《二项分布与超几何分布》竞赛培优
一、解答题
1.（华约联盟自主招生）系统内有个元件,每个元件正常工作的概率为.若有超过一半的元件正常工作,则系统正常工作,求系统正常工作的概率,并讨论的单调性.
参考答案
1.
答案：见解析
解析：解:个元件中,恰有个元件正常工作的概率为;恰有个元件正常工作的概率为;恰有个元件正常工作的概率为故.当有个元件时,考虑前个元件.
①前个元件中恰有个元件正常工作,它的概率为,此时后两个元件必须同时正常工作,所以这种情况下系统正常工作的概率为.
②前个元件中恰有个元件正常工作,它的概率为.,此时后两个元件中至少有一个正常工作即可,所以这种情况下系统正常工作的概率为.
③前个元件中至少有个元件正常工作,它的概率为,此时系统一定正常工作.
故
这里用到了
.
故当时,为常数;
当时,单调递减;
当时,单调递增.
1 / 2《二项分布与超几何分布》链接高考
一、选择题
1.已知圆的圆心到直线的距离为,若,则使的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
2.将一枚均匀的硬币投掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________.
3.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为,则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________ (用数字作答).
三、解答题
4.(2020·北京卷)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;
(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;
(3)将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小(结论不要求证明).
5.在新冠病毒肆虐全球的大灾难面前，中国全民抗疫，众志成城，取得了阶段性胜利，为世界彰显了榜样力量.为庆祝战疫成功并且尽快恢复经济，某网络平台的商家进行有奖促销活动，顾客购物消费每满600元，可选择直接返还60元现金或参加一次答题返现，答题返现规则如下:电脑从题库中随机选出一题目让顾客限时作答.假设顾客答对的概率都是0.4，若答对题目就可获得120元返现奖励.若答错,则没有返现.假设顾客答题的结果相互独立.
(1)若某顾客购物消费1800元,作为网络平台的商家,通过返现的期望进行判断,是希望顾客直接选择返回180元现金,还是选择参加3次答题返现
(2)若某顾客购物消费7200元并且都选择参加答题返现,请计算该顾客答对多少次概率最大,最有可能返回多少现金
6.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
①用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量的分布列与数学期望.
②设为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件发生的概率.
7.为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标和的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“”表示未服药者.
(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标的值小于60的概率;
(2)从图中四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标的值大于的人数,求的分布列和数学期望;
(3)试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小(只需写出结论).
答案解析
一、选择题
1.
答案:D
解析:由题意知圆心坐标为,
圆心到直线的距离为,
则,解得或.
因为,所以.
因为,
所以.
二、填空题
2.
答案:
解析:由题意,知本题是一个次独立重复试验中恰好发生次的概率问题,
正面出现的次数比反面出现的次数多,包括:
正面出现4次,反面出现2次;
正面出现5次,反面出现1次;
正面出现6次,共有三种情况.这三种情况是互斥的,
∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是.
3.答案:
解析:由题意,若共有3人被治愈,则;
若共有4人被治愈,则,
∴至少有3人被治愈的概率.
三、解答题
4.答案:见解析
解析:(1)该校男生支持方案一的概率为,
该校女生支持方案一的概率为.
(2)3人中恰有2人支持方案一分两种情况,①仅有两个男生支持方案一;②仅有一个男生支持方案一,一个女生支持方案一.
所以3人中恰有2人支持方案一的概率为.
(3).
5.答案:见解析
解析:(1)设表示顾客在3次答题中答对的次数,由于顾客每次答题的结果是相互独立的,
则,
所以.
由于顾客每答对一题可获得120元返现奖励,因此该顾客在三次答题中可获得的返现金额的期望为144(元).由于顾客参加三次答题返现的期望144元小于直接返现的180元,所以商家希望顾客参加答题返现.
(2)由已知顾客可以参加12次答题返现,设其中答对的次数为.由于顾客答题的结果是相互独立的,则,.
假设顾客答对次的概率最大,
则有
解得,所以,所以最大.所以该顾客答对5次的概率最大,最有可能返回(元)现金.
6.答案:见解析
解析:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为.由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、两三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①随机变量的所有可能取值为.
所以,随机变量的分布列为
0 1 2 3
随机变量的数学期望.
②设事件为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;
事件为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则,且与互斥.由①知,,故.所以,事件发生的概率为.
7.答案:见解析
解析:(1)由图知,在服药的50名患者中,指标的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标的值小于60的概率为.
(2)由图知,四人中,指标的值大于的有2人:和.所以的所有可能取值为.
.
所以的分布列为
0 1 2
故的数学期望.
(3)在这100名患者中,服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
1 / 6《二项分布与超几何分布》学考达标练
一、选择题
1.（康杰中学月考）小陈通过高二英语听力测试的概率是,他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2021济南外国语学校月考）“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,其游戏规则是“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.若,则等于（ ）
A.0.665
B.0.00856
C.0.91854
D. 0.99144
4.（2021耀华中学月考）(多选)10名同学中有名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰抽取1名女生的概率为,则实数的值可为（ ）
A.1
B.2
C.4
D.8
二、填空题
5.（2021黄冈中学模拟）2019年春节期间,小李用私家车送5位朋友到三个旅游景点去游玩,每位朋友在每一个景点下车的概率均为,用表示5位朋友中在第三个景点下车的人数,则随机变量的数学期望为____________,方差为____________.
6.（2021石家庄二中高二月考）已知随机变量服从二项分布.若,,则____________.
三、解答题
7.（2021黄石二中期中）随着网络营销和电子商务的兴起,人们的购物方式更加多样化,某调查机构随机抽取10名购物者进行采访,5名男性购物者中有3名倾向于选择网购,2名倾向于选择实体店,5名女性购物者只有2名倾向于选择网购,3名倾向于选择实体店.
（1）若从10名购物者中随机抽取2名,其中男、女各一名,求至少1名倾向于选择实体店的概率;
（2）若从这10名购物者中随机抽取3名,设表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数,求的分布列和数学期望.
参考答案
1.
答案：A
解析：3次中恰有1次获得通过的概率为.
2.
答案：B
解析：根据“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”,可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局、小军输给大明的概率都为,小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,若小军和大明比赛至第四局小军胜出,即前三局中小军胜两局,有一局不胜,第四局小军胜,∴小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率为.故选B.
3.
答案：D
解析：
.
4.
答案：
解析：由题意,得,解得或.
5.
答案：
解析：根据题意得的所有可能取值为
.
6.
答案：
解析：依题意可得且,解得.
7.
答案：见解析
解析：解:（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件,
则表示事件“随机抽取2名,其中男、女各一名,都选择网购”,则.
(2)的取值为.
,.
所以的分布列为
.
1 / 4《二项分布与超几何分布》高考通关练
一、选择题
1.（2020宁波高三期末）一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球.现从中有放回地摸取4次,每次都是随机摸取一球,设摸得白球的个数为,若,则（ ）.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.（2021嘉陵一中高二期中）某种种子每粒发芽的概率都为,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为,则的数学期望为（ ）
A.100
B.200 .
C.300
D.400
3.（2021六安第一中学模拟）(多选)一个口袋内有12个大小形状完全相同的小球,其中有个红球,若有放回地从口袋中连续取四次(每次只取一个小球),恰好两次取到红球的概率大于,则的值可能为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
4.（2020潍坊模拟）(多选)掷一个不均匀的硬币6次,每次掷出正面的概率均为,恰好出现次正面的概率记为,则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.中最大值为
5.（2021随州一中模拟）如果,那么当变化时,成立的的个数为（ ）
A.10
B.20
C.21
D.0
二、填空题
6.将一枚硬币连掷7次,如果出现次正面向上的概率等于出现次正面向上的概率,那么的值为__________.
7.（2021武汉外国语学校高二月考）设随机变量,随机变量,若,则__________.
8.（2021济南高二调考）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次,事件“至少有一次正面朝上”的概率为,则的最小值为__________.
9.（2021合肥模拟）某班级有男生32人,女生20人,现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育委员.男生当选的人数记为,则的数学期望为__________.
三、解答题
10.从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同，在下列两种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数X的分布列.
（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；
（2）每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品.
11.（2020石首一中高二期末）第四届世界互联网大会在浙江乌镇隆重召开，人工智能技术深受全世界人民的关注，不同年龄段的人群关注人工智能技术应用与发展的侧重点有明显的不同，某中等发达城市的市场咨询与投资民调机构在该市对市民关注人工智能技术应用与发展的侧重方向进行调查，随机抽取1000名市民，将他们的年龄分成6段：[20,30），[30,40），[40,50），[50,60），[60,70），[70,80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）求这1000名市民年龄的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）调查发现年龄在内的市民侧重关注人工智能技术在学习与工作方面的应用与发展, 其中关注智能办公的共有100人,将样本的频率视为总体的频率,从该市年龄在内的市民中随机抽取300人,请估计这300人中关注智能办公的人数;
(3)用样本的频率代替概率,现从该市随机抽取20名市民调查关注人工智能技术在养老服务方面的应用与发展的情况,其中有名市民的年龄在内的概率为,其中,当最大时,求的值.
参考答案
1.
答案：B
解析：由题意,.
2.
答案：B
解析：记不发芽的种子数为,则,则.
.
3.
答案：
解析：设每次取到红球的概率为,由题意得,即,解得,因为,所以,所以或6或7.故选.
4.
答案：
解析：由题意知
,即选项A错误,选项B正确.由必然事件的概率可知,而0,故选项C错误.设中的最大值为,且,则即解得.又中最大值为,即选项D正确.故选.
5.
答案：C
解析：(0,20),,共21个.
6.
答案：3
解析：由题意,知
.
7.
答案：
解析：∵,
.
8.
答案：4
解析：由题意知,即,解得,故的最小值为4.
9.
答案：
解析：由题意知,随机变量的可能取值是,4,且.
的数学期望为
10.
答案：见解析
解析：解:(1)X的取值为.
当时,即只取一次就取到合格品,故;
当时,即第一次取到次品,第二次取到合格品,
故,,
可得的分布列为
(2)的取值为,
当时,即第一次就取到合格品,故;
当时,即第一次取到次品,第二次取到合格品,故;
当时,即第一、二次均取到次品,第三次取到合格品,故;
类似地,当时,即前次均取到次品,第次取到合格品,故.
故的分布列为
11.
答案：见解析
解析：解:(1)由频率分布直方图可知抽取的1000名市民年龄的平均数(岁).
设1000名市民年龄的中位数为,则,解得,
即这1000名市民年龄的中位数为55岁.
(2)由频率分布直方图可知这1000名市民中年龄在内的市民共有(人),所以关注智能办公的频率为.则从该市年龄在内的市民中随机抽取300人,这300人中关注智能办公的人数为.
故估计这300人中关注智能办公的人数为200.
(3)设在抽取的20名市民中,年龄在内的人数为,则服从二项分布.
由频率分布直方图可知年龄在内的频率为,所以,所以.
设.
若,则时,;若,则时,.
所以当时,最大,即当最大时,的值为7.
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