人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册7.4 《二项分布与超几何分布课时1》教学设计

《二项分布与超几何分布》教学设计
课时1二项分布
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
二项分布 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 创造迁移能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象数据分析 数学运算数学建模 逻辑推理 【考查内容】 1.通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题. 2.超几何分布模型的识别,超几何分布的分布列的计算. 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
超几何分布 数学抽象数据分析 数学运算数学建模 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容第1课时是对二项分布的研究与学习,主要介绍重伯努利试验、二项分布及二项分布的均值和方差.本节课具有着承前启后的作用,既是前面的条件概率、全概率的求法以及随机变量的分布列和数字特征等有关内容的延续和扩展,又为后续内容提供理论基础.在自然现象和现实生活中,大量的随机变量都服从或近似服从二项分布,而且重伯努利试验与二项分布是高考中的重要考点.
本节内容第2课时通过比较放回和不放回随机抽样中次品数的分布,从特殊到一般,从具体到抽象通过归纳得到超几何分布的特征,推导出超几何分布的均值,讨论二项分布与超几何分布的联系与区别,并且通过构建超几何分布概率模型,提高用概率的方法解决问题的能力.
本节内容包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.二项分布 2.超几何分布 数学抽象 数学运算 数据分析 数学建模 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
从学生的思维特点看,很容易把二项分布与超几何分布混淆.对于超几何分布和二项分布,可借助于不放回抽样和放回抽样的对比,判断各次试验结果是否独立,这点是学生的弱点.求二项分布与超几何分布,多以解答题出现,所以概率模型的建立对学生来讲也是一个需要克服的难关.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.二项分布
2.超几何分布
【教学目标设计】
1.通过具体实例了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征;能用二项分布解决简单的实际问题.
2.通过具体实例,了解超几何分布及其均值;能用超几何分布解决简单的实际问题.
【教学策略设计】
在短短的一节课要让学生经历对重伯努利试验和二项分布概念的学习、深入理解、运用知识解答相关基础题目等过程,学生不可能独立完成,这需要教师采用恰当的教学方法、创设合理的教学情境加以引导.针对本节课的内容特点,可以以“实例观察和启发为主,讨论和练习为辅”的教学方法.“多媒体辅助”的教学手段来进行教学,引导学生通过自主探究学习、讨论合作学习等方式来进行本节课的学习,使学生能够运用本节课知识解决相关问题,并对后续的学习有所启发,从而实现预设的教学目标.
在超几何分布的教学中,可精心设计教学活动,比如可以让学生思考:建立超几何分布模型的过程与建立二项分布和建立古典概率模型的过程有什么不同之处.让学生经历归纳概括随机试验的特征和推导分布列的过程,这对正确选择概率模型解决实际问题非常重要,也是落实数学抽象、数据分析等核心素养的需要.
【教学方法建议】
启发教学法、问题教学法,还有___________________________________________________
【教学重点难点】
重点
1.重伯努试验.
2.二项分布及其数字特征.
3.二项分布的简单应用.
4.超几何分布模型的特征.
5.超几何分布及其推导过程,并能进行简单的运用.
难点
1.在实际问题中抽象出模型的特征.
2.识别二项分布.
3.在具体的问题情境中,抽象出超几何分布的概率模型,并用相关知识解决相应问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:前面我们学习了离散型随机变量的有关知识,请同学们思考并回答下面的问题:
(1)事件与事件是互斥事件时,写出事件的概率表达式;
(2)事件与事件相互独立时,写出事件的概率表达式.
【学生积极思考,查阅笔记、教材,温故知新】
生:(1);(2).
师:本节课我们将学习和概率相关的新的知识——二项分布和超几何分布.
【设计意图】
让学生回顾与本节课知识密切相关的已学的概率知识,做到温故知新.
教学精讲
师:同学们,本节课我们学习二项分布,在学习二项分布之前,我们先来做一个猜硬币的试验.
【情境设置】
发现规律
试验:甲、乙两人玩猜硬币的游戏,甲连续抛5次硬币,乙猜正面朝上或反面朝上;若乙猜对至少3次则乙胜,否则甲胜.我们玩游戏的同时,请大家思考两个问题:
(1)前一次猜测的结果是否对后一次结果产生影响 每次猜对的概率都是多少 每次猜测的结果是否相互独立
(2)该游戏规则对双方是否公平,能否从概率的角度作出解释
【教师充当游戏中角色甲,请一位同学充当角色乙,教师猜硬币5次,每次都让学生猜结果,学生通过参与游戏,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
【设情境 巧激趣】
为了让学生能够身临其境思考和探究,激发学生的学习兴趣,创设课堂亲自操作的游戏情境,以实例和问题的形式引导学生通过自主和合作等方式提炼出游戏的核心信息,引出本节课题.
生:(1)不影响;;相互独立.
(2)不公平.因为正面、反面朝上的概率都是,所以对于乙不公平.
师:回答正确！继续看下面一个试验.
【情境设置】
发现规律
掷一枚图钉,针炎向上的概率为,则针尖向下的概率为.
问题:掷次图钉,第1次,第2次,,第次针尖向上的概率分别为多少 根据掷图钉试验和游戏中的抛硬币试验,探讨两个试验有哪些共同特点
【教师以集体提问的方式引导学生探究,发现掷次图钉时,第1次,第2次,,第次针尖向上的概率都是,再通过分析,总结两个试验的共同点,教师根据学生回答内容进行总结得到伯努利试验的概念】
【情境学习】
师生通过猜硬币的试验,从而发现规律,在游戏情境中思考问题、总结知识,深化重伯努利试验的概念.
生:试验1和试验2都只包含两种可能结果.抛硬币不是正面朝上,就是反面朝上;掷图钉时针尖朝上或针尖朝下.
师:我们可以把以上具体的实际问题抽象成如下的概念.
【要点知识】
伯努利试验的概念
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
【观察记忆能力】
通过对重要问题的思考,结合游戏过程的情境化,激发学生自主思考,在发现总结规律的同时提高观察记忆能力.
师:那什么是重伯努利试验呢
【学生思考回答问题,教师评价后进行展示】
【要点知识】
重伯努利试验
我们将一个伯努利试验独立地重复进行次,所组成的随机试验称为重伯努利试验.
师:重伯努利试验有什么共同特征
【学生思考回答问题,教师评价后进行展示】
【要点知识】
重伯努利试验的共同特征
1.同一个伯努利试验重复做次.
2.各次试验的结果相互独立.
师:“重复”意味着各次试验成功的概率相同,我们思考下面的问题.
【情景设置】
重伯努利试验的判断
下面3个随机试验是否为重伯努利试验 如果是,那么其中的伯努利试验是什么 对于每个试验,定义“成功”的事件为,那么的概率是多大 重复试验的次数是多少
(1)拋掷一枚质地均匀的硬币10次.
(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为,连续射击3次.
(3)一批产品的次品率为,有放回地随机抽取20件.
【学生积极思考,教师指定学生回答】
【推测解释能力】
通过学习重伯努利试验的概念,判断随机试验是否为重伯努利试验,提升学生推测解释能力.
生:(1)的概率是,重复试验次数为10.
(2)的概率是,重复试验次数为3.
(3)的概率是,重复试验次数为20.
【概括理解能力】
学生通过思考题的练习,判断是否为重伯努利试验,加深学生对概念特征的理解,提升概括理解能力.
师:大家说得都非常好!那么重伯努利试验的分布列是怎样的 请思考下面的问题.
【情景设置】
探究重伯努利试验的分布列
某飞碟运动员每次射击中靶的概率为,连续射击3次,中靶次数的概率分布列是怎样的
(1)连续射击3次,共有几种情况
(2)它们的概率分别是多少 这几种事件存在着什么关系
(3)中靶次数的分布列是什么
【指定学生依次回答三个小问题,以学生回答为主,以教师讲解为辅,得出答案】
【以学定教】
将一个求概率分布列的问题拆解为三个小问题,从学生的角度出发,降低了思维的难度,有助于学生对重伯努利试验的理解和掌握.
生:(1)共8种情况,即(种).
(2)设击中为,未击中为,则:①;②;③;④;⑤;⑥⑦⑧.可以发现,击中相同次数的概率相同.
(3)分布列为
0 1 2 3
【深度学习】
通过本道思考题的引入加深学生对重伯努利试验概念特征的理解,学生通过被分解的三个小问题,由浅入深理解题意,实现深度学习.
师:由此我们得到二项分布的概念如下.
【要点知识】
二顶分布的概念
一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为1),用表示事件发生的次数,则的分布列为
如果随机变量的分布列具有上式的形式,则称随机变量服从二项分布,记作.
【教师引导学生分析二项分布概率模型特征,共同阐述公式中所表示的实际意义,并总结说明】
师:代表试验的次数,代表事件发生的次数,代表事件发生的概率,代表事件未发生的次数.对比二项分布和二项式定理,也可发现二者形式上的关联,同学们要注意区分和联系.
【先学后教】
教师引导学生分析例1中二项分布概率模型特征,总结公式并应用,将公式中各参数拆解出来逐一阐述,加深学生的印象.
师:下面我们看一道例题.
【典型例题】
二项分布的应用
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求:
(1)恰好出现5次正面朝上的概率;
(2)正面朝上出现的频率在内的概率.
【教师分析解题的思考过程,学生解答】
师:拋掷一枚质地均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等,这是一个10重伯努利试验.因此,正面朝上的次数服从二项分布.
生解:设“正面朝上”,则.用表示事件发生的次数,则.
(1)恰好出现5次正面朝上等价于,于是
(2)正面朝上出现的频率在内等价于,于是
【分析计算能力】
通过二项分布概率模型特征的分析,找出其特点,应用公式解决问题,提升分析计算能力.
【典型例题】
二顶分布的应用
例2 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0,1,2,…,10,用表示小球最后落入格子的号码,求的分布列.
【自主学习】
通过实际应用问题,教师帮助学生理解独立性重复试验与二项分布概率模型的本质联系,启发学生正确思考的方法,增强学生的自主探究意识.
师:小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果.设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果,且概率都是0.5.在下落的过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一个10重伯努利试验.小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因此服从二项分布.
【教师通过信息技术,向学生展示动态图,学生积极思考,分小组交流,教师指定学生回答】
生解:设“向右下落”,则“向左下落”,且.因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数,而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次,所以.于是,的分布列为.
的概率分布图如下所示.
【推测解释能力】
通过指定学生独立回答,激发学生解得正确答案,通过师生问答,学生会理解二项分布概念并应用概念解决相应题目,提升推测解释能力.
师:下面我们看一道二项分布在比赛中的应用.
【典型例题】
二项分布的应用
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
师:判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大.可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有局,把局比赛看成重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.
【教师提示本例题一题多解,学生分析解题的思考过程,分小组讨论,每个小组思考一个解法】
生1:方法1 采用3局2胜制,甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1,前者是前两局甲连胜,后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的,甲最终获胜的概率为
类似地,采用5局3胜制,甲最终获胜有3种比分或.因为每局比赛的结果是独立的,所以甲最终获胜的概率为
生2:方法2 采用3局2胜制,不妨设赛满3局,用表示3局比赛中甲胜的局数,则.甲最终获胜的概率为
采用5局3胜制,不妨设赛满5局,用表示5局比赛中甲胜的局数,则,).甲最终获胜的概率为
因为,所以5局3胜制对甲有利.实际上,比赛局数越多,对实力较强者越有利.
师:本例中为什么假定赛满3局或5局,不影响甲最终获胜的概率
【活动学习】
通过对实际问题的探讨,以及分组学习的形式,激发学生探求知识的意愿,通过活动学习,学生会理解概念并应用概念解决相应题目.
【学生思考,教师讲解】
师:以3局2胜制为例,实际上,当甲或乙先胜2局时,第3局就不用比赛了,如果设想进行第3局比赛,.因此假设赛满3局不影响甲最终获胜的概率.
师:由此我们得到确定二项分布模型的步骤.
【少教精教】
设置分组学习,教师引导学生交流讨论,让学生体会到本节课知识的应用价值,提升应用意识,加深学生对二项分布的掌握.
师:确定了二项分布模型后,该如何确定它的均值和方差呢
【归纳总结】
确定二项分布模型的步骤
一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下:
(1)明确伯努利试验及事件的意义,确定事件发生的概率.
(2)确定重复试验的次数,并判断各次试验的独立性.
(3)设为次独立重复试验中事件发生的次数,则.
师:确定了二项分布模型后,该如何确定它的均值和方差呢
【情景设置】
探究二项分布的均值和方差
假设随机变量服从二项分布,那么的均值和方差各是什么
师:我们知道,拋掷一枚质地均匀的硬币,“正面朝上”的概率为,如果掷100次硬币,预计有(次)正面朝上.根据均值的含义,对于服从二项分布的随机变量,我们猜想.
【猜想探究能力】
教师引导学生从到的分析,总结出均值和方差的公式,由浅入深加深学生的理解.猜想二项分布的均值为.提升猜想探究能力.
【教师提出问题,学生分组探究,共同总结规律并进行证明】
师:当时,称服从两点分布,分布列为.
均值和方差分别为
那么,当时呢
生:当时,的分布列为
均值和方差分别为
.
.
如果,那么.
师:下面我们对均值进行证明.
证明:令,由,可得
令,则
.
【归纳总结】
两点分布及二项分布的均值和方差
1.当时,服从两点分布,分布列为
均值和方差分别为
2.若,则.
【分析计算能力】
通过计算求值,一方面加深对二项分布均值、方差的公式和概念的理解,一方面提升了分析计算能力.
师:同学们,以上是两点分布和二项分布的期望和方差公式,同学们要记住相关概念,以及期望、方差的计算公式.接下来,我们练习几道题目.
【巩固练习】
二项分布
1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,表示“正面朝上”出现的次数.
(1)求的分布列;
(2)________,__________.
2.鸡接种一种疫苗后,有不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗,求:
(1)没有鸡感染病毒的概率;
(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.
3.判断下列表述正确与否,并说明理由:
(1)12道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数;
(2)100件产品中包含10件次品,不放回地随机抽取6件,其中的次品数.
4.举出两个服从二项分布的随机变量的例子.
【自主学习】
学生在充分理解二项分布均值和方差的公式的基础上应用概念解决相应题目,独立完成,自主练习.
【学生积极思考,独立完成练习,教师指导学生回答】
生(1).
(2).
生2:设5只接种疫苗的鸡中感染病毒的只数为,则.
(1).
(2).
生3:(1)正确.每道题猜对答案与否是独立的,且每道题猜对答案的概率为,这是一个12重伯努利试验.
(2)错误.每次抽到次品的概率为,但由于是不放回抽样,所以每次是否抽到次品不独立,不满足二项分布的条件.
生4:(1)在10期“双色球”彩票开奖号码中,蓝色球号码1出现的次数.
(2)放回随机抽取的100名学生中近视的人数.
【简单问题解决能力】
布置几道与本节课二项分布密切相关的练习,通过学生独立练习,使课堂教学得到了延续和强化,巩固了二项分布相关计算方法,提升了学生的简单问题解决能力.
师:二项分布的应用非常广泛.例如,生产过程中的质量控制和抽样方案,都是以二项分布为基础的;参加某保险人群中发生保险事故的人数,试制药品治愈某种疾病的人数,感染某种病毒的家禽数等,都可以用二项分布来描述.
师:本节课我们围绕着二项分布,主要讲述了三部分内容:重伯努利试验、二项分布以及二项分布的均值和方差.同学们要注意区别和判断各个概念.
【课堂小结】
二顶分布
【设计意图】
教师引导学生通过课堂练习自主总结当堂课二项分布的重点内容,利用练习巩固所学的计算概率、求分布列、计算均值的方法,整体学习,加强学生对本节学习内容的整体认识和把握.
教学评价
学完本节课,我们应该了解重伯努利试验的概念,理解二项分布及其数字特征,并能在实际问题中抽象出模型特征,识别二项分布,理解超几何分布概率模型的特征,会由特殊到一般地推导超几何分布的分布列,会求超几何分布的分布列及其均值,能说出二项分布与超几何分布的区别和联系,并能综合应用所学的概率知识,建立概率模型,解决简单的实际问题.
【设计意图】
教师引导学生整理知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,提升解决问题的能力,从而达到数学运算、数学抽象、数据分析等核心素养目标要求.
应用所学知识,完成下面各题:
1.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量的分布列、均值及方差.
解析:(1)设表示事件“日销售量不低于100个”,表示事件“日销售量低于50个”,表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”.因此
,
.
(2)由题意知,故,
则的分布列为
0 1 2 3
因为,所以均值,
方差.
【综合问题解决能力】
通过两道综合题目的练习,学生可以充分体会二项分布和超几何分布的综合应用,主要是判断属于何种分布模型.根据题意,选定概率分布模型后,根据公式计算概率、分布列、均值等问题,提升学生的综合问题解决能力.
2.甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选.
(1)求甲恰有2个题目答对的概率;
(2)求乙答对的题目数的分布列.
解析:(1)由于甲在备选的10道题中,答对其中每道题的概率都是,
所以选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率.
(2)由题意知乙答对的题目数的可能取值为,则.
则的分布列为
2 3 4
教学反思
本节课重点学习的内容是:重伯努利试验、二项分布的概率及其数字特征、二项分布的简单应用,超几何分布的概率、均值、简单应用.在本节课的总体教学设计中,突出了教师的身份不仅是讲授知识,而是更侧重于引导启发学生,调用多种方式、运用多媒体课件,利用试验等直观的教学方式帮助学生理解重伯努利试验和二项分布的含义;利用生活中的实例,突出数学概念、数学方法的实际作用.通过比较放回和不放回抽样,让学生由特殊到一般总结超几何分布的特征及分布列,利用生活中的实例,突出数学概念、数学方法的实际作用.落实了数学抽象、数学运算、数据分析、逻辑推理等核心素养,通过例题和习题的思考和练习,着重培养学生的概括理解能力、分析计算能力、推测解释能力以及综合问题解决等学科能力.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,以及不足之处,要注意结合实例,让学生体会选择应用合适概率模型解决问题的过程,可通过信息技术、课堂活动等让学生具备完整的求分布列、计算概率、计算方差、均值以解决问题的实际经验.
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