分布列及数学期望.
可取的值为1,2,3,
则,
.
抽取次数的分布列为
解析
1 2 3
.
探究新知
设为离散型随机变量,若,其中为常数,则
你能猜想出
结果吗
探究新知
… …
… …
设离散型随机变量的概率分布为
而所以的分布列为
… …
… …
典例讲解
（1)由随机变量分布列的性质,得
,解得
(2)
(3)
例3.已知随机变量的分布列如下:
解析
（1)求的值;
（2)求;
（3)若,求
方法归纳
对于概率问题的综合题,首先,要准确地确定事件的性质,把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种;其次,要判断事件是还是,确定事件至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件公式;最后,选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、次独立重复试验的概率公式求解.
变式训练
解析
3.例2中的条件不变,若=,且,则_________.
,
所以=15.
15
探究新知
如何求离散型随机变量的方差呢
样本
其中
（加权平均数)
频率
概率
--- 与期望的偏差
--- 与均值的偏差
探究新知
… …
… …
设离散型随机变量的概率分布为
则
定义
称为离散型随机变量的方差.
称为离散型随机变量的标准差.
典例讲解
(1)的可能取值为0,1,2.
若,表示没有取出次品,其概率为,
同理,有
.
∴的分布列为
例4.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽到一个,并且取出后不再放回,若以和分别表示取出次品和正品的个数.
(1)求的分布列、期望及方差;
(2)求的分布列、期望及方差.
解析
典例讲解
∴
.
例4.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽到一个,并且取出后不再放回,若以和分别表示取出次品和正品的个数.
(1)求的分布列、期望及方差;
(2)求的分布列、期望及方差.
解析
0 1 2
典例讲解
(2)的可能取值为1,2,3,显然＝3.
法一:,
,
,
,
.
例4.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽到一个,并且取出后不再放回,若以和分别表示取出次品和正品的个数.
(1)求的分布列、期望及方差;
(2)求的期望及方差.
解析
典例讲解
法二:
.
例4.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽到一个,并且取出后不再放回,若以和分别表示取出次品和正品的个数.
(1)求的分布列、期望及方差;
(2)求的期望及方差.
解析
方法归纳
1.由本例可知,利用公式＝及来求及,既避免了求随机变量的分布列,又避免了涉及大数的计算,从而简化了计算过程.
2.若,则,若服从两点分布,则,其中为成功概率,应用上述性质可大大简化解题过程.
变式训练
解析
4.为防止风沙危害,某地政府决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了株沙柳,已知各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为,设为成活沙柳的株数,已知,,求的值.
由题意知,服从二项分布 ,
由,
得,
∴.
素养提炼
1.若是两个随机变量,且,则.如果一个随机变量服从两点分布或二项分布,可直接利用公式计算均值
2.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,以及随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离均值的平均程度越小;方差越大,表明偏离均值的平均程度越大,说明的取值越分散
3.求离散型随机变量的均值、方差的步骤.
（1)理解的意义,写出的所有可能的取值;
（2)求取每一个值的概率;
（3)写出随机变量的分布列;
（4)由均值、方差的定义求
特别地,若随机变量服从两点分布或二项分布,可根据对应公式直接计算和
1. 某射手射击一次,击中目标的概率是0.9,他连续射击三次,且他每次射击是否击中目标之间没有影响,有下列结论:
①他三次都击中目标的概率是;
②他第三次击中目标的概率是0.9;
③他恰好2次击中目标的概率是;
④他恰好2次未击中目标的概率是.
其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上)
三次射击是三次独立重复试验,由定义可知
解析
当堂练习
①②④
当堂练习
1.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号的均值为(　　)
A. B. C.2 D.
D
的取值为2,3.
因为
所以.
解析
2.设离散型随机变量可能的取值为1,2,3,.又的均值,则________.
当堂练习
∵,
∴,
∴.①
又∵,
∴.②
∴由①②可知
解析
当堂练习
3.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机地抽取3张卡片,设3张卡片数字之和为,求和 .
解析
这3张卡片上的数字之和为,这一变量的可能取值为6,9,12.
表示取出的3张卡片上均标有2,
则.
表示取出的3张卡片上两张标有2,一张标有5,
则.
表示取出的3张卡片上一张标有2,两张标有5,
则.
当堂练习
3.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机地抽取3张卡片,设3张卡片数字之和为,求和 .
解析
∴的分布列为
∴
.
6 9 12
归纳小结
均值
方差
定义
随机变量的数字特征
应用
性质
定义
应用
性质
作 业
课本P70 练习：1,3