2021-2022学年黑龙江省哈尔滨117中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）（含解析）

(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨117中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
如图所示的几何体中，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
反比例函数的图象过二、四象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
将二次函数先上平移个单位，再向左平移个单位后的解析式是( )
A. B.
C. D.
如图，把绕点顺时针旋转得到，交于点，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
某电动自行车厂三月份的产量为辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为( )
A. B. C. D.
如图，内接于，已知半径为，，则( )
A. B. C. D.
如图，在中，点、、分别是边、、边上的点，且，，连结交于点，则下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
将数用科学记数法表示为______．
函数中，自变量的取值范围是______．
因式分解______．
计算的结果是______．
不等式组的解集为______．
扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是______度．
在名女生和名男生中选出两人当志愿者，恰好选中一名男生和一名女生的概率是______．
如图，矩形纸片中，，，把矩形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为______．
已知矩形中，点在边上，是以为一腰的等腰三角形，已知，，则______．
如图：已知四边形中，，，，若，，则线段的长是______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
先化简，再求值：，其中．
本小题分
如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中有线段和，点、、、均在小正方形的顶点上．
在方格纸中画出一个以为对角线的菱形，点在直线的下方，且点、都在小正方形的顶点上；
在方格纸中画出以为底边，面积为的等腰三角形，且点在小正方形的顶点上；
在、的条件下，连接，请直接写出线段的长．
本小题分
六十九中学为了解中考体育科目训练情况，从全校九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试把测试结果分为四个等级：级：优秀；级：良好；级：及格；级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
求本次抽样测试的学生人数是多少？
通过计算把图条形统计图补充完整；
我校九年级有学生名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数约有多少人？
本小题分
在四边形中，，，点为的中点，连接、，．
如图，求证：四边形为菱形；
如图，连接交于点，连接，若平分，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于面积的．
本小题分
某商品经销店欲购进、两种纪念品，用元购进的种纪念品与用元购进的种纪念品的数量相同，每件种纪念品的进价比种纪念品的进价贵元．
求、两种纪念品每件的进价分别为多少元？
若该商店种纪念品每件售价元，种纪念品每件售价元，这两种纪念品共购进件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于元，求种纪念品最多购进多少件？
本小题分
如图，已知：四边形是圆内接四边形，，，点在的延长线上，并且．
求证：；
求证：；
连接，若，，求线段的长．
本小题分
如图：在如图所示的平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点与点关于轴对称；
求直线的解析式；
如图，点在线段上，点在线段上，且，若点的横坐标为，三角形的面积为，求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
如图，在问的条件下，点是点关于轴的对称点，连接、，过点作的垂线，交于点，交轴于点，交于点，若：：，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则即可求出答案．
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方．解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则．
2.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：从上面看，底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形．
故选：．
根据俯视图的定义，即找到从上面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，利用俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象过二、四象限，
，
解得．
故选C．
由于反比例函数的图象过二、四象限，则，解不等式即可求出的取值范围．
本题主要考查了反比例函数的性质，熟记当反比例函数的图象位于二、四象限时是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，
中，，，，
．
．
故选：．
先根据勾股定理求出的长，再运用三角函数定义解答．
本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．同时考查了勾股定理．
6.【答案】
【解析】解：将二次函数先上平移个单位，再向左平移个单位后的解析式是：，即．
故选：．
直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移移规律是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：把绕点顺时针旋转后，得到，
，
而，
．
故选C．
由于把绕点顺时针旋转后，得到，那么根据旋转的旋转知道，而，然后根据三角形的内角和定理即可求解．
此题主要考查了旋转的定义和性质，同时也利用三角形的内角和定理，解题的关键是利用旋转得到．
8.【答案】
【解析】解：设四、五月份的月平均增长率为，根据题意得：
，
解得，不合题意，舍去，
则该厂四、五月份的月平均增长率为．
故选：．
设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是，五月份的产量是，据此列方程解答即可．
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是增长用“”，下降用“”．
9.【答案】
【解析】解：作直径，连接，如图，
为直径，
，
，
，
在中，，
设，，
，
即，
解得，
即的长为．
故选：．
作直径，连接，如图，利用圆周角定理得到，，再在中利用正切的定义得到，则可设，，利用勾股定理得到，所以，然后解方程即可．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
选项A不符合题意；
，
，
选项B不符合题意；
，
∽，∽，
，，
，
选项C不符合题意；
，
∽，
，
，
选项D符合题意；
故选：．
利用平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
根据分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：
先将二次根式化简即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
15.【答案】
【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：扇形的面积公式，
解得：，
又，
．
故答案为：．
根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
此题主要是利用扇形的面积公式先求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角．
17.【答案】
【解析】解：根据题意画树状图如下：
可能的结果有种，其中一男一女的结果有种，
恰好选中一名男生和一名女生的概率是．
故答案为：．
根据题意先画出树状图，得出可能的结果数和一男一女的结果数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】
【解析】解：由翻折可知，
，，
四边形为矩形，
，，，
，，
又，
≌，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
即．
故答案为：．
由翻折的性质可得，，进而可证≌，可得，设，则，在中，利用勾股定理可求得的值，即可得出答案．
本题考查翻折的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
19.【答案】或
【解析】解：根据题意，
当时，过点作于点．
，
，，
，，
；
当时，过点作于点．
，，
，
．
故答案为：或．
分和两种情况，利用三角函数的定义求解．
本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
负值舍去，
，
故答案为：．
先证是等边三角形，可得，由等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求解．
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，求出是解题的关键．
21.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法．
22.【答案】解：菱形如图所示．
如图所示．，三角形的高
．
【解析】画出的垂直平分线即可解决问题；
画出线段的垂直平分线，再根据高的值即可确定点的位置；
利用勾股定理即可解决问题；
本题考查勾股定理、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：本次抽样测试的学生人数是人；
级的人数为人，
；
人
答：不及格人．
【解析】根据级的人数除以级所占的百分比，可得答案；
根据抽测人数乘以及所占的比例，可得答案；
利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以级所占的比例，可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】证明，为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形．
，，，
理由如下：
∽
，
，
，且点是中点
，
四边形是菱形，
，，且
≌

【解析】由题意可得，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题；
由题意可证∽，由相似三角形的性质可得，，由三角形的中线性质和菱形性质可求解．
本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
25.【答案】解：设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则．
答：种纪念品每件的进价为元，种纪念品每件的进价为元．
设种纪念品购进件，则种纪念品购进件，
根据题意得：，
解得：．
答：种纪念品最多购进件．
【解析】设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元，由题意：用元购进的种纪念品与用元购进的种纪念品的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
设种纪念品购进件，则种纪念品购进件，根据总利润单件利润购买数量结合这两种纪念品全部售出后总获利不低于元，列出一元一次不等式，解之取其内的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】证明：连接，
，，
，
，
，
，，
，
，
；
证明：，
，
，
，
又，
，
；
解：连接，，
，，
为的垂直平分线，
，
，
又，，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
设，
，
，舍去，
．
【解析】连接，由三角形内角和定理及圆周角定理可证明，则可得出结论；
证明，由等腰三角形的判定可得出结论；
连接，，证明∽，由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
27.【答案】解：在中，令得，令得，
，，
点与点关于轴对称，
，
设直线的解析式为，将代入得：
，
解得，
直线的解析式为；
如图：
过作轴于，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
点的横坐标为，
，，
，，
，
，，
，，
三角形的面积；
如图，
作于，作于，
设，则，
，
可知四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
设，
同理可证得：∽，
，
，
，
由得，
，
，
同理可证得：∽，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
同理证得：∽∽，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】求出、两点坐标，从而求得的解析式；
过作轴于，求出和的长，从而求得的长，进而求得结果；
作于，作于，设，表示出出，根据∽，表示出，设，证得∽，，由求得，证得∽，从而得出，，根据得出，设，，根据∽∽可求得，进一步求得结果．
本题考查了求一次函数解析式，等腰直角三角形及正方形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
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