人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册【整合课件】7.3.1离散型随机变量的均值 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
随机变量及其分布
第七章
7.3.1　离散型随机变量的均值
7.3　离散型随机变量的数字特征
课程内容标准 学科素养凝练
1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质． 2．会根据离散型随机变量的分布列求出均值. 1．在理解离散型随机变量均值的过程中增强数学抽象的核心素养．
2．在求离散型随机变量均值的过程中提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
课前 预习案
离散型随机变量的均值
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　
(2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的_____________，它综合了随机变量的取值和取值的_______，反映了随机变量取值的___________.
(3)两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝____ (____为成功概率)．
(4)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且_______________＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.
E(Y)＝___________＝___________.
加权平均数　
概率　
平均水平　
p　
p　
P(Y＝axi＋b)　
E(aX＋b)　
aE(X)＋b　
1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．
(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化． (　　)
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同． (　　)
(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4. (　　)
(4)若某人投篮的命中率为0.8，那么他投篮10次一定会进8个球． (　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
3．设E(X)＝10，则E(3x＋5)＝____________.
答案　35　
解析　E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35．
4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是____________.
答案　0.8　
解析　由题意知，X服从两点分布，所以E(X)＝1×0.8＝0.8．
5．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是____________.
某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．
课堂 探究案
探究一　求离散型随机变量的均值
解　X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，
故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
所以李明一年内参加考试次数X的分布列为
所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
X 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
[方法总结]　求离散型随机变量X的均值的步骤
(1)根据X的实际意义，写出X的全部取值；
(2)求出X的每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)利用定义求出均值．
其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识．
[训练1]　盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
已知随机变量X的分布列为：
探究二　离散型随机变量均值公式及性质的应用
[变式1]　本例条件不变，若Y＝2X－3, 求E(Y)．
[方法总结]　与离散型随机变量性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．也可以利用ξ的分布列得到η的分布列，关键由ξ的取值计算η的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(η)．
某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：
探究三　求离散型随机变量均值的应用
周一 无雨 无雨 有雨 有雨
周二 无雨 有雨 无雨 有雨
收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元
若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；
(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．
解题程序：
第一步：泛读题目明待求结论：(1)求基地收益X的分布列及基地预期收益；(2)该基地是否外聘工人作出决策．
第二步：精读题目挖已知条件：条件一：药材需在两天内采摘完毕且基地员工一天只完成一处采摘；条件二：给出了基地收益与天气的关系表格；条件三：给出外聘工人的收益情况．
第三步：建立联系寻解题思路：(1)列出基地收益X的取值及求出相应概率，按求随机变量均值的步骤求解；(2)求出外聘工人时的预期收益，与不外聘工人的预期收益比较，通过讨论外聘工人的成本解决问题．
第四步：书写过程养规范习惯．
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a，
综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．
[方法总结]　
1．实际问题中的均值问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的三个解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．
[训练2]　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(x)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(x)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.