人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册7.3《离散型随机变量的数字特征课时2》教学设计

《离散型随机变量的数字特征》教学设计
课时2离散型随机变量的方差
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
离散型随机变量的均值 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学运算 数学抽象 数学建模 【考查内容】 离散型随机变量的均值、方差、标准差的理解,根据离散型随机变量的均值、方差或标准差解决概率决策问题【考查题型】 选择题、填空题、解答题
离散型随机变量均值的性质 逻辑推理
离散型随机变量的方差与标准差 数学运算 数据分析
一、本节内容分析
本节课的内容是对离散型随机变量的均值和方差的研究与学习,主要介绍离散型随机变量的均值、方差和标准差的概念,反映随机变量取值分布的特征数.方差和标准差反映了随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.如何通过随机变量可能的取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度,要让学生理解偏差平方关于取值概率的加权平均的意义.方差与标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.离散型随机变量的均值 2.离散型随机变量均值的性质 3.离散型随机变量的方差与标 准差 数学抽象 数学建模 逻辑推理 数学运算 数据分析 核心素养
二、学情整体分析
从学生的思维特点看,很容易把本节内容与样本均值作对比,这是一种积极因素,应充分利用.本节课是一节概念新授课,而概念本身具有一定的抽象性,学生难以理解,因此把对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点.此外,学生初次应用概念解决实际问题也较为困难,故把其作为本节课的教学难点.对于方差的概念学生基本上能够理解随机变量的方差是总体的方差,它是一个常数,而样本的方差则是随机变量,是随样本的变化而变化的.对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本的方差越来越接近于总体的方差.学生在做题时遇到的问题应该是随机变量Ⅹ的取值以及相应概率的正确性.另外,在方差的两种计算公式中,如何灵活地选取很重要,计算的正确性值得注意.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.离散型随机变量的均值
2.离散型随机变量的方差
【教学目标设计】
1通过实例,理解离散型随机变量均值(数学期望)的概念.
2.能在具体的问题情境中,能计算简单离散型随机变量的均值,并能解决一些实际问题.
3.探索并掌握公式“”,并会运用公式解题.
4.了解离散型随机变量的方差、标准差的意义.会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.
5.会比较两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题.
【教学策略设计】
1.本节课的重点是关注随机变量均值的意义,明确在决策中如何应用.因此本节课要突出概念的抽象过程,揭示均值的意义,本节课以比较两名运动员的射箭水平为问题情境,以频率稳定到概率为依据,由X的观测值的频率分布稳定到Ⅹ的分布列,观测值的平均数稳定到期望值,将样本均值的稳定值定义为随机变量的均值.通过具体问题情境和典型例题,了解随机变量的均值和观测值的均值的关系,以及在决策中的应用.
2.通过平时接触的考试成绩分析,感受标准差的作用;通过选取射击运动员的例子来理解,只有均值还不能够完全反应随机变量的取值特征,体会引入方差和标准差的必要性;结合偏差平方关于取值概率的加权平均的意义,得出方差的计算公式;探究方差的性质及随机变量方差的实际应用.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有___________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.离散型随机变量的均值概念及计算.
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差.
难点:
在具体的问题情境中,求出离散型随机变量的均值和方差,并根据计算结果作出概率决策.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:我们平时的数学测试中答题卡都是电脑阅的,在给出的成绩分析上,往往会有正答率、平均分和标准差这样一些指标,正答率和平均分我们不难理解,但是,这个标准差是反映成绩的什么特征的量呢 下面我们举一个例子,先来感受一下.
从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩,我们统计了甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列.如何评价这两名同学的射击水平
6 7 8 9 10
0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
6 7 8 9 10
0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
【设活动 深探究】
以生活中常见,但是又不容易引起注意的成绩分析开头,引发学生思考,激起学生的求知欲,以分布列比较简单但又能够充分反应这一节课知识点的射击比赛为例,展示引入新的数字特征的必要性.培养学生发现问题,解决问题的能力.在实践过程中,遇到问题,应积极思考解决该问题的办法.
师:同学们可以动手实践,看一看两位同学的击中目标靶数的均值情况.
【学生计算,发现均值都是8,仅从均值比较不能解决问题】
师:这就是说,单一的从均值这一个数字特征并不能反映两组数据的区别.那么,同学们讨论一下,还能不能有办法,进一步分析两位同学的射击水平
【学生分组讨论,做出概率条形图,根据条形图发现数据的分布情况不同.第二位同学中8环的概率更大,其他靶数也比较均值】
【活动学习】
学生分小组完成计算并展开讨论,在均值相同的情况下还有没有比较两位同学水平的方法.
师:在条形图上,我们有了重大的发现,与平均值的接近程度有区别,乙同学的成绩更稳定.我们如果用数据体现稳定程度是不是更明显呢 回顾样本方差的定义与性质,我们也可以定义一下随机变量的方差.
教学精讲
师:考虑所有可能取值与偏差的平方,.
由于随机变量所有可能的取值的频数不一样,所以概率不尽相同,我们可以用偏差平方关于取值概率的加权平均来度量随机变量的取值与其均值的偏离程度.
【深度学 重推理】
我们研究随机变量相对于均值的离散程度,可以类比样本方差的研究思想,引入方差对比均值研究离散程度.思考偏差平方关于取值概率的加权平方的合理性,并掌握公式.
【要点知识】
离散型随机变量的方差
设离散型迶机变量的分布列如下:
.
【分析计算能力】
学生在经历了计算、证明而得到结果的过程中,学生的思维得到了训练,逻辑推理核心素养得到了提升,并逐步具备了分析问题、解决问题的能力.
师:现在,我们来计算一下两名同学成绩的方差和标准差,用数据分析一下哪一位同学的成绩更稳定,以确定选派哪位同学更合理.
【同学们独立计算甲、乙两位同学的方差,通过比较得出结论】
师:我们研究随机变量相对于均值的离散程度,取偏差的平方,与直接取偏差哪一个更合理 为什么取加权平均而不是直接平均来度量
【同学们集体讨论,考虑到不加平方的话可能会出现某两项或某几项偏离均值很远但却正负相消的情况】
师:在刚才的计算过程中,我们可以感受到,用此公式计算稍微复杂,我们能不能对它进行改进呢 能不能通过改造公式,达到简化计算的效果 使我们的方差应用更加的灵活方便一些
下面让我们一起来体验一下.
师:首先,我们用完全平方公式把每一项展开得到如下式子.
.
师:考虑到每一项都可以乘,我们分开来看一看会出现什么情况.
.
师:先看第一项是不是符合均值的定义 是谁的均值
【说明论证能力】
让学生参与方差公式的变形以及推导过程,更好地帮助学生理解其本质.求和符号学生使用起来并不灵活,先用展开式再分组求和,学生分两组分别求和,提升说明论证能力.
【学生思考后,举手发言】
生:是变量的均值.
师:很好,那么我们可以把它记为,后面的两项我们能不能独立完成化简呢
【学生分小组讨论,小组代表发言】
生:考虑第二项,很显然,所以第二项可以写为.最后一项,由于,所以最后一项为,所以原式,最后我们得到.
师:同学们完成得很好,这个公式就是方差公式的变形,我们对两种公式要熟练掌握,灵活运用.
【意义学习】
把公式一步步变形,每次都让学生思考,实现学生知识的迁移,让学生通过参与推导过程,提高学生的数学思维和概括理解能力,加深对方差概念的理解.
【要点知识】
方差公式的变形
.
【概括理解能力】
通过公式变形的推导加深学生对知识的理解,分步做题,化繁为简,条理清晰,提高学生的概括理解能力.
师:改进以后的公式显然更简洁,方便记忆和计算,但是具体情况要根据已知条件来定,选取公式一定要灵活.
师:通过方差的计算公式我们可以发现方差的单位与随机变量的单位是不统一的,比如,随机变量是测量物体长度的误差,如果将单位由米改为厘米,变量的数据扩大了100倍,而方差扩大了10000倍.因此,我们把方差的算术平方根定义为标准差,标准差的单位与随机变量的单位是统一的.
师:下面请同学们思考下面的问题:离散型随机变量加上一个常数,方差会有怎样的变化 离散型随机变量乘以一个常数,方差又有怎样的变化 它们和期望的性质有什么不同
【学生思考,教师讲解】
师:离散型随机变量加上一个常数,仅仅使的值产生一个平移,不改变与其均值的离散程度,方差保持不变,即
而离散型随机变量乘以一个常数,其方差变为原方差的倍,即.
一般地,可以证明下面的结论成立:
【深度学习】
在问题情境中,通过教师讲解离散型随机变量X加上一个常数和乘以一个常数,方差的变化,学生深度理解方差的意义,在学习过程中掌握证明推导的方法.
师:回顾开篇提到的射击成绩分析,我们学习一下标准差的定义.
【要点知识】
随机变量的标准差
方差的算术平方根叫做随机变量的标准差,记为,即.
师:显然,方差和标准差都可以反应随机变量的离散程度.我们可以得到方差的意义.
【归纳总结】
方差和标准差的意义
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中；方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
【少教精教】
在学生做题的过程中,教师指导学生梳理知识,充分运用分步法,分析问题,提高学生解决问题的能力.
师:下面我们来学习一下例题.
【典型例题】
方差公式的应用
例1 已知随机变量的分布列如下表:
0 1
则的均值为______,方差为______.
【以学定教】
先放手让学生去思考例1,学生能自己解决的问题,教师不用参与,分步骤降低证明的难度,从学生处理问题的过程中,发现学生遇到的问题,为学生解决问题提供必要的指导.
师:同学们梳理一下步骤,确定一下答案.
生解:第一步 计算均值.
.
第二步 求出方差.
.
师:例1我们完成得很好,我们再来看一下方差公式变形的应用,熟悉一下两种公式,巩固一下基本知识.
【以学定教】
学生在做题过程中,熟悉做题过程和步骤,体会方差的意义,同时提高数学运算能力.
【典型例题】
方差公式变形的应用
例2 已知的分布列如下:
0 1
(1)求的分布列;
(2)计算的方差.
师:由分布列的性质,需要先求出,再写出的分布列.请同学们试一下.
生解:(1)的分布列相应可得.
0 1
师:同学们可以独立完成这个题吗
生解:(2)(直接法)由(1)知,所以的均值.
故的方差.
(公式法)由(1)的均值,
所以的方差.
【分析计算能力】
学生们独立完成例2,此题可选用的公式有两种,根据学情应该让学生们自己做出选择.方差公式的变形在这个题上也体现的很好.提升分析计算能力.
【分析计算能力】
通过例2加深对知识的理解,例2的题型和难度上都做了挑选,让学生先易后难,熟练计算,此题的难度还是不小的,对学生的抽象概括和分析计算能力有很高的要求.
师:同学们能够积极探索,值得表扬.通过比较两种方法,同学们可以自己选定一个方法,并给出理由.
生:选直接法的优点是对原始的公式比较熟悉,应用灵活.选公式法的优点是第一问已经求出了的期望,用起来比较省时间.
师:在实际应用中,同学们自己把握就可以.我们再来看,在我们的日常生活中,除了开篇提到的成绩分析,方差在其他领域的应用也十分广泛.比如下面的问题.
【典型例题】
方差的应用
例3 海关大楼顶端镶有两面大钟,它们的日走时误差分别为和(单位:)其分布列如下:
钟走时误差分布列
0 1 2
B钟走时误差分布列
0 1 2
请根据两面大钟的日走时误差的分布列,先直观判断两面大钟的质量,再利用所学知识理论验证你的判断.
【以学定教】
让学生先从方差的定义入手,从随机变量取值的概率上,分析数据的集中程度,从直观感受到严格证明.在教学的过程中,要时刻注意观察学生的练习情况,应该根据学生的做题实际及时对教学策略做出调整,学生解决不了的还是应该集体讨论或教师讲授.
师:由分布列直观感受,即可以根据分布列反映的概率分布做出猜想.
【学生由钟误差为0的概率较大,先做出判断钟质量较好】
师:由我们学习的均值和方差的知识,我们计算一下它们的均值和方差,看一看是不是和我们的直观感受相符合.先比较它们的均值情况.
生解:,
.
师:既然均值相等,那么我们不能简单地通过均值来分析了.
生:可以比较方差,看它们的稳定性.
师:很好.同学们思路敏捷,为了验证我们的猜想,动手计算一下吧.
生解: ,
.
师:很显然,钟的质量比较好.这和我们的猜想也是一致的.
在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的走时相对稳定.再依据方差的几何意义做出结论.
师:学以致用,从直观感受到用数据验证,我们对方差的概念和意义有了多方面的认识,下面做题巩固.
【猜想探究能力】
通过给出的问题,锻炼学生学以致用的能力,将问题和所学的知识联系起来,理论联系实际,做到学数学用数学.通过解题的锻炼,提升猜想探究能力.
【巩固练习】
离散型随机变量的方差
1.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本均值相等,方差分别为,.由此可以估计( )
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
2.在某公司的一次投标工作中,中标可以获利12万元,没有中标损失成本费万元.若中标的概率为,设公司盈利为万元,则( )
A.7
B.
C.
D.
3.已知随机变量的分布列如下表,且,则______,______.
0 2 a
4.已知为随机变量,则下列说法错误的是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知,随机变量满足,其中.若,则( )
A.
B.
C.1
D.
师:通过本节课你学到了哪些知识
【综合问题解决能力】
通过学习本节课的知识,学生掌握离散型随机变量方差的概念、性质和应用,在巩固练习的过程中,提升综合问题解决能力.
【课堂小结】
离散型随机变量的方差
教学评价
通过本节课,学生理解了离散型随机变量的均值是刻画变量取值平均状况的数字特征,方差和标准差是刻画随机变量取值波动大小的数字特征.均值是用可能取值的加权平均定义的,方差是随机变量可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来定义的.对于一些简单的实际问题能利用均值和方差进行决策.
应用所学知识,完成下题:
袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上号的有个,4).现从袋中任取一球,表示所取球的标号.
(1)求的分布列,均值;
(2)若,求的值.
思路:对离散型随机变量均值概念的考查多是对计算公式的掌握和理解.首先要确定好的可能取值,再利用概率计算公式求出每个取值的概率值,列出分布列,进而求解其数学期望.
解析:(1)的分布列为
0 1 2 3 4
的均值.
(2),又,则.
【设计意图】
根据先学后教的教学策略,通过练习题的训练,学生深度学习和理解离散型随机变量的均值求解和根据均值进行决策,提升了数学运算核心素养.
教学反思
在本节课的总体教学设计中,突出了教师的身份不仅是讲授知识,而是更侧重于引导启发学生,设置探究问题,引导学生分组交流讨论,运用信息技术,借助运算工具,列表绘制统计图表,帮助学生理解随机变量的均值与样本均值的区别和联系,体会随机变量均值的含义,利用生活中风险决策的实例,突出数学概念、数学方法的实际作用.
由贴近生活的实例导入,引导学生思考,评价一名学生的成绩只看平均分是不够的,引导学生思考是否可以引进一个新的量,增加评价的维度.类比样本方差的内容,计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”.对于离散型随机变量来说,用偏差平方关于取值概率的加权平均来度量,可以反应随机变量相对于均值的离散程度.方差的公式的得出到公式的变形,在计算上可以提高运算效率,但具体应以实际条件为主,方差的性质要引导学生熟练的应用.
【以学论教】
本节课学生在教师的引导下,深刻理解离散型随机变量均值和方差的概念,通过例题分析总结归纳出求解随机变量均值和方差的步骤,结合生活中的风险决策实例,深刻理解了随机变量均值和方差的意义.
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