人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 7.4.2《超几何分布》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 7.4.2《超几何分布》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 12:55:15 | ||
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文档简介
《超几何分布》教学设计
一、创设情境,引入课题
问题1 已知100件产品中有8件次品,现采用有放回方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为,求随机变量的分布列.
师生活动:
教师提出问题:
(1)采用有放回抽样,随机变量服从二项分布吗
(2)如果采用不放回抽样,抽取的4件产品中次品数服从二项分布吗 如果不服从,那么的分布列是什么呢
让学生思考、讨论、交流.教师指定学生回答.
(1)如果采用有放回抽样,那么每次抽到次品的概率为,且各次抽样的结果相互独立,此时服从二项分布,即.
(2)采用不放回抽样,虽然每次抽到次品的概率都是,但每次抽取不是同一个试验,而且各次抽取的结果也不独立,不符合重伯努利试验的特征,因此不服从二项分布.
追问:你能求出这个分布列吗 请同学们动手试一下.
学生求完后,教师展示学生的解法.
解:由题意可知,可能的取值为.从100件产品中任取4件,样本空间包含个样本点,且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有件次品的结果数为.
由古典概型的知识,得的分布列为.
计算的具体结果(精确到0.00001)如表所示.
设计意图:通过具体的问题情境,复习巩固二项分布,同时引入本节课所研究的内容,发展学生的数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
二、探究新知
1.超几何分布的概念.
如果把上面的100件产品改成件产品,含有的8件次品改成件次品,抽取4件产品改成抽取件产品(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,我们就可以得到超几何分布的定义:
一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为.其中,.如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布.
设计意图:让学生经历由特殊到一般的抽象过程,发展学生的数学抽象核心素养.
师生活动:
教师提出问题:如果去掉上面的背景,你能指出公式中各字母的含义吗
学生思考、讨论、交流,得出公式中各字母的含义,教师根据学生情况给予适当的指导.
公式中各字母的含义:
—总体中的个体总数,
—总体中的特殊个体总数(如次品总数),
—样本容量,
—样本中的特殊个体数(如次品数).
教师指出:
(1)求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率分布列.
(2)“任取件,恰有件次品”是一次性抽取,用组合数列式.
设计意图:得出公式后,教师和学生共同分析公式中各字母的含义,有助于学生记忆和理解公式.
2.超几何分布的均值
探究:服从超几何分布的随机变量的均值是什么
师生活动:
教师提出上述探究问题,学生思考、讨论、交流,最后汇报.教师补充总结.
设随机变量服从超几何分布,则可以解释为从包含件次品的件产品中,不放回地随机抽取件产品中的次品数.令,则是件产品的次品率,而是抽取的件产品的次品率,我们猜想,即.
下面给出证明:
实际上,令,由随机变量均值的定义:
当时,
(1)
因为,所以
.
当时,注意到(1)式中间求和的第一项为0,类似可以证明结论依然成立.
结论:设随机变量服从超几何分布,则可以解释为从包含件次品的件产品中,不放回地随机抽取件产品中的次品数,令,则.
特别提示:超几何分布均值的计算要用到组合恒等式,有一定的难度,教学时建议以先直观猜想,再计算验证的方式进行探究.超几何分布的方差计算比较复杂,对学生不做要求.
设计意图:采用先猜想再证明的方式处理超几何分布的均值这部分内容,让学生更易接受,同时,培养学生逻辑推理及数学运算核心素养.
三、典例剖析
例1 从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.
师生活动:
教师引导学生分析,可以先将这50名学生分成两类,甲单独为第一类,其他49人为另一类.然后设为选取的5名学生中含有第一类的人数,那么表示甲被选中,表示甲没有被选中.
学生完成解答过程.
解:设表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1),则服从超几何分布,且.因此,甲被选中的概率为.
特别提示:简单随机抽样可以保证每个个体被抽到的概率相等.直观上,从名学生中随机选出名学生,每一个人被选到的概率都相等,且这个概率为,例1的计算证明了这一结论.难点是如何将这一问题归结为超几何分布模型.
例2 一批零件共有30个,其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测,求至少有1件不合格的概率.
师生活动:
教师找两名学生板演,其他学生独立完成.教师根据学生完成情况进行适当点评指导.
解:设抽取的10个零件中不合格品数为,则服从超几何分布,且的分布列为.
至少有1件不合格的概率为.
也可以按如下方法求解:.
总结归纳:(1)当研究的事物涉及二维离散型随机变量(如:次品、两类颜色等问题)时的概率分布可视为超几何分布;
(2)在超几何分布中,只要知道参数就可以根据公式求出取不同值时的概率.
设计意图:通过典例解析,在具体的问题情境中,深化对超几何分布的理解.发展学生的数学建模和数学运算核心素养.
跟踪训练1 在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响.具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者和4名女志愿者,从中随机抽取5名接受甲种心理暗示,另5名接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率;
(2)用表示接受乙种心理暗示的女志愿者的人数,求的分布列.
解:(1)记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含,但不包含”的事件为,则.
(2)由题意知的所有可能取值为,4,且服从的超几何分布.
,
,
.
因此X的分布列为
例3 一个袋子中有100个大小相同的球,其中有40个黄球、60个白球,从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数.
(1)分别就有放回摸球和不放回摸球,求的分布列;
(2)分别就有放回摸球和不放回摸球,用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,求误差不超过的概率.
师生活动:
教师引导学生分析,因为只有两种颜色的球,每次摸球都是一个伯努利试验.摸出20个球,采用有放回摸球,各次试验的结果相互独立,;而采用不放回摸球,各次试验的结果不独立,服从超几何分布.
找两名学生板演,其他学生独立完成.教师根据学生完成情况进行适当点评指导.
解:(1)对于有放回摸球,每次摸到黄球的概率为,且各次试验之间的结果是独立的,因此的分布列为,.
对于不放回摸球,各次试验的结果不独立,服从超几何分布,的分布列为.
(2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到),如表所示.
样本中黄球的比例是一个随机变量,根据上表,计算得
有放回摸球:.
不放回摸球:.
因此,在相同的误差限制下,采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
设计意图:例3是摸球试验,目的是分别就有放回抽样和不放回抽样,用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,定量地比较估计的效果,用概率的方法解释直观常识.在这个问题中,总体中黄球的比例是已知的,而样本中黄球的比例是随机变量.
教师结合例3指出:
两种摸球方式下,随机变量分别服从二项分布和超几何分布.虽然这两种分布有相等的均值(都是8),但从两种分布的概率分布图(如下图)看,超几何分布更集中在均值附近.
对于不放回抽样,当远远小于时,每次抽取一次后,对的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似.
教师提出问题:二项分布与超几何分布有什么区别和联系
学生小组讨论后汇报:
(1)区别:一般地,超几何分布的模型是“取次品”且是不放回抽样;而二项分布的模型是“重伯努利试验”,对于抽样,则是有放回抽样.
(2)联系:当产品的数量充分大,且抽取的产品数量较小时,即便是不放回抽样,也可视其为二项分布.
设计意图:利用概率分布图让学生直观地观察和感受二项分布与超几何分的联系与区别.
四、达标检测
1.已知100件产品中有10件次品,从中任取3件,则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为________.
2.在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有5个红球和10个白球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出3个球,至少摸到2个红球就中奖,求中奖的概率.
3.在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1件.求:
(1)不放回抽样时,抽取次品数的均值;
(2)放回抽样时,抽取次品数的均值.
答案
(点拨:由题意,取出的3件产品中的次品数服从超几何分布,则.)
2.由题意知摸到红球的个数为离散型随机变量,且服从超几何分布,则至少摸到2个红球的概率为2).
故中奖的概率为.
3.(1)方法一:,
,
.
所以随机变量的分布列为
.
方法二:由题意知,
所以随机变量服从超几何分布,且,,
所以.
(2)由题意,知每次取到次品的概率为,
所以,
所以.
设计意图:通过练习巩固本节所学知识.通过学生解决问题,发展学生的数学运算和数学建模核心素养.
五、归纳总结提升
1.超几何分布的概念是如何得出的 体现了什么样的思想与方法
2.超几何分布的均值是如何得出的 体现了什么样的思想与方法
3.超几何分布与二项分布的区别与联系是什么
设计意图:通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力.
六、布置作业
教材第80页练习第1,2题.
板书设计:
7.4.2超几何分布 1.超几何分布 2.超几何分布的均值 3.例题 例1 例2 例3 超几何分布与二项分布的区别与联系 4.小结与作业
教学研讨:
超几何分布将是常见的考查内容,因此,教学设计时,涉及超几何分布的求解将是重中之重.建议教学过程中总结好超几何分布的求解步骤,参考如下:
(1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否由明显的两部分组成,如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等,或可转化为明显的两部分,具有该特征的概率模型为超几何分布模型.
(2)算概率:可以直接借助公式求解,也可以利用排列组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数的含义.
(3)列分布列表:把求得的概率值通过表格表示出来.
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一、创设情境,引入课题
问题1 已知100件产品中有8件次品,现采用有放回方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为,求随机变量的分布列.
师生活动:
教师提出问题:
(1)采用有放回抽样,随机变量服从二项分布吗
(2)如果采用不放回抽样,抽取的4件产品中次品数服从二项分布吗 如果不服从,那么的分布列是什么呢
让学生思考、讨论、交流.教师指定学生回答.
(1)如果采用有放回抽样,那么每次抽到次品的概率为,且各次抽样的结果相互独立,此时服从二项分布,即.
(2)采用不放回抽样,虽然每次抽到次品的概率都是,但每次抽取不是同一个试验,而且各次抽取的结果也不独立,不符合重伯努利试验的特征,因此不服从二项分布.
追问:你能求出这个分布列吗 请同学们动手试一下.
学生求完后,教师展示学生的解法.
解:由题意可知,可能的取值为.从100件产品中任取4件,样本空间包含个样本点,且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有件次品的结果数为.
由古典概型的知识,得的分布列为.
计算的具体结果(精确到0.00001)如表所示.
设计意图:通过具体的问题情境,复习巩固二项分布,同时引入本节课所研究的内容,发展学生的数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
二、探究新知
1.超几何分布的概念.
如果把上面的100件产品改成件产品,含有的8件次品改成件次品,抽取4件产品改成抽取件产品(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,我们就可以得到超几何分布的定义:
一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为.其中,.如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布.
设计意图:让学生经历由特殊到一般的抽象过程,发展学生的数学抽象核心素养.
师生活动:
教师提出问题:如果去掉上面的背景,你能指出公式中各字母的含义吗
学生思考、讨论、交流,得出公式中各字母的含义,教师根据学生情况给予适当的指导.
公式中各字母的含义:
—总体中的个体总数,
—总体中的特殊个体总数(如次品总数),
—样本容量,
—样本中的特殊个体数(如次品数).
教师指出:
(1)求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率分布列.
(2)“任取件,恰有件次品”是一次性抽取,用组合数列式.
设计意图:得出公式后,教师和学生共同分析公式中各字母的含义,有助于学生记忆和理解公式.
2.超几何分布的均值
探究:服从超几何分布的随机变量的均值是什么
师生活动:
教师提出上述探究问题,学生思考、讨论、交流,最后汇报.教师补充总结.
设随机变量服从超几何分布,则可以解释为从包含件次品的件产品中,不放回地随机抽取件产品中的次品数.令,则是件产品的次品率,而是抽取的件产品的次品率,我们猜想,即.
下面给出证明:
实际上,令,由随机变量均值的定义:
当时,
(1)
因为,所以
.
当时,注意到(1)式中间求和的第一项为0,类似可以证明结论依然成立.
结论:设随机变量服从超几何分布,则可以解释为从包含件次品的件产品中,不放回地随机抽取件产品中的次品数,令,则.
特别提示:超几何分布均值的计算要用到组合恒等式,有一定的难度,教学时建议以先直观猜想,再计算验证的方式进行探究.超几何分布的方差计算比较复杂,对学生不做要求.
设计意图:采用先猜想再证明的方式处理超几何分布的均值这部分内容,让学生更易接受,同时,培养学生逻辑推理及数学运算核心素养.
三、典例剖析
例1 从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.
师生活动:
教师引导学生分析,可以先将这50名学生分成两类,甲单独为第一类,其他49人为另一类.然后设为选取的5名学生中含有第一类的人数,那么表示甲被选中,表示甲没有被选中.
学生完成解答过程.
解:设表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1),则服从超几何分布,且.因此,甲被选中的概率为.
特别提示:简单随机抽样可以保证每个个体被抽到的概率相等.直观上,从名学生中随机选出名学生,每一个人被选到的概率都相等,且这个概率为,例1的计算证明了这一结论.难点是如何将这一问题归结为超几何分布模型.
例2 一批零件共有30个,其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测,求至少有1件不合格的概率.
师生活动:
教师找两名学生板演,其他学生独立完成.教师根据学生完成情况进行适当点评指导.
解:设抽取的10个零件中不合格品数为,则服从超几何分布,且的分布列为.
至少有1件不合格的概率为.
也可以按如下方法求解:.
总结归纳:(1)当研究的事物涉及二维离散型随机变量(如:次品、两类颜色等问题)时的概率分布可视为超几何分布;
(2)在超几何分布中,只要知道参数就可以根据公式求出取不同值时的概率.
设计意图:通过典例解析,在具体的问题情境中,深化对超几何分布的理解.发展学生的数学建模和数学运算核心素养.
跟踪训练1 在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响.具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者和4名女志愿者,从中随机抽取5名接受甲种心理暗示,另5名接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率;
(2)用表示接受乙种心理暗示的女志愿者的人数,求的分布列.
解:(1)记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含,但不包含”的事件为,则.
(2)由题意知的所有可能取值为,4,且服从的超几何分布.
,
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.
因此X的分布列为
例3 一个袋子中有100个大小相同的球,其中有40个黄球、60个白球,从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数.
(1)分别就有放回摸球和不放回摸球,求的分布列;
(2)分别就有放回摸球和不放回摸球,用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,求误差不超过的概率.
师生活动:
教师引导学生分析,因为只有两种颜色的球,每次摸球都是一个伯努利试验.摸出20个球,采用有放回摸球,各次试验的结果相互独立,;而采用不放回摸球,各次试验的结果不独立,服从超几何分布.
找两名学生板演,其他学生独立完成.教师根据学生完成情况进行适当点评指导.
解:(1)对于有放回摸球,每次摸到黄球的概率为,且各次试验之间的结果是独立的,因此的分布列为,.
对于不放回摸球,各次试验的结果不独立,服从超几何分布,的分布列为.
(2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到),如表所示.
样本中黄球的比例是一个随机变量,根据上表,计算得
有放回摸球:.
不放回摸球:.
因此,在相同的误差限制下,采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
设计意图:例3是摸球试验,目的是分别就有放回抽样和不放回抽样,用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,定量地比较估计的效果,用概率的方法解释直观常识.在这个问题中,总体中黄球的比例是已知的,而样本中黄球的比例是随机变量.
教师结合例3指出:
两种摸球方式下,随机变量分别服从二项分布和超几何分布.虽然这两种分布有相等的均值(都是8),但从两种分布的概率分布图(如下图)看,超几何分布更集中在均值附近.
对于不放回抽样,当远远小于时,每次抽取一次后,对的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似.
教师提出问题:二项分布与超几何分布有什么区别和联系
学生小组讨论后汇报:
(1)区别:一般地,超几何分布的模型是“取次品”且是不放回抽样;而二项分布的模型是“重伯努利试验”,对于抽样,则是有放回抽样.
(2)联系:当产品的数量充分大,且抽取的产品数量较小时,即便是不放回抽样,也可视其为二项分布.
设计意图:利用概率分布图让学生直观地观察和感受二项分布与超几何分的联系与区别.
四、达标检测
1.已知100件产品中有10件次品,从中任取3件,则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为________.
2.在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有5个红球和10个白球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出3个球,至少摸到2个红球就中奖,求中奖的概率.
3.在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1件.求:
(1)不放回抽样时,抽取次品数的均值;
(2)放回抽样时,抽取次品数的均值.
答案
(点拨:由题意,取出的3件产品中的次品数服从超几何分布,则.)
2.由题意知摸到红球的个数为离散型随机变量,且服从超几何分布,则至少摸到2个红球的概率为2).
故中奖的概率为.
3.(1)方法一:,
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.
所以随机变量的分布列为
.
方法二:由题意知,
所以随机变量服从超几何分布,且,,
所以.
(2)由题意,知每次取到次品的概率为,
所以,
所以.
设计意图:通过练习巩固本节所学知识.通过学生解决问题,发展学生的数学运算和数学建模核心素养.
五、归纳总结提升
1.超几何分布的概念是如何得出的 体现了什么样的思想与方法
2.超几何分布的均值是如何得出的 体现了什么样的思想与方法
3.超几何分布与二项分布的区别与联系是什么
设计意图:通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力.
六、布置作业
教材第80页练习第1,2题.
板书设计:
7.4.2超几何分布 1.超几何分布 2.超几何分布的均值 3.例题 例1 例2 例3 超几何分布与二项分布的区别与联系 4.小结与作业
教学研讨:
超几何分布将是常见的考查内容,因此,教学设计时,涉及超几何分布的求解将是重中之重.建议教学过程中总结好超几何分布的求解步骤,参考如下:
(1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否由明显的两部分组成,如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等,或可转化为明显的两部分,具有该特征的概率模型为超几何分布模型.
(2)算概率:可以直接借助公式求解,也可以利用排列组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数的含义.
(3)列分布列表:把求得的概率值通过表格表示出来.
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