人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 7.4.1《二项分布》教学设计

《二项分布》教学设计
一、情境导入
刘备帐下的智囊团除诸葛亮以外还有9名谋士,假定对某事进行决策时,这9名谋士贡献正确意见的概率均为0.7,诸葛亮贡献正确意见的概率为0.85.现刘备为某事可行与否征求智囊团的意见.
有以下两种方案:
(1)征求每名谋士的意见,并按多数人的意见作出决策.
(2)采纳诸葛亮的意见.
应按哪种方案作出决定
学完本节课,你就能够帮助刘备作出决定了.
设计意图:通过具体的问题情境,引发学生思考,积极参与互动,说出自己的见解,从而引入伯努利试验的概念.
二、探究新知
重伯努利试验
在实际问题中,有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征,它们只包含两个可能结果.例如,检验一件产品结果为合格或不合格,飞碟射击时中靶或脱靶,医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.
思考1:你能根据重伯努利试验的定义,归纳总结它的特征吗
学生思考、讨论、交流,得出重伯努利试验具有如下共同特征:
(1)同一个伯努利试验重复做次;
(2)各次试验的结果相互独立.
设计意图:在具体实例的基础上理解伯努利试验和重伯努利试验的概念,并探究重伯努利试验的特征,提升数学抽象核心素养.
在归纳总结出重伯努利试验的特征后,教师提出以下问题让学生思考:
问题1 下面3个随机试验是否为重伯努利试验 如果是,那么其中的伯努利试验是什么 对于每个试验,定义“成功”的事件为,那么的概率是多大 重复试验的次数是多少
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为,连续射击3次.
(3)一批产品的次品率为,有放回地随机抽取20件.
在学生充分思考的基础上,找几名学生回答.根据学生的回答情况,教师进行评价指导,最后用下列表格给学生呈现.
设计意图:用表格的形式进行分析,使学生更直观形象地观察试验结果.
思考2:伯努利试验和重伯努利试验有什么不同
师生活动:
教师展示问题,让学生思考.
在学生思考的同时,教师可以适当引导,让学生在充分理解这两个概念的基础上进行辨析.
伯努利试验是一个“只有两个结果的试验”,在试验中,只关注某个事件发生或不发生;重伯努利试验是对一个“只有两个结果的试验”重复进行了次,试验中的关注点是某个事件“发生”的次数.进一步地,因为是一个离散型随机变量,所以我们实际关心的是它的概率分布列.
设计意图:通过辨析伯努利试验和重伯努利试验,加深学生对这两个概念的理解.
2.二项分布
问题2 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为.连续3次射击,中靶次数的概率分布列是怎样的
师生活动:
教师和学生共同完成这一问题的分析和解答过程,让学生体验二项分布模型的构建过程.
用表示“第次射击中靶”,用如下图的树状图表示试验的可能结果.
由分步乘法计数原理,3次独立重复试验共有种可能结果,它们两两互斥,每个结果都是3个相互独立事件的积.由概率的加法公式和乘法公式得
,
,
,
.
为了简化表示,每次射击用1表示中靶,用0表示脱靶,那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为,这三个结果发生的概率都相等,均为,并且与哪两次中靶无关.因此,3次射击恰好2次中靶的概率为.同理可求中靶0次、1次、3次的概率.于是,中靶次数的分布列为.
问题3 如果连续射击4次,类比上面的分析,表示中靶次数等于2的结果有哪些 写出中靶次数的分布列.
师生活动:
学生类比上面的分析,自己独立完成解答.
(1)表示中靶次数等于2的结果有:,,,共6个.
(2)中靶次数的分布列为.
师生共同归纳得出二项分布的概念:
一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为,用表示事件发生的次数,则的分布列为,.如果随机变量的分布列具有上式的形式,则称随机变量服从二项分布,记作.
设计意图:通过对具体问题的分析,让学生掌握二项分布的概念及其特点,发展学生的数学抽象核心素养.
二项分布可以用下表表示
提示:对服从二项分布的随机变量的分布列的形式的理解如下.
设计意图:用图示展示二项分布,便于学生记忆和理解.
思考二项分布与两点分布有何关系
提示:两点分布是一种特殊的二项分布,即是的二项分布;二项分布可以看作两点分布的一般形式.
设计意图:通过辨析二项分布与两点分布,让学生知道两点分布是一种特殊的二项分布,二项分布是两点分布的一般形式,从而加深学生对这两个概念的理解与认识.
思考4:对比二项分布和二项式定理,你能看出它们之间的联系吗
提示:如果把看成看成,那么就是的展开式的通项,且.
设计意图:让学生对比二项分布与二项式定理,帮助学生记忆公式.
问题4 假设随机变量服从二项分布,那么的均值和方差各是什么
提示:(1)当时,服从两点分布,分布列为.
均值和方差分别为.
(2)当时,的分布列为,.
均值和方差分别为).
.
结论:一般地,如果,那么,.
下面对均值进行证明.
证明:令,则.
因为,
所以,
所以
.
三、典例剖析
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求:
(1)恰好出现5次正面朝上的概率;
(2)正面朝上出现的频率在内的概率.
师生活动:
教师引导学生用二项分布的定义分析:抛掷一枚质地均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等,这是一个10重伯努利试验.因此,正面朝上的次数服从二项分布.
教师板书例题的解答过程,让学生熟悉这类题目的解答步骤.
解:设“正面朝上”,则.用表示事件发生的次数,.
(1)恰好出现5次正面朝上等价于,于是;
(2)正面朝上出现的频率在内等价于,于是.
设计意图:通过典例解析,在具体的问题情境中,深化学生对二项分布的理解.发展学生的数学建模和数学运算核心素养.
例2 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0,1,2,…,10,用X表示小球最后落入格子的号码,求X的分布列.
师生活动:
教师展示例题,设计以下问题引导学生分析.
对于本例题来说:
(1)伯努利试验是什么
(2)“成功”的事件是什么 “成功”的概率是多少
(3)重复试验的次数是多少 各次试验结果之间是否相互独立
(4)成功的次数与落入格子的号码的对应关系是什么
分析过程:小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果.设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果,且概率都是.在下落的过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一个10重伯努利试验.小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因此服从二项分布.
解:设“向右下落”,则“向左下落”,且.因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数,而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次,所以.于是,的分布列为的概率分布图如下图所示.
设计意图:以问题引导学生分析,帮助他们逐步掌握抽象模型特征的一般步骤.钉板试验可以使学生认识到随机现象的特点,即偶然中蕴含着必然规律,提升学生的数学建模核心素养.
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
师生活动:
教师引导学生分析:判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,那么如何比较甲、乙两选手获胜的概率呢
学生思考、交流、讨论.
教师找学生代表发言:可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率.
学生动手求解,完成解答过程,教师可以找两名学生板演.
解:采用3局2胜制,甲最终获胜有两种可能的比分2:0或,前者是前两局甲连胜,后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的,甲最终获胜的概率为.
类似地,采用5局3胜制,甲最终获胜有3种比分3:或.因为每局比赛的结果是独立的,所以甲最终获胜的概率为.
教师对学生完成情况进行评价指导,并追问:还有其他解法吗
学生思考、交流、讨论.
根据学生情况,如果学生有困难可以适当引导:也可以假定赛完所有局,把局比赛看成重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.
师生共同完成,教师板演.
解:采用3局2胜制,不妨设赛满3局,用表示3局比赛中甲胜的局数,则.甲最终获胜的概率为.
采用5局3胜制,不妨设赛满5局,用表示5局比赛中甲胜的局数,则.甲最终获胜的概率为.
因为,所以5局3胜制对甲有利.实际上,比赛局数越多,对实力较强者越有利.
设计意图:对于例3,给出了两种解法.前一种解法符合比赛实际规则,比较容易理解,但不符合二项分布的特征.后一种解法用二项分布求解,解法较简单,但不易理解.需要思考的问题是为什么假定赛满3局或5局不影响甲最终获胜的概率.利用不同方法解决问题,拓展学生的思维,提高学生解决问题的能力,同时培养他们的逻辑推理和数学建模核心素养.
师生活动:
思考5:确定一个二项分布模型的步骤有哪些
教师可以和学生共同总结归纳.
一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下:
(1)明确伯努利试验及事件的意义,确定事件发生的概率;
(2)确定重复试验的次数,并判断各次试验的独立性;
(3)设为次独立重复试验中事件发生的次数,则.
思考6:我们用二项分布模型解决问题时需要注意哪些问题
教师可以和学生共同总结归纳.
用二项分布模型解决问题时需注意:
(1)判断一个随机变量是否服从二项分布要注意以下三点:
①每次试验只有两种结果;
②在每次试验中,某事件发生的概率是同一个常数;
③次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且每次试验的结果是相互独立的.
(2)当随机变量服从二项分布时,应弄清试验次数与成功概率.
设计意图:通过归纳总结,加深学生对二项分布的理解与认识,提升学生的数学建模核心素养.
例4 已知一次数学测验由25道选择题构成,每道选择题有4个选项,其中有且仅有1个选项是正确的,每道题选择正确得4分,不作出选择或选错不得分,满分100分.某学生选对任1道题的概率均为,求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差.
师生活动:
教师出示题目,学生阅读题目,理解题意,分析解题思路,最后自己动手完成解答过程.
解:设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为,所得的分数为.
由题意知,,且,
则,
.
故,
.
所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是60和96.
设计意图:应用二项分布的期望与方差公式解决实际问题,加深对公式的记忆和理解.
三、达标检测
1.某射击选手每次射击击中目标的概率是,则该选手在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为( )
A.
B.
C.
D.
2.已知是一个随机变量,若,则( )
A.
B.
C.
D.
3.已知一个随机变量,,则________,________.
4.甲、乙两队参加世博会知识竞赛,每队3人,每人回答1个问题,答对者为本队贏得1分,答错者得0分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中每人答对的概率分别为,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.
(1)求随机变量的分布列;
(2)用表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求.
5.一位出租车司机开车从某饭店到火车站,途中共有6个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是.
(1)求这位司机遇到红灯数的期望与方差;
(2)若遇上红灯,则需等待30秒,求司机总共等待时间的期望与方差.
答案
(点拨:设该选手击中目标的次数为,则,所以这名选手在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为.)
2.D(点拨:由题意知,故.)
3.10 0.8(点拨:因为,所以,可得.)
4.(1)由已知可得甲队中3人回答问题相当于3重伯努利试验,所以.
,
,
,
.
的分布列为
(2)用表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用表示“甲得3分乙得0分”这一事件,互斥.
.
.
所以.
5.(1)由题意可知出租车司机遇上红灯的次数服从二项分布,且,
所以,
.
(2)由已知可得,所以,.
设计意图:通过练习巩固本节课所学知识,发展学生的数学运算、数学建模核心素养.
四、课堂总结
1.二项分布的定义:
一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为,用表示事件发生的次数,则的分布列为,.如果随机变量的分布列具有上式的形式,则称随机变量服从二项分布,记作.
2.一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下:
(1)明确伯努利试验及事件的意义,确定事件发生的概率;
(2)确定重复试验的次数,并判断各次试验的独立性;
(3)设为次独立重复试验中事件发生的次数,则.
3.一般地,如果,那么.
设计意图:通过总结,进一步巩固本节所学内容,提高概括总结的能力.
五、布置作业
教材第页练习第题.
板书设计:
7.4.1二项分布 1.伯努利试验 2.重伯努利试验 3.重伯努利试验的特征 4.二项分布 5.二项分布的均值与方差 例1 例2 例3 确定一个二项分布模型的步骤 例4
教学研讨:
本案例在抽象重伯努利试验的特征时,需要特别关注关键词“伯努利试验"“重复”“独立”的含义.伯努利试验是指只包含两个可能结果的试验,用表示“成功”,表示“失败”;重复是指每次试验的条件完全相同,且事件发生的概率保持不变;独立指的是各次试验之间相互独立,对此在高中不进行严格定义,可以直观描述为各次试验的结果互相不受影响.
类比二项式定理的探究过程,采用由特殊到一般的方法推导二项分布的分布列.首先设置了一个探究,以3次射击为例,求中靶次数的分布列.借助树状图,利用概率的加法公式及独立事件的乘法公式求,接着设置了一个思考,当射击次数为4时,如何表示事件 如何求 最后由特殊到一般地得到的分布列.在这个过程中,用到了事件的表示、概率的运算法则、组合计数等知识,以及由特殊到一般的推理方法.教学时要让学生独立思考、相互交流,充分经历这个探究过程,提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养.
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