人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册【整合课件】7.3.2离散型随机变量的方差 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
随机变量及其分布
第七章
7.3.2　离散型随机变量的方差
7.3　离散型随机变量的数字特征
课程内容标准 学科素养凝练
1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题. 1．在学习离散型随机变量方差过程中，提升数学抽象的核心素养．
2．在求解离散型随机变量方差的过程中，增强逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养.
课前 预习案
(1)定义：设离散型随机变量X的分布列如表所示.
离散型随机变量的方差
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2.因为x取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的___________，来描述随机变量X取值与其均值E(X)的平均偏离程度．我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝_____________________为随机变量X的方差，有时也记为_________，并称________为随机变量X的标准差，记作_______.
加权平均　
Var(X)　
σ(X)　
偏离程度　
集中　
分散　
D(X)　
a2D(X)　
a2D(X)　
1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．
(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定． (　　)
(2)若a是常数，则D(a)＝0. (　　)
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度． (　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√
2．下面说法中正确的是 (　　)
A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值
B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平
C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平
D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平
答案　D
解析　由方差的意义知D正确．
4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机____________的质量较好．
答案　乙　
解析　因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．
[知能解读]　对方差、标准差概念的几点说明
(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．
(2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度．
(3)D(X)越小，随机变量X的取值就越稳定，波动就越小．
(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
课堂 探究案
探究一　求离散型随机变量的方差、标准差
编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
[方法总结]　求离散型随机变量X的方差的一般步骤　
[训练1]　已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列、均值(数学期望)和方差．
探究二　离散型随机变量方差的性质及应用
[方法总结]　对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．
甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
探究三　求离散型随机变量方差的应用
解题程序：
第一步：泛读题目明待求结论：求ξ，η的分布列及其均值与方差并比较甲、乙的射击技术．
第二步：精读题目挖已知条件：甲、乙两名射手击中的环数及概率已知．
第三步：建立联系寻解题思路：(1)按求随机变量分布列的步骤求解；(2)按均值与方差定义求解，并比较两射手射击技术．
第四步：书写过程养规范习惯．
解　(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，
所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，
所以甲比乙的射击技术好．
[方法总结]　利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
(1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
(2)在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
(3)下结论．依据方差的几何意义做出结论．
[训练3]　有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：
甲：
乙：
试分析两名学生的成绩水平．
分数X 80 90 100
概率P 0.2 0.6 0.2
分数Y 80 90 100
概率P 0.4 0.2 0.4
解　因为E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，
D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，
E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，
D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，
即E(X)＝E(Y)，D(X)所以甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．