2 展开与折叠
第1课时 正方体展开与折叠
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 在生活中,我们经常见到正方体形状的物体,将他们完全展开后形状是怎样的 下面我们先来将你面前的正方体盒子沿某些棱剪开,看看能得到一个什么样的平面图形
图1-2-1
[说明与建议] 说明:利用常见的正方体是怎样制作的这一问题作为切入点,激发学生的兴趣,并通过动手操作让学生深刻认识正方体的面、棱之间的关系,调动学生学习的积极性.建议:让学生思考并动手操作,将正方体沿某些棱剪开,再给出本节课的课题并板书.
复习导入 问题:几何体都是由最基本的元素点、线、面构成的,比如:正方体有 个面, 条棱, 个顶点,每个面都是 形,这些基本的构成元素都是一些平面图形,而几何体是立体图形,它们有什么样的关系 怎样转化呢 下面我们就通过展开与折叠来研究相关的知识.
[说明与建议] 说明:通过复习明确正方体的有关概念,为后文建立空间与平面的对应关系做好铺垫,同时感受立体图形与平面图形的关系.建议:复习时内容不要过多、过难,有针对性地对正方体进行复习,引导学生发现立体图形是由平面图形构成的.
悬念激趣 在我们的日常生活中经常见到、用到正方体形状的盒子,那么请问同学们,你们知道这些正方体形状的盒子是怎样制作的吗 你能不能制作一个呢
图1-2-2
为了设计和制作的需要,我们应当了解正方体盒子展开后的平面图形的形状.如果将正方体沿某些棱剪开,会得到什么样的平面图形 这样的平面图形有多少种呢
[说明与建议] 说明:从生活中常见的几何体的制作入手,提出问题,激发学生的兴趣和求知欲望,调动学生学习的积极性,有助于新知识的学习.建议:结合正方体形状的盒子的制作,让学生感受并思考怎样由现有的平面图形(硬纸板)转化为立体图形(正方体),进而要对正方体的结构进行分析,引入正方体的表面展开图.
教材母题——第8页议一议
图1-2-3中的图形可以折成一个正方体形的盒子.折好以后,与1相邻的数是什么 相对的数是什么 先想一想,再具体折一折,看看你的想法是否正确.
图1-2-3
【模型建立】
正方体的表面展开后有11种图形,除了知道具体的图形,还要准确确定正方体各面展开后的位置关系,尤其是相对的面.正方体相对的面展开前与展开后都不可能相邻,更不可能有公共边和公共顶点.
【变式变形】
1.如图1-2-4是一个正方体的展开图,把展开图折叠成正方体后,与“你”字一面相对面上的字是 (D)
图1-2-4
A.我 B.中 C.国 D.梦
2.小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒(如图1-2-5),六个面上各有一个字,连起来就是“预祝中考成功”,其中“预”的对面是“中”,“成”的对面是“功”,则它的平面展开图可能是图1-2-6中的 (C)
图1-2-5
图1-2-6
3.[德州中考] 如图1-2-7给定的是一个正方体纸盒的外表面,由它折叠而成的正方体是图1-2-8中的 (B)
图1-2-7
图1-2-8
4.要将正方体的表面展开得到一个平面图形,你需要剪开几条棱
[答案:需要剪开七条棱]
5.把正方体的6个面分别涂上不同的颜色,并画上朵数不等的花,各面上的颜色与花朵数的情况列表如下:
颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿
花朵数 1 2 3 4 5 6
现将上述大小相同,颜色、花朵分布完全一样的四个正方体拼成一个在同一平面上放置的长方体,如图1-2-9所示,那么长方体的下底面共有 17 朵花.
图1-2-9
[命题角度1] 正方体的表面展开图
正方体的表面展开图的结构规律(如图1-2-10):
(1)正方体的表面展开图分为上、中、下三行:
①如图(a),上面一行一个、中间一行四个、下面一行一个,其中上面一行及下面一行的可以是虚线部分的任意一个正方形;
②如图(b),上面一行两个、中间一行三个、下面一行一个,其中下面一行的可以是虚线部分的任意一个正方形;
③如图(c),上、中、下三行各两个正方形.
图1-2-10
(2)正方体的表面展开图分为上、下两行,上、下两行分别有三个正方形,如图(d)所示.
注意:
(1)正方体的表面展开图中相邻的两个正方形有且只有一条公共边;
(2)含“田”字和“凹”字结构的六个正方形一定不能围成一个正方体,如图(e)(f)所示.
例 如果图1-2-12(1)~(11)均是正方体(如图1-2-11)的表面展开图,正方体的每一面分别有1,2,3,4,5,6六个数字,请你在图(2)~(11)的空格中填上相应的数.
图1-2-11
图1-2-12
[答案:略]
[命题角度2] 在正方体展开图上寻找相对的两个面
正方体相对的面在展开后的平面图形中两个正方形中间应当间隔一个正方形,反过来,要在折叠后的正方体中成为相对的两个面,这两个正方形无论怎样折叠都不会有相邻的边和顶点.
例 [贵阳中考] 一个正方体的表面展开图如图1-2-13所示,六个面上各有一字,连起来的意思是“预祝中考成功”,把它折成正方体后,与“成”相对的面上的字是 (B)
图1-2-13
A.中 B.功 C.考 D.祝
[命题角度3] 由展开图判断立体图形
由几何体判断其展开图及由展开图还原几何体是近几年高频考查的一个考点.解决由展开图判断立体图形类问题通常是先通过想象或实际操作把表面展开图进行折叠,再识别.
例 分别写出表面能展开成如图1-2-14所示的五种平面图形的几何体的名称.
图1-2-14
[答案:(1)正方体 (2)长方体 (3)三棱柱 (4)四棱锥 (5)圆柱]
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正方体的平面展开图
正方体是我们最常见的一种简单的立体图形，你研究过它的平面展开图？
一、图形分类
正方体的平面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四情形.
1. 1－4－1型：展开图有3行，中间一行有4个正方形，其余两行均1个正方形，如图1中所示.
图1
2. 2－3－1型：展开图有3行，中间一行有3个正方形，第1行有2个正方形，第3行有1个正方形，如图2中所示.
图2
3. 2－2－2型：展开图有3行，每一行均有2个正方形，如图3所示.
图3 图4
4. 3－3型：展开图有2行，每一行均有3个正方形，如图4所示.
二、规律探究
1.排在同一条直线上的小正方形，与同一个正方形相连的两个正方形折叠后，位置关系怎样？
2.正方体的平面展开图中最多只能出现几个正方形有一个公共点的情形，最多只能出现几个正方形与一个正方形相邻的情形？
3.当上下、左右四个面展开成一条直线时，前后两个面不可能分布在其同侧，对吗？
4.原来处于相对位置上的两个面，展开后的正方形有公共顶点和公共边吗？反之，展开图中有一个公共顶点或一条公共边的两个正方形，在折叠成正方体后，必将成为相邻的两个面吗？
5.当从正方体的某顶点出发，最多只能观察到几个面？能同时看到两个相对的面吗？第2课时 立体图形的构成
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 作为世界上最有魅力的文字,每个汉字都由基本的笔画构成,同样富有魅力的几何图形是由哪些基本要素组成的呢
欣赏几幅生活中的图片,感受生活中处处充满点、线、面.
图1-1-13
[说明与建议] 说明:利用学生感兴趣的内容作为切入点,贴近学生的生活,调动学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,同时通过图片的展示也让学生进一步体会到生活中处处充满点、线、面,为新课的学习做好铺垫.建议:切入到组成几何图形的基本要素时,要准备比较丰富的图片,先从中抽象出几何图形,再分析组成这些几何图形的基本要素,必要时,借助模型或动画演示.
复习导入 问题1:你还记得上节课我们学习的常见的几何体吗 它们怎样分类呢
图1-1-14
问题2:观察学校餐厅的外部构造,它可以抽象为什么图形 说说它是由什么构成的.
观察课本第5页的地理图片,此地理图片的构成元素有哪些
[说明与建议] 说明:先复习旧知,再设置问题串激发学生的学习热情,过渡到地理图片的构成元素,为下一步讲解几何图形的构成元素做铺垫.建议:结合图形通过问题的提出引导学生思考几何体的构成,学生思路不清晰时结合课本中的引例引导学生去发现、回答,从而让学生感受点、线、面、体之间的关系.
教材母题——第6页议一议
(1)圆柱可以看做由哪个平面图形旋转得到 球呢
(2)图1-1-15中各个花瓶的表面可以看做由哪个平面图形绕虚线旋转一周而得到 用线连一连.
图1-1-15
【模型建立】
将平面图形绕某一条直线旋转一周得到一个几何体,实际上这个图形的形状就是我们看到的几何体的一部分,每个点到“轴”的距离是始终不变的.
【变式变形】
1.[长沙中考] 将如图1-1-16的平面图形绕直线l旋转一周,可以得到的立体图形是图1-1-17中的 (D)
图1-1-16
图1-1-17
2.观察如图1-1-18所示的图形,把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是图1-1-19中的 (D)
图1-1-18 图1-1-19
3.“枪挑一条线,棍扫一大片”这个现象说明: 点动成线,线动成面 .
4.有一位同学手拿一枚硬币,将其立在桌面上用力一转,它形成的是一个 球 体,由此说明 面动成体 .
[命题角度1] 几何体的基本构成
几何体都是由基本的平面图形点、线、面构成的,在几何体中,比较特殊的点是顶点,比较特殊的线是几何体的棱,而几何体的面一般关注是平面还是曲面,另外有时还关注面的形状.
例 [宁波中考] 如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫做棱锥.如图1-1-20是一个四棱柱和一个六棱锥,它们各有12条棱.下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是 (B)
图1-1-20
A.五棱柱 B.六棱柱 C.七棱柱 D.八棱柱
[命题角度2] 点、线、面、体之间的关系
从运动的角度看:点动成线、线动成面、面动成体,同时还要关注动的方式,比如:某一个平面图形绕不同的线旋转或沿不同的方向平移就会有不同的答案.
例 如图1-1-21,将直角三角形绕一条边所在直线旋转一周形成的几何体不可能是图1-1-22中的 (C)
图1-1-21
图1-1-22
P4随堂练习
1．说一说生活中哪些物体的形状分别类似于棱柱、圆柱、圆锥与球．
[答案] 例如，机器零件中六角螺母的形状类似于棱柱；圆桶形茶叶盒、茶杯的形状类似于圆柱；某些冰激凌的形状类似于圆锥；篮球、足球、台球的形状类似于球．
2．请完成下表：
棱柱 面的个数 顶点个数 棱的条数
三棱柱
四棱柱
[答案]
棱柱 面的个数 顶点个数 棱的条数
三棱柱 5 6 9
四棱柱 6 8 12
P4习题1.1
1．五棱柱、六棱柱各有多少个面？多少个顶点？多少条棱？猜测七棱柱的情形并设法验证你的猜测．
[答案] 五棱柱有7个面，10个顶点，15条棱；六棱柱有8个面，12个顶点，18条棱；七棱柱有9个面，14个顶点，21条棱．
2．一个六棱柱模型如图所示，它的底面边长都是5 cm，侧棱长4 cm.观察这个模型，回答下列问题：
(1)这个六棱柱的几个面分别是什么形状？哪些面的形状、大小完全相同？
(2)这个六棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
[答案] (1)这个六棱柱有8个面，其中6个是长方形，2个是六边形；2个六边形的形状、大小完全相同，6个长方形的形状、大小完全相同．
(2)侧面面积＝6个长方形的面积之和＝6×5×4＝120 (cm)2.
3．将下列几何体分类，并说明理由．
[答案] 若按柱、锥、球划分，(1)(2)(4)(6)(7)是一类，即柱体，(5)是锥体，(3)是球体．若按组成面的曲或平划分，(3)(4)(5)是一类，组成它们的面中至少有一个是曲的，(1)(2)(6)(7)是一类，组成它们的各面都是平的．
4．找出下列图片中你熟悉的几何体．
[答案] (1)圆柱；(2)长方体；(3)球；(4)六棱柱．
5．下列物体可以近似地看成是由什么几何体组成的？
[答案] (1)长方体、圆柱；(2)圆柱；(3)圆柱、圆锥；(4)球、长方体．
*6.圆柱和棱柱有很多相同点，下面的这个几何体也有这样的相同点吗？
[答案] 略．
P7随堂练习
如图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体．用线连一连．
[答案] 第一行从左到右数的1，2，3，4，5号几何体分别是由第二行从左到右数的2，4，3，5，1号图形绕虚线旋转一周所形成的．
P7习题1.2
1．图中的棱柱、圆锥分别是由几个面围成的？它们是平的还是曲的？
[答案] 图中的棱柱是由五个面围成的，它们都是平的；圆锥是由两个面围成的，一个是平的，另一个是曲的．
2．生活中有哪些几何体可以由平面图形旋转而得到？你能想象它们是由什么平面图形旋转而成的吗？举例说明．
[答案] 略．
*3.下列几何体可以由平面图形绕其中一条直线旋转一周得到吗？
[答案] (1)(3)(4)可以，(2)不可以．
专题一 立体图形的识别与分类
1．下面几何体中，全是由曲面围成的是（ ）
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．正方体
2．下列说法错误的是（ ）
A．长方体、正方体都是棱柱
B．三棱柱的侧面是三角形
C．直六棱柱有六个侧面、侧面为长方形
D．球体的三种视图均为同样大小的图形
3．如图，在一个棱长为6cm的正方体上摆放另一个正方体，使得上面正方体的四个顶点恰 好均落在下面正方体的四条棱上，则上面正方体体积的可能值有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．无数个
4．如图，左排的平面图形绕轴旋转一周，可以得到右排的立体图形，那么与甲、乙、丙、丁各平面图形顺序对应的立体图形的编号应为（ ）
A．③④①② B．①②③④ C．③②④① D．④③②①
5．在下列几何体中，由三个面围成的有 ，由四个面围成的有 ．（填序号）
6．如图，在直六棱柱中，棱AB与棱CD的位置关系为 ，大小关系是 ．
7．用五个面围成的几何体可能是 ．
8．若一个直四棱柱的底面是边长为1cm的正方形，侧棱长为2cm，则这个直棱柱的所有棱长的和是 cm．
9．由一个平面图形绕着它的一条边所在的直线旋转一周形成的几何体，叫做旋转体．如果有一个几何体，围成它的各个面都是多边形，那么这个几何体叫做 多面体 ．在你所熟悉的立体图形中，旋转体有 ，多面体有 ．（要求各举两个例子）
10．一只小蚂蚁从如图所示的正方体的顶点A沿着棱爬向有蜜糖的点B，它只能经过三条棱，请你数一数，小蚂蚁有 种爬行路线．
11．探究：
将一个正方体表面全部涂上颜色，试回答：
（1）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体，我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为xi，那么x3= ，x2= ，x1= ，x0= ；
（2）如果把正方体的棱四等分，同样沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体，与（1）同样的记法，则x3= ，x2= ，xl= ，x0= ；
（3）如果把正方体的棱n等分（n≥3），然后沿等分线把正方体切开，得到n3个小正方体，与（1）同样的记法，则x3= ，x2= ，x1= ，x0= ．
状元笔记：
【知识要点】
1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类．
2．认识点、线、面，了解有关点、线及某些基本图形的一些简单性质．
3．认识棱柱的某些特征，开始学习较为规范的几何语言．
【温馨提示】
经历从现实世界抽象出几何图形的过程，能以实物简图形式直观地给圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱等几何体的命名．通过丰富的实例，认识图形是由点、线、面构成的；另外，通过观察，认识“点动成线、线动成面、面动成体”的几何事实．
【方法技巧】
围成几何体的面有曲面和平面两种．
参考答案：
1．C 解析： A．圆柱由上下两个平面和侧面一个曲面组成； B．圆锥由侧面一个曲面和底面一个平面组成； C．球只有一个曲面组成； D．正方体是由四个平面组成．
2．B 解析：棱柱由上下两个底面以及侧面组成，上下两个底面可以是全等的多边形，所以表面可能出现三角形，侧面是四边形；长方体、正方体都是棱柱；三棱柱的侧面是应是四边形，故B错．
3．D 解析：因为上面正方体的棱长不确定，所以根据正方体体积公式可知，上面正方体体积的可能值有无数个．
4．A 解析：甲旋转后得到③，乙旋转后得到④，丙旋转后得到①，丁旋转后得到②，故与甲、乙、丙、丁各平面图形顺序对应的立体图形的编号应为③④①②．
5．（2） （6） 解析：（1）和（3）有6个面，（2）有两个底面和一个侧面，共3个面，
（4）只有一个面，（5）有两个面，（6）有4个面．
6．平行 相等
7．四棱锥或三棱柱 解析：如果有一个底面则是四棱锥，如果有两个底面则是三棱柱．
8．16 解析：∵直四棱柱的底面是边长为1cm的正方形，∴两个底面的8条棱长之和是8cm．∵侧棱长为2cm，∴4条侧棱长之和是2×4=8（cm）．∴这个直棱柱的所有棱长和是8+8=16（cm）．
9．圆柱、圆锥 六棱柱、三棱锥
10．6 解析：根据正方体的特点，依次找到由顶点A沿着棱爬向B，只能经过三条棱的路线即可，如图所示，走法有：①A﹣C﹣D﹣B；②A﹣C﹣H﹣B；③A﹣E﹣F﹣B；④A﹣E﹣D﹣B；⑤A﹣G﹣F﹣B；⑥A﹣G﹣H﹣B．共有6种走法．
11．解：（1）根据长方体的分割规律可得x3=8，x2=12，x1=6，x0=1．
（2）把正方体的棱四等分时，顶点处的小正方体三面涂色共8个；有一条边在棱上的正方体有24个，两面涂色；每个面的正中间的4个只有一面涂色，共有24个；正方体正中心处的8个小正方体各面都没有涂色．故x3=8，x2=24，x1=24，x0=8．
（3）由以上可发现规律：三面涂色8个，两面涂色12（n﹣2）个，一面涂色6（n﹣2）2个，各面均不涂色（n﹣2）3个．
几何学的由来
学过数学的人，都知道它有一门分科叫作“几何学”，然而却不一定知道“几何”这个名称是怎么来的。在我国古代，这门数学分科并不叫“几何”，而是叫作“形学”。“几何”二字，在中文里原先也不是一个数学专有名词，而是个虚词，意思是“多少”。比如三国时曹操那首著名的《龟虽寿》诗，有这么两句：“对酒当歌，人生几何？”这里的“几何”就是多少的意思。那么，是谁首先把“几何”一词作为数学的专业名词来使用的，用它来称呼这门数学分科的呢？这是明末杰出的科学家徐光启.1 生活中的立体图形
第1课时 认识生活中的立体图形
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 以世博会的宣传片引入,展示各个国家的展馆,让学生感受到生活中的各种不同的几何体.(也可以用生活中常见的图片或能引起学生兴趣的图片)
图1-1-1
[说明与建议] 说明:创设情景,以激发学生的求知欲,使学生进入轻松、愉快、好奇、兴奋的学习状态,为探究新知创造条件.建议:在展示图片后可以让学生观察、寻找身边的物体,并说出它们的形状,可以更好地加深学生对几何体的理解,更深刻地感受到数学存在于生活之中.
置疑导入 同学们,首先祝贺你们成为一名中学生,在这里你们将会学习到更多更有用的知识,会发现更多更美的风景,你们会越来越走近数学,感受它的多姿多彩!这节课让我带着大家根据我所拍到的我们学校的全貌将咱们美丽的学校游览一番吧!(播放视频)
我们在欣赏学校的美景时,不妨用数学的眼光观察一下,这所美丽的学校蕴含着丰富的图形世界,你能从中发现哪些熟悉的图形呢
[说明与建议] 说明:通过视频的展示让学生感受学习环境的多姿多彩,进而提出问题,感受数学知识在生活中的广泛存在,认识到几何体的丰富性,体会数学与生活的紧密联系,同时激发学生的学习兴趣.建议:把更多的时间留给学生去发现、提炼,让学生自己说出相应的几何体.
归纳导入 同学们还记得小学都学过哪些几何体吗 你还记得它们的名字吗 下面我们到小明的书房去看看.(主动寻求这些几何体的现实背景,解决课本P2的问题)
你想更深入地接近这些几何体吗 让我们一起走近这些几何体.
图1-1-2
[说明与建议] 说明:使学生能够在丰富多彩的现实生活中辨认出特征鲜明的几何体,认识到几何体的特征是我们认识不同几何体、区别不同几何体的钥匙,意识到我们所学习的这些几何体大到古代建筑、小到日常生活学习用品,它们在现实生活中广泛存在,数学与生活紧密相连.建议:回顾学过的几何体时,预留足够的时间,适当的时候可以让学生先进行讨论、交流,然后再找同学回答、补充.
教材母题——第3页议一议
用自己的语言描述棱柱与圆柱的相同点与不同点.
【模型建立】
先通过讨论让学生对棱柱和圆柱有充分的认识,进而用自己的语言描述.要重视学生从“非数学语言”到“数学语言”的转化,积极鼓励学生说出对某个几何体的理解与领悟.
【变式变形】
1.下列立体图形中,面数相同的是 (D)
①圆柱;②圆锥;③正方体;④四棱柱.
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
2.在如图1-1-3所示的四个物体中,最接近圆柱的是 ( C )
图1-1-3
3.把图1-1-4中几何体的序号写在相对应的横线上.
长方体: ;棱柱: ;
圆柱: ;球: ;
圆锥: .
图1-1-4
[答案:②⑤⑧ ②④⑤⑧ ①⑥ ⑦⑨ ③⑩]
4.将如图1-1-5所示的几何体分类.
图1-1-5
[答案:分类标准不同,结果就不同.答案不唯一,略]
[命题角度1] 由实物模型确定相应几何体
判断一个几何体的形状,主要通过观察它的各个面和线(棱)的形状特征来抽象归纳.
例 如图1-1-6所示的图形中,上面是一些具体的物体,下面是一些立体图形,试找出与下面立体图形相类似的实物.
图1-1-6
[答案:埃及金字塔——四棱锥;西瓜——球;水杯——圆柱;数学课本——长方体]
[命题角度2] 根据棱柱的面、棱、顶点的数量探索规律
棱柱的侧棱数对应棱柱的名称,例如:有5条侧棱的叫做五棱柱,而每条侧棱都对应了两个顶点,每条侧棱都对应了一个侧面,而且棱柱有几条侧棱它的底就对应是几边形,即棱柱的棱、顶点、侧面对应固定的数量关系.如课本第4页随堂练习第2题.
例 根据棱柱的特征填空:
棱柱 面的个数 顶点个数 棱的条数
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
n棱柱
解:
棱柱 面的个数 顶点个数 棱的条数
三棱柱 5 6 9
四棱柱 6 8 12
五棱柱 7 10 15
六棱柱 8 12 18
n棱柱 n+2 2n 3n
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四维空间模型的应用及四维空间与生活的关系
--------电影画面
电影已经是这个时代人们所熟知的.它靠快速的更换有连贯性的图片而使人感觉到其中所发生的事情在时间上具有连贯性.图片也是我们所熟知的，它用来记录现实生活中某一刻所发生的事情.那有没有办法在图片上来表现客观事物的速度和幅度呢？也就是说让一副图片看起来就像一部电影呢？
我们知道，在纸张上可以画出一个方框，也可以画出一个立方体.也就是说自从人们能够把呈现在视网膜中的三维体的影像画在纸面上开始，人们已经认识到如何把一个高维空间的物体的影象压缩在一个平面上了.
想把物体的运动状态画在纸上，也就是说想在纸上去描述一个四维物体，这并不难做.在日本的一些卡通漫画里画师们已经做到了一些，比如一个运动的小球，他们会在小球运动的反方向画一些小球的部分轮廓，以表示小球的运动形态.那么，真正的四维图象是什么样的呢？怎么才会精确的表达一个以时间和空间结合的四维整体呢？
以四维空间中体和体之间相重合并且体中的粒子和另一个体中对应粒子相邻的这个特征，我们就可以用叠胶片的方法把一个物体在时空里的运动画在纸面上.现在，我们试着把电影中的一个在时间上连贯的镜头的所有胶片画面一一裁剪开来，并把他们按垂直于平面的方向重合起来成为一个立方体，那么透过这些胶片从上方看去，我们就可以看到胶片的全过程（影片里的镜头最好是固定不动的）.这个方法实际就是把已经被压缩在胶片里的三维空间影象再次用重叠压缩的方法把时间也压缩在胶片上.如果有一种生物的身体是四维体，那么它所能看见的我们必然是凝固的，它可以看见我们的出生和我们的死去.就像我们看一副画一样，从左边看到右边，从上边看到下边.而生活在二维空间的生物则不这么想，如果画的中间有一棵树的话，它可得花些力气才能看见树的另一边是什么样子的.3 截一个几何体
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 调查数据显示:我国有40%~60%的儿童存在挑食偏食问题,这种不良饮食行为,对少年儿童的健康影响很大.为此,每个“厨师长”妈妈都想为儿女做出色香味俱全的美食,这就要求妈妈们除了对材料、火候的掌控之外,还要具有丰富的创造力,在刀工上下功夫.大家看,这里可蕴含着数学知识呢!
图1-3-1
问题:一刀下去,这些物体被切出了什么形状
如果我们把黄瓜、火腿等看成一个几何体,把刀面看成一个平面,那么切的过程就是用一个平面截几何体的过程,截出的平面称为截面.本节课我们就来学习截一个几何体.
[说明与建议] 说明:从观察厨房里的食品切面,使学生初步认识截面的含义,体现了数学知识来源于生活,同时也对挑食的学生进行思想教育.建议:为了更直观地让学生感受截一个几何体的情况,如果有条件可以让学生动手操作感受,或者通过课件动画展示,引导学生发现:“刀”就是一个“平面”.
悬念激趣 请同学们观察图1-3-2中的两幅图片,思考下列问题:
图1-3-2
出示投影:小明和小华在一片森林里迷了路,转了半天总也找不着北,天上没有太阳可以参照,怎么办呢 他们坐在伐木工人伐木后留下的树桩上苦思冥想.突然,小明有了一个好主意……
问题:(1)聪明的你们知道小明的好主意究竟是什么吗
(2)你有什么启示
[说明与建议] 说明:通过栩栩如生的多媒体图片展现上面的问题情境,一下子使学生“身临其境”,紧紧抓住了学生的注意力.而他们能否走出森林,悬念般扣人心弦,使得所有同学从上课开始便自然地融入教师创设的教学情境.建议:把握好时间和尺度,一般两到三分钟,防止学生太活跃,以把握课堂秩序而浪费时间,难以完成本节课的教学内容.对于问题不要急于让学生解答,给学生留有思考和探究的欲望.
教材母题——第13页做一做
如图1-3-3,用一个平面去截正方体,截面分别是什么形状
图1-3-3
(1)截面的形状可能是三角形吗 先想一想,再做一做.
(2)截面的形状还可能是几边形
【模型建立】
用一个平面去截一个几何体,其截面形状的确定取决于这个平面与几何体的几个面相交,面与面相交得到线,即多边形的边,也就是说平面与几个面相交就能得到几边形.
【变式变形】
1.如图1-3-4是一块长方体木头,想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是 (B)
图1-3-4 图1-3-5
2.用平面去截下列几何体,截面的形状不可能是圆的几何体是 (D)
A.球 B.圆锥 C.圆柱 D.正方体
3.若用一个平面去截一个几何体,所得任意截面都是圆,则这个几何体是 球 .
4.如图1-3-6,将正方体沿面AB'C剪下,则截下的几何体为 三棱锥 .
图1-3-6
5.一个物体的外形是长方体,其内部构造不详.如图1-3-7所示,用一组水平的平面均匀截这个物体时,得到了一组截面(自下而上),截面形状如图1-3-8所示,则这个长方体的内部构造可能是 圆锥 .
图1-3-7 图1-3-8
6.如果用一个平面截掉一个正方体的一个角,剩下的几何体有几个顶点 几条棱 几个面
[答案:]
截面经过正方体的顶点的个数 图例 顶点的个数 棱的条数 面的个数
截面不经过正方体的顶点 10 15 7
截面经过正方体的一个顶点 9 14 7
截面经过正方体的两个顶点 8 13 7
截面经过正方体的三个顶点 7 12 7
7.用一个平面去截五棱柱,其截面的形状是几边形
[答案:三角形、四边形、五边形、六边形或七边形]
8.用平面截哪类几何体,其截面不可能是三角形 [答案:圆柱、球]
[命题角度1] 用平面截几何体时所得截面的形状
用平面去截一个几何体,截面形状的判断取决于平面与几何体的几个面相交,另外平面与平面相交一定会得到直线,平面与曲面相交可能得到直线,也可能得到曲线.
例 如图1-3-9是一个三棱柱,用一个平面去截这个三棱柱,可能得到的截面是 ①②③ .(填序号)
图1-3-9 图1-3-10
[命题角度2] 用平面截正方体
用平面截一个正方体所得的截面类型较多,唯独常见的几何图形圆是无法截正方体得到的.
例 用一个平面去截一个正方体,截面不可能是 (D)
A.长方形 B.三角形 C.梯形 D.圆
P14随堂练习
1．分别指出图中几何体截面形状的标号．
[答案] (1)B (2)C
2．用平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，你能想象出原来的几何体可能是什么吗？
[答案] 正方体、长方体、圆柱、棱柱．
P15习题1.5
1．图中各几何体的截面分别是什么形状？
[答案] (1)三角形；(2)圆；(3)五边形；
(4)长方形．
2．用平面去截一个三棱柱，截面可能是什么形状？先想一想，再做一做．
[答案] 矩形、三角形、梯形、五边形．
3．用平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，你能想象出原来的几何体可能是什么吗？如果截面是三角形呢？
[答案] 若截面是圆，可能是圆柱、圆锥、球或其中某些几何体的组合体；若截面是三角形，可能是棱柱、圆锥或其组合体．
专题一 截一个几何体
1．左图中的几何体的截面形状是( )
A B C D
2．用平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，则原来的几何体不可能是（ ）
A．正方体 B．棱柱体 C．圆柱 D．圆锥
3．下列图形：①等腰三角形；②矩形；③正五边形；④正六边形中，只有三个是可以通过切正方体(如下图)而得到的切口平面图形，这三个图形的序号是 ．
4．按如图所示的方法将几何体切开，所得的三个截面上有没有互相平行的线段？如果有，填上字母表示出来．
状元笔记：
【知识要点】
1．用一个平面去截一几何体，截出的面叫做截面．
2．经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化．
【温馨提示】
用一个平面去截一个正方体，截出的形状可能是三角形、四边形、五边形或六边形．（如图所示）
参考答案：
1．B
2．D
3．①②④ 解析：用一个平面去截正方体，截的位置不同，得到的截面可以是等腰三角形、四边形、五边形或六边形，但不可能是正五边形，故答案应是①②④．
4．解：如图所示：
AB∥CD，AC∥BD；EF∥GH，EG∥FH；PM∥QN，PQ∥MN．
截法不同 截面各异
用一个平面截一个几何体，沿着不同的位置切截，截出的面的形状一般不同，如果用平面沿不同的位置截圆柱、棱柱、圆锥等基本的几何体，截出的面的形状如何呢？我们就一起来探究一下吧.
1．圆柱的截面
用平面截一个圆柱，所得截面是一个平面图形.当平面所截的方向和角度不同，得到截面的形状、大小一般不同.用平面截圆柱，一般有以下几种常见的截法：
（1）如图1，截面与圆锥的底面平行，这时得到的截面是与底面形状相同、大小相等的圆；
（2）如图2，当截面与圆柱的高平行时，所得到的截面均为长方形.
（3）如图3，当截面与圆柱的侧面斜交，所得到的截面为椭圆形.
图1 图2 图3
2．圆锥的截面
用平面截一个圆锥，当沿不同的方向和角度截圆锥时，得到的截面的形状一般不同，常见的截面有以下几种情况：
（1）如图4，用与底面平行的平面截圆锥，得到的截面是一个和底面圆平行的圆，不同的位置，截面圆的大小不等；
（2）如图5，用经过圆锥的顶点且和底面垂直的面截圆锥，得到的平面是一个等腰三角形.
（3）如图6，沿着一定的倾斜角度截圆锥，得到的截面为椭圆形.
图4 图5 图6
3．棱柱的截面：
用平面截棱柱，由于棱柱（这里只研究直棱柱）包括三棱柱，四棱柱，五棱柱，六棱柱，……，所以沿不同的方向，截不同的面的形状可能不同.下面以三棱柱为例，加以说明.
用平明面截三棱柱，一般有以下几种不同的截法：
（1如图7，当截面与底面平行，这时所得截面为三角形，其形状、大小和底面相同；
（2）如图8，当截面和侧棱平行时，所得截面为长方形；
（3）当按图9的方式截三棱柱时，得到的截面是一个梯形.
图7 图8 图5
以上介绍了三种基本图形的截面的几种常见形状，当然，还有一些比较特殊的截法，得到的截面与上面介绍的情况不同，望大家在学习中进一步探讨.4 从三个方向看物体的形状
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
复习导入 如图1-4-1所示,小淘气用五个相同的小立方块搭成了一个立体图形(如图1-4-1),请同学们观察图1-4-2中的三幅图分别是从什么方向观察他搭的立体图形看到的形状图.
图1-4-1
图1-4-2
情景导入 欣赏漫画《9与6》,并说明原因.
图1-4-3
生活中的物体、事情要从多角度看,从不同的角度仔细观察,才能发现事物的本质.这就是我们这节课将要学习的内容:从三个方向看物体的形状.
[说明与建议] 说明:从学生熟悉的事物和情景入手,让学生经历从不同方向观察物体的活动过程,通过情景,体会从不同方向观察同一事物可能看到不同的图形,迅速进入学习状态,既激发了学生的求知欲望,又激活了学生的思维,从而引入课题.建议:在实际的引入过程中,可以让不同的学生对同一件事情发表自己的看法,并说明各自的理由,进而引入新课.当同学之间有分歧、争议时要学会换位思考,渗透德育教育.
置疑导入 课件展示《题西林壁》:横看成岭侧成峰,远近高低各不同.不识庐山真面目,只缘身在此山中.
问题:(1)作者苏东坡从不同角度对庐山的面貌进行了仔细观察,那他是从哪些角度对庐山进行观察的呢
(2)诗中隐含着什么道理,对我们有什么启发呢
图1-4-4
[说明与建议] 说明:跨越学科界限,让苏东坡的一首《题西林壁》把同学们带入了一个如诗如画的境界,再从诗歌中提炼出隐含的数学知识.这样,不但增强了学生的人文意识,还让学生感受到了数学中的“美”.建议:展示《题西林壁》时为了更好地调动学生的情绪,可以教师给出两句,让学生接另外两句.
悬念激趣 图片中你看到了什么 学生思考、回答后给出第2张图片.
问题:这说明什么问题
图1-4-5
[说明与建议] 说明:创设实际情境,激发兴趣,使学生集中注意力,同时引入课题.建议:在第1张图片展示后学生可能会有一定的躁动,教师适当引导后展示第2张图片,并适当地渗透德育教育,强调从不同的角度观察,结果也会不同.
教材母题——第17页议一议
一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成,从上面和从左面看到的这个几何体的形状图如图1-4-6所示,请搭出满足条件的几何体.你搭的几何体由几个小立方块构成 与同伴进行交流.
图1-4-6
【模型建立】
要准确判断几何体的形状需要知道从正面、左面、上面这三个方向看到的形状图,如果只有从两个方向看到的形状图,由于限制条件少,结果可能会出现多种情况.
(1)从上面看到的平面图形,相当于盖楼房时的第一层房屋结构图,其中每个正方形相当于一个房间;
(2)从左面看到的平面图形,说明原立体图形有两排,后排最高处有两层,前排最高处有一层.
由(1)(2)得符合要求的几何体由6个或5个小立方块搭成,从上面看到的形状如图1-4-7所示,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,小正方形外的数字表示那一排的最高层数.
图1-4-7
【变式变形】
1.[达州中考] 小颖同学从学校领来n盒粉笔,整齐地摞在讲桌上,其从三个方向看得到的形状图如图1-4-8所示,则n的值是 (B)
图1-4-8
A.6 B. 7
C.8 D. 9
2.[东营中考] 如图1-4-9是一个由多个相同的小正方体堆积而成的几何体从上面看得到的形状图,图中所示数字为该处小正方体的个数,则从这个几何体的左面看得到的图形是图1-4-10中的 (B)
图1-4-9 图1-4-10
3.一个几何体从三个方向看得到的形状图如图1-4-11所示,则该几何体是 (D)
图1-4-11
图1-4-12
4.在桌上摆着一个由若干个相同小正方体组成的几何体,其从正面和左面看得到的形状图如图1-4-13所示,设组成这个几何体的小正方体的个数为n,则n的最小值为 5 .
图1-4-13
5.[青岛中考] 如图1-4-14是由一些小立方块所搭几何体从三个方向看到的图形,若在所搭几何体的基础上(不改变原几何体中小立方块的位置),继续添加相同的小立方块,以搭成一个大正方体,则还需要 54 个小立方块.
图1-4-14
[命题角度1] 确定从三个方向看几何体的形状
从不同的方向看几何体得到的图形不同,要有一定的空间想象能力,还要明确从三个不同方向看几何体看到的不同数据:从正面看到的是长和高,从左面看到的是宽和高,从上面看到的是长和宽.
例1 [绍兴中考] 由5个相同的小立方块搭成的几何体如图1-4-15所示,则从正面看到的图形是图1-4-16中的 (B)
图1-4-15 图1-4-16
例2 [东营中考] 从棱长为2a的正方体零件的一角,挖去一个棱长为a的小正方体,得到一个如图1-4-17所示的零件,则这个零件从上面看到的图形是图1-4-18中的 (B)
图1-4-17
图1-4-18
[命题角度2] 由视图还原几何体
从上面看到的图形可以确定小立方块的位置,就像是房子的地基一样,对应的数字确定了该位置上小立方块的个数,就像是在对应的地基上盖了几层房子,这样就很容易地还原几何体的形状,进而得到从不同方向看到的图形.
例 [三明中考] 如图1-4-19是由5个小立方块所搭成的几何体从上面看到的图形,小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数,从这个几何体正面看到的图形是图1-4-20中的 (B)
图1-4-19
图1-4-20
[命题角度3] 根据不完整的信息分情况确定搭成某几何体的小立方块的个数
由于视图的不完整,导致了无法确定搭成某几何体的小立方块的准确数量,这时就要根据相关的信息进行多种可能性的分析.
例 由相同的小立方块搭一个立体图形,要求从左面看到的图形是,从正面看到的图形是,则搭这个立方图形最少需要几个小立方块 最多需要几个小立方块
[解析] 从左面看到的图形是,说明原立体图形有两排,后排最高处有2层,前排最高处有1层.从正面看到的图形是,说明原立体图形有3列,第一列最高处有两层,2,3列都只有一层.
两者综合:如图1-4-21,下方数字表示那一列的最高层数,左侧数字表示那一排的最高层数.
图1-4-21
图1-4-22
解:从上面看到的形状如图1-4-22所示,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块个数,则最少需要4个小立方块,最多需要7个小立方块.
P17随堂练习
从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
[答案]
P17习题1.6
1．从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
[答案]
(1)
(2)
2．一个小立方块的六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，从三个不同方向看到的情形如图所示，你能说出A，B，E对面分别是什么字母吗？你是怎么判断的？
[答案] A与C，B与D，E与F分别是相对的，可根据已知图中的相邻关系来确定各面的字母．
3．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图．
[答案] 如图所示．
*4.一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，下图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体至少是用多少个小立方块搭成的？
[答案] 至少用6块小立方块搭成．
P19复习题
1．图中的几何体由几个面围成？面与面相交成几条线？它们是直的还是曲的？
[答案] 由4个面围成；面与面相交成6条线，其中有4条是直的，2条是曲的．
2．折一折，连一连．
[答案] 第一行各图分别对应于第二行(3)(2)(1)．
3．图中哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？先想一想，再折一折．
[答案] (1)不能；(2)三棱柱；(3)不能．
4．将下图中各几何体的截面用阴影表示出来，并分别指出它们的形状．
[答案] 六边形、长方形、四边形、四边形．
5．用平面截正方体，截面的形状可以是长方形吗？用平面截长方体，截面的形状可以是正方形吗？与同伴进行交流．
[答案] 可以；可以．
6．在图中剪去1个小正方形使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体．先想一想，再试一试．
[答案] 方法有多种，可以剪去左边最下面一个．
7．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．
[答案] 如图所示．
8．用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．根据你所搭的几何体画出从左面看到的它的形状图．你还能搭出满足条件的其他几何体吗？
[答案] 略．
9．你能算出如图所示(单位：m)“粮仓”的容积吗？
解：π×(6÷2)2×4＋π×(6÷2)2×(7－4)÷3＝36π＋9π＝45π (m3)．
10．将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，你能得到哪些平面图形？动手试一试，并与同伴进行交流．
[答案] 略．
*11.将一个三角尺绕它的一直角边所在直线旋转一周，可以得到一个圆锥．如果绕它的斜边所在直线旋转一周，所得到的又是什么样的几何体？
[答案] 是两个圆锥组成的几何体．
专题一 简单几何体的三视图
1．由四个大小相同的正方体组成的几何体如左图所示，那么它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．图1是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是（ ）
(
俯视图
图
1
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
1
2
3
)
3．下图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知一个物体由x个相同的正方体堆成，它的主视图和左视图如下图所示，那么x的最大值是（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 ．
6．如果一个立体图形的主视图为矩形，则这个立体图形可能是 ．（只需填上一个立体图形）
７．长方体的主视图和左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是 cm2．
８．已知下图为一几何体从不同方向看得到的图形：
（1）写出这个几何体的名称；（2）任意画出这个几何体的一种表面展开图；（3）若长方形的高为10厘米，三角形的边长为4厘米，求这个几何体的侧面积．
状元笔记：
【知识要点】
1．能识别简单物体的三种视图，会画一个简单几何体的三视图．
2．根据一个几何体的三视图想象几何体的构成．
【温馨提示】
一般情况下，几何体的三种视图不同，但特殊几何体的三种视图可能出现同一种图形，如正方体的三种视图都是正方形，球体的三种视图都是圆．也有的几何体三种视图中有两种视图是同一种图形， 如圆柱的主、左视图都是长方形，俯视图是圆．已知几何体的两种视图，应注意第三种视图可能有多种情况．
【方法技巧】
按照“长对正，高平齐，宽相等”的原则画出几何体的三视图；根据三种视图确定几何体的形状，关键是“读图”．
参考答案：
1．B 解析：该几何体由四个小正方体组成，第一行有3个小正方体，故它的俯视图为B．
2．B 解析：从俯视图可以看出从左到右共有2列，第一列有二排，前排摆放2个小正方体，后排摆放1个小正方体，第二列前排摆放3个小正方体，所以主视图从左到右应该画2列，第一列有2个小正方形，第二列有3个小正方形，符合要求的是B．
3．B 解析：解决此种类型题的一般思路是由三种视图想象出实际几何体，然后再确定个数，符合要求的是B．
4．C 解析：通过主视图和左视图，画出小正方体最多时的俯视图，通过俯视图得出小正方体最多时的个数，从俯视图上标注的数字来看，最多可由11个小正方体搭成．
5．三棱柱 解析：该几何体的主视图为矩形，左视图亦为矩形，俯视图是一个三角形，则
可得出该几何体为三棱柱．
6．长方体(答案不唯一） 解析：从正面看是矩形的几何体可能是圆柱体或者长方体等．
7．12 解析：易得长方体的长为4，宽为3，所以俯视图的面积=4×3=12(cm2)．
8．解：(1)正三棱柱．
(2)
（3）侧面积＝3×10×4=120(cm2)．
与从不同方向看有关的三种题型
从不同的方向观察同一物体，可以看到不同的图形.分为三种情况：从正面看到的图形；从左面看到的图形；从上面看到的图形.和从不同的方向看有关的题目有下列三类:
根据几何体画从不同方向看得到的图形
从正面、左面、上面看一几何体，眼睛要正对着几何体，视线要与放置几何体的平面垂直，看准所看到面的形状.若是由小正方体组成的几何体,还要看准组成面的每一列和每一行的小正方形的个数.画由小正方体组成的几何体的从正面和左图看所得图形的方法类似,都是先确定看到的面左右共有几列,每一列共有几层.画从上面看所得图形，则看几何体的最上面的小正方形前后共有几行,左右共有几列以及每个面的位置关系.可以通过标注数字的办法进行画图.
例1 如图1是由小正方体搭成的几何体,请你分别画出从它的正面、左面、上面三个方向看所得的平面图形.
解析：从正面看，看到的正方形用1、2、3表示，1表示第一层的面，2表示第二层的面，3表示第三层的面,看到的面从左到右共有三列,第一列有2层,第二列有1层,第三列有3层,由此可以画出该几何体的从正面看得到的平面图形（如图2）.
从左面看共有3列,左面一列(后列)上下共可以看到3正方形面,中间可以看到一个正方形面，右面一列（前列）只能看到一个正方形面,由此可画出从左面看到的平面图形(如图3).
从上面看前后有两行，共有5个面，根据它们的位置关系，可画出从上面看得到的平面图形(如图4).
图1 图2 图3 图4
根据从上面看得到的平面图形及标注的层数画从正、左面看得到的平面图形
根据从上面看得到的图形画从正面和左面看几何体得到的平面图形,当几何体是由小正方体搭成的时,首先根据从上面看得到的图形确定从正面和左面看得到小正方形的列数,根据标注的小正方形上的数字,确定每列方块的个数.
例2 如图5，下列是由几个小立方体所搭成几何体的从上面看得到的图形，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出这个几何体的从正面、左面看得到的平面图形.
解析：由图5 可知，从正面看到正方形有3列，第①列有2层，第②列有3层，第③列有2层，可画出该几何体的从正面看得到的平面图形（如图6）；
由图5可知，从左面看正方形有两列，第⑴列有3层，第⑵列有2层，由此可画出从左面看得到的平面图形（如图7）.
图5 图6 图7
根据从不同的方向看得到的平面图形，说出几何体中小正方体的个数.
例3 如图8是小明用一些正方体积木搭成的楼房模型，下面从左到右三个图形分别是该模型的从正面、左面、上面看得到的平面图形，请指出这个模型是用多少块积木搭成的？
图8 图9
解析：观察图8中的三个图形，根据从正面和左面看得到的平面图形，可想象几何体的形状和结构为上下共两层，由从上面看得到的平面图形可知前后共两排，且前排只有一层，后排的第二层中间没有小正方体.据此可画出如图9所示的几何体模型，由8块小正方体搭成.第2课时 柱体、锥体展开与折叠
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 回答下列问题.
问题1:同学们,在我们的日常生活中,随处都可以见到、用到五花八门的包装盒,你能说出几种你所见到过的包装盒的名字吗 你能说出下面几种包装盒的几何图形的名称吗
图1-2-30
问题2:比如像上面的这几种,你知道这些包装盒拆开后会展成什么样的平面图形吗
问题3:如果给你一些展开的包装盒的纸板,你能不能把它们恢复成完整的包装盒
[说明与建议] 说明:利用学生感兴趣的生活中常见的实物,激发学生的求知欲,让学生进一步体会展开与折叠是两个互逆的过程,为新课的学习做好铺垫.建议:问题1所举的例子是学生生活中常见的实物,由学生回答完成;问题2,3先让学生思考,小组交流后选代表尝试回答,教师根据学生回答的情况适当引导,从而引出新课.
复习导入 活动内容1:
上节课我们学习了正方体的表面展开图,正方体的表面展开图共分几类 请在每种类型各选取一个画出,并在每个表面展开图中将原正方体相对的两个面用相同的数字标记.
活动内容2:
将下面的几何体沿某些棱剪开,展开成一个平面图形,能得到哪些形状的平面图形
图1-2-31
[说明与建议] 说明:通过对正方体表面展开图的复习,继续强化学生的空间想象力,为掌握其他立体图形的展开图打下基础.通过棱柱展开自然引入本课课题.建议:开门见山,直接考查正方体的展开图,学生快速画出11种展开图,并用相同数字标出相对应的面,继而引出其他几何体的展开图问题.
教材母题——第10页想一想(1)
如图1-2-32,哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱 先想一想,再折一折.
图1-2-32
【模型建立】
棱柱的表面展开图,要明确各面之间的关系,尤其是两个底面的形状要落在几个侧面的两侧,而且侧面的个数与底面的边数相同.
【变式变形】
1.[菏泽中考] 下列图形中,能通过折叠围成一个三棱柱的是 (C)
图1-2-33
2.[山西中考] 如图1-2-34是一个长方体包装盒,则它的表面展开图是 (A)
图1-2-34 图1-2-35
3.[菏泽中考] 过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面,形成如图1-2-36所示的几何体,其展开图正确的为 (B)
图1-2-36 图1-2-37
4.下列四个图中,是三棱锥的表面展开图的是 (B)
图1-2-38
5.如图1-2-39是一个长方体的展开图,在每个面的外侧都标注了字母,请根据要求回答问题:
图1-2-39
(1)如果A面在长方体的底部,那么哪一个面会在上面
(2)如果F面在前面,B面在左面,那么哪一个面会在上面
(3)如果C面在右面,D面在后面,那么哪一个面会在上面
[答案:(1)F面 (2)C面 (3)A面]
[命题角度1] 由展开图判断几何体
由几何体画展开图及由展开图还原几何体,此种逆向思维的训练是近年考试命题的热点.解题思路是:先判断有几个底面,再看其底面是什么形状的图形,最后还原出几何体.
例 [湖北中考] 如图1-2-40是某个几何体的展开图,该几何体是 (A)
图1-2-40
A.三棱柱
B.三棱锥
C.圆柱
D.圆锥
[命题角度2] 判断组合体的展开图
判断组合体展开图的步骤:(1)分析组合体是由什么样的几何体组成的;(2)试着将组合体沿某些棱剪开,看展开图中哪些面连在一起;(3)根据题目所给选项进行判断,必要时可以通过折纸制作几何体来判断展开图.
例 [南京中考] 如图1-2-41,一个几何体上半部分为正四棱锥,下半部分为正方体,且有一个面涂有颜色.下列图形中,是该几何体的表面展开图的是 (B)
图1-2-41 图1-2-42
[命题角度3] 会进行与几何体展开图有关的计算
首先将展开图折叠成立体图形,然后根据展开图中的相关数据,确定几何体的长、宽、高、半径等,最后根据几何体的体积公式、面积公式求解.
例 [随州中考] 如图1-2-43是一个长方体形状的包装盒的表面展开图,折叠制作完成后得到长方体的容积是(包装材料厚度不计) (D)
图1-2-43
A.40×40×70 B.70×70×80
C.80×80×40 D.40×70×80
P9习题1.3
1．将一个正方体的表面沿某些棱剪开，能展开成下列平面图形吗？
[答案] (1)(3)能，(2)不能．
2．下面哪一个图形经过折叠可以得到正方体？
[答案] (1)
3．将正方体的表面分别标上数字1，2，3，4，5，6，使它的任意两个相对面的数字之和为7，将它沿某些棱剪开，能展开成下列的平面图形吗？
[答案] (1)
4．在图中增加1个小正方形使所得图形经过折叠能够围成一个正方体．先想一想，再试一试．
[答案] 有如下四种情况：
*5.将正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，你剪开了几条棱？与同伴进行交流，你们的结果是否一致？
[答案] 剪开7条棱
P11随堂练习
1．哪种几何体的表面能展开成下面的平面图形？先想一想，再折一折．
[答案] (1)长方体；(2)五棱柱．
2．图中的两个图形经过折叠能否围成棱柱？先想一想，再折一折．
[答案] (1)三棱柱；(2)不能围成棱柱．
P11习题1.4
1．哪种几何体的表面能展开成如图所示的平面图形？先想一想，再折一折．
[答案] (1)三棱柱；(2)圆柱；(3)六棱柱；(4)圆锥．
2．图中的两个图形经过折叠能否围成棱柱？先想一想，再折一折．
[答案] (1)能，长方体；(2)能，长方体．
3．用一张纸片，通过剪一剪、折一折，制作一个棱柱形的盒子，并与同伴进行交流．
[答案] 略．
专题一 正方体的展开与折叠
1．以下各图均有彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体“着”相对的面上的汉字是（ ）
A．冷 B．静 C．应 D．考
3．将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的（ ）
A．面CDHE B．面BCEF C．面ABFG D．面ADHG
4.如图1-11,有一正方体的房间,在房间内的一角A处有一只蚂蚁,它想到房间的另一角B处去吃食物,试问它采取怎样的行走路线是最近的 如果一只蜜蜂,要从A到B怎样飞是最近呢 请同学们互相讨论一下.
B
A
专题二 三棱柱、圆柱与圆锥的展开与折叠
5．左图是一个三棱柱，下列图形中，能通过折叠围成该三棱柱的是（ ）
A．B．C．D．
6．如下图所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
状元笔记：
【知识要点】
1．掌握正方体的展开与折叠，能根据所给平面图形判断是否能折叠成正方体．
2．根据简单立体图形的形状画出它的展开图，根据展开图判断立体图形的形状．
【温馨提示】
1．长方体有8个顶点，12条棱，6个面，且每个面都是长方形（正方形是特殊的长方形）．
长方体是四棱柱，但四棱柱不一定是长方体，四棱柱的两个底面是四边形，不一定是长
方形．
2．一个平面展开图，折成立体图形的方式有两种：一种是向里折，一种是向外折，一般
易忽略其中一种，造成漏解．
3．棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形连成的，沿棱柱表面不同的棱
剪开，可能得到不同组合方式的平面展开图；圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和
一个长方形连成的；圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成的．
【方法技巧】
确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来：正方体经7刀剪，可得六面十四边；中间并排达四面，两旁各一随便站；三面并排在中间，单面任意双面偏；三层两面两层三，好似阶梯入云天；再问邻面何特点，“间二”“拐角”是关键； “隔1”、“Z端”是对面，识图巧排“七”“凹”“田”．
参考答案：
1．D 解析：选项A、B、C都可以折叠成一个正方体；选项D，有“田”字格，所以不能折叠成一个正方体．故选D．
考点：展开图折叠成几何体．
分析：由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．
2．B 解析：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“静”与面“着”相对，面“沉”与面“应”相对，“冷”与面“考”相对．
3．A 解析：由图1中的红心“”标志，可知它与等边三角形相邻，折叠成正方体是正方体中的面CDHE．
考点：展开图折叠成几何体．
分析：由平面图形的折叠及正方体的展开图解题，注意找准红心“”标志所在的相邻面．
4．解：如图（1）所示，线段AB是蚂蚁行走的最近路线；如图（2）所示，线段AB是蜜蜂飞的最近路线．
5．B 解析：A．折叠后有二个侧面重合，不能得到三棱柱； B．折叠后可得到三棱柱；
C．折叠后有二个底面重合，不能得到三棱柱； D．多了一个底面，不能得到三棱柱．
6．D 解析：根据圆锥的侧面展开图是扇形，可以直接得出答案，D选项不符合要求．
被开除的数学家
欧拉是数学史上着名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生。
事情是因为星星而引起的。 当时，小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星。老师是个神学的信徒，他不知道天上究竟有多少颗星，圣经上也没有回答过。其实，天上的星星数不清，是无限的。我们的肉眼可见的星星也有几千颗。这个老师不懂装懂，回答欧拉说：“天有有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。”
欧拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到一在幕上的呢？上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢？上帝会不会太粗心了呢？”
他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。老师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一个才上学的孩子向老师问出了这样的问题，使老师下不了台，更主要的是，老师把上帝看得高于一切。小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目，言外之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师的心目中，这可是个严重的问题。
在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考。小欧拉没有与教会、与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家。但是，在小欧拉心中，上帝神圣的光环消失了。他想，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住？他又想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪。他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在。
回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。
爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米（15+15+40+40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。
小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。
父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。
小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了。”
父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息。
父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。
