人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 7.5《正态分布》教学设计
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| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 7.5《正态分布》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 13:33:53 | ||
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文档简介
《正态分布》教学设计
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
正态曲线与正态分布 学习理解能力 观察记忆 概括理解 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 发现创新 直观想象 数学抽象 逻辑推理 【考查内容】 描述正态分布随机变量的概率分布,对正态分布的均值、方差进行考查【考查题型】 选择题、填空题、解答题
原则 数学建模 数学运算
一、本节内容分析
本节课内容是在学生学习了离散型随机变量及其分布的基础上进行研究的,正态分布的随机变量是一种连续型随机变量,这让学生对随机变量由离散到连续有一个深入的认识,离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数(曲线)描述,同时本节课内容反映了数形结合的思想方法,以及统计思维与确定性思维的差异.学生通过本节内容的学习,逐步理解并掌握如何从离散到连续用函数的观点解决随机变量分布问题.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.正态曲线与正态分布 2.原则 直观想象 数学抽象 数学建模 数学运算 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
学生通过前面的学习已经掌握了概率与统计的基础知识,能够画出所给数据的频率分布直方图和频率分布折线图,并根据频率分布直方图和折线图能初步分析数据的分布规律,已经初步具有利用数形结合的思想去解决一些问题的能力,这些为正态分布的学习奠定了基础.但学生从离散到连续的认知上会有一定的障碍,因此本课采用小组探究合作的教学方法.
但是,本节课需要学生由离散型随机变量到连续型随机变量的思维转化,对学生来说是一个挑战,如何认识正态曲线的特点及其表示的意义也是学生学习的难点.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.正态分布的相关概念
2.正态曲线的性质
3.正态分布的实际应用及原则
【教学目标设计】
1.了解正态分布密度曲线的来源,理解正态密度函数,观察正态曲线的特征,归纳正态曲线的特征,并结合概率与面积的关系来计算服从正态分布的随机变量的概率.
2.了解正态分布的均值与方差掌握利用原则解决一些与正态分布有关的概率问题.
3.培养和发展学生观察、探究、归纳的能力,体验和领悟数形结合、函数与方程的数学思想.
【教学策略设计】
本节课在现实生活中有着广泛的应用,基于学生思维从具体形象到抽象逻辑的特点,通过画频率分布直方图和频率分布折线图,直观了解正态曲线,而正态曲线的特点及其所表示的意义需要在教师的指导下小组讨论交流,因此为了更好的让学生认识正态曲线的特点及其所表示的意义,本节课采用实物模型和信息技术相结合的手段,应用问题探究式教学方法,给不同认知基础的学生提供了自主探索、动手实践、合作交流的学习方式,使学生主动地学习,发挥学生的主动性,由于正态分布是生活中常见的概率分布模型.因此在本节课中,教师要主要通过实例让学生掌握原则,并能利用原则解决生活中的实际问题.
【教学方法建议】
情境教学法、探究教学法,还有___________________________________________________
【教学重点难点】
重点
1.利用实际问题的直方图,了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义.
2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质及意义.
3.掌握原则.
难点
会根据正态曲线的性质求服从正态分布的随机变量在某一区间的概率.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
正态分布在统计学中是很重要的分布.我们知道,离散型随机变量最多取可列个不同值,它等于某一特定实数的概率可能大于0,人们感兴趣的是它取某些特定值的概率,即感兴趣的是其分布列;连续型随机变量的取值往往充满整个区间甚至整个实轴,但取任何一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量.所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数(曲线)描述.
师:首先我们看一个具体的问题.
【情景设置】
引入正态分布
问题:自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用表示这种误差,则是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食盐,获得误差(单位:g)的观测值如下:
-0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9
-2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2
0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4
2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1
2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5
3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6
-4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7
-0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6
2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9
-2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9
【设计意图】
学生没有接触过正态曲线,对正态曲线的来源也没有认识,因此,教师向学生出示实际生活问题,激发学生学习探究的兴趣.
教学精讲
探究1 正态分布的相关概念
师:同学们思考一下:(1)如何描述这100个样本误差数据的分布
(2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布
【教师首先引导学生复习频率分布直方图的知识,接着学生思考后回答问题(1),教师及时肯定】
【以学论教】
复习频率分布直方图的目的是为了突破正态曲线这个难点,让学生明白正态曲线的来历,搞清知识发生发展的线索,也有利于学生对抽象正态曲线意义的理解.
生:(1)用频率分布直方图描述这100个样本误差数据的分布.
师:回答正确,接下我们一起作出这个频率分布直方图.
【师生互动,共同作出频率分布直方图】
师:观察图形可知误差观测值有正有负,并大致对称地分布在X=0的两侧,而且小误差比大误差出现得更频繁.
师:下面我们继续研究随着样本数据量越来越大,让组距不断缩小,观察频率分布直方图和曲线图有什么特点
【情境设置】
频率分布直方图
【教师借助几何画板演示,引导学生思考当试验次数增加或组距不断缩小时,曲线图有什么变化特点】
生:随着试验次数增加或组距不断缩小,频率分布直方图的轮廓越来越稳定.曲线图的形状也越来越光滑,越来越像一条曲线.
师:这条曲线就像我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东西,我们称之为钟形曲线.
同学们请观察上面的图(1)和图(2),我们根据频率与概率的关系,可以用图(2)中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的面积为1)来描述食盐质量误差的概率分布.例如,任取一袋食盐,误差落在内概率,能否用图(2)中的阴影部分面积表示
生:可以.
师:对于这条钟形曲线,早在十八世纪30年代.棣莫弗、凯特莱等数学家经过十几年的努力,应用求导、对数、无穷级数、积分、变量代换等数学方法就推导出这条钟形曲线就是函数的图象,其中和为参数,我们称的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.
【以学定教】
对高中生学生来说,正态密度函数的推导是十分困难的,因此,从数学史的角度介绍正态密度曲线的解析式,既使学生易于接受又渗透了数学文化.
【要点知识】
正态曲线
1.正态密度函数解析式
我们称(其中为参数)为正态密度函数解析式.
2.正态密度曲线
我们把正态密度函数的图象称为正态密度曲线,简称正态曲线.
【教学预设 效果生成】
经过前面一番活动,动手实践,数据汇总,分析加工,对数据加以解释,知识的形成水到渠成.
师:通过上图的观察,我们可以很显然的得到,对于任意的,它的图像在轴的上方,且轴和曲线之间的区域面积为1.那么,随机变量在什么情况下是服从正态分布的
【深度学习】
在前面所学概念的基础上,引导学生进行深度学习,探索知识的形成过程.
【学生自主阅读教材,教师出示多媒体,师生互动】
【要点知识】
正态分布
若随机变量的概率分布密度函数为,则称随机变量服从正态分布,记为,特别地,当时,称随机变量服从标准正态分布.
若,则如图所示,取值不超过的概率为图中区域的面积,而为区域的面积.
【少教精教】
用学过的知识来探究新问题,引导学生参与概念形成的全过程,驱动学生思维的自觉性和主动性,让学生亲身感受知识的发生过程,既反映了数学的发展规律,又符合学生的思维特征和认知规律.
师:根据前面对随机变量的特点的分析,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.
在现实生活中,长度测量误差,某一地区同龄人群的身高、体重、肺活量等,一般都服从正态分布.正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际中,正态分布在概率和统计中占有重要的地位.因此,在对概念有初步认识的基础上,就需要我们提升认知,探究正态曲线的特点.
【概括理解能力】
引导学生理解正态分布存在于生活中哪些事件,提升概括理解能力.
探究2 正态曲线的性质
师:正态曲线一方面是函数的图象,另一方面正态曲线是刻画随机变量的概率分布规律,因此我们可以从函数和概率两个方面探究正态曲线的特点.
观察的解析式及概率的性质,说一说正态曲线都有哪些特点
【整体设计 分步落实】
本部分引导学生在整体了解概念的基础上,结合函数解析式和概率的性质,逐步探索曲线的特点.
【学生可以从函数的定义域、最值和对称性等方面探究曲线的特点,也可以利用图形计算器,画出函数的图象探究曲线的特点.
为了调动学生的探究热情,采用组内合作,分组讨论后采用小组选派代表的方式交流探究成果,教师补充后展示多媒体】
【归纳总结】
正态曲线的特点
1.曲线是单峰的,它关于直线对称.
2.曲线在处达到峰值.
3.当无限增大时,曲线无限接近轴.
师:正态分布中的参数和可以用样本的均值和标准差去估计,正态分布完全由和确定,如何研究两个参数对正态曲线的影响 具体如何操作
【整体学习】
整体认识正态曲线的特点,以及表达式中各个参数,各项的含义.
【需要控制变量,让(或)固定,作出(或)取不同值的图象,观察正态曲线的变化】
师:观察图象,我们可以得出下面的结论.
【归纳总结】
正态曲线中参数对曲线的影响
由于函数的图象可由的图象平移得到.因此,在参数取固定值时,正态曲线的位置由确定,且随着的变化而沿轴平移,如图(1)所示.
当取定值时,因为曲线的峰值与成反比,而且对任意的,曲线与轴围成的面积总为1.因此,当较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量的分布比较集中;当较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量的分布比较分散,如图(2)所示.
师:观察图可以发现,参数反映了正态分布的集中位置,反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度.实际上,我们有若,则.
【发现创新能力】
使用绘图软件,改变参数,得出不同的图象,并对这些变化作出解释,就是发现创新的过程.提升发现创新能力.
探究3 正态分布的实际应用及原则
师:以上是本节课的主要内容,在实际问题中,参数可以分别用样本均值和样本标准差来估计.下面看几道例题.
【少教精教】
有了前面所做的图象作为基础,学生通过小组合作交流基本可以探究出曲线参数对曲线形状的影响,所以本部分采用少教精教的教学策略.
【典型例题】
正态分布的实际应用
例1 李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时,样本方差为36;骑自行车平均用时,样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布.
(1)估计的分布中的参数;
(2)根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出和的分布密度曲线;
(3)如果某天有可用,李明应该选择哪种交通工具 如果某天只有可用,又应该选择哪种交通工具 请说明理由.
【教师分析后出示多媒体进行讲解,学生认真听课】
师分析:对于第(1)问,正态分布由参数和完全确定,根据正态分布参数的意义,可以分别用样本均值和样本标准差来估计.对于第(3)问,这是一个概率决策问题,首先要明确决策的准则,在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具;然后结合图形,根据概率的表示,比较概率的大小,作出判断.
【综合问题解决能力】
引导学生对所学知识进行综合应用,鼓励自主学习,提升综合问题解决能力.
【典例解析】
正态分布的实际应用
解:(1)随机变量的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量的样本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数,用样本标准差估计参数,可以得.
(2)和的分布密度曲线如图所示.
(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由图可知.34).所以,如果有可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;如果只有可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车.
师:下面我们来看正态分布的原则.
【以学定教】
从学生的学习实际情况出发,发现问题及时指导解决,由学习情况引领教学.
【要点知识】
原则
假设,可以证明:对给定的是一个只与有关的定值.特别地,
上述结果可用图表示.
由此看到,尽管正态变量的取值范围是,但在一次试验中,的取值几乎总是落在区间内,而在此区间以外取值的概率大约只有.通常认为这种情况几乎不可能发生.
【意义学习】
提出问题,让学生自己思考,正态分布这一数学规律的研究对现实生活中有什么指导意义,体会数学知识的现实意义.
师:在实际应用中,通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值,这在统计学中称为原则.
师:请看下一道例题.
【典型例题】
原则的应用
例2 设,试求:
(1);(2);(3).
生解:因为,所以,
(1).
【简单问题解决能力】
给出一个正态分布,求出它的某个样本空间的概率,理论到实践所学概率公式得到了应用,提升简单问题解决能力.
(2)因为,
所以
.
(3)
【分析计算能力】
公式学会了,理论明白了,实践中熟练运用公式对数据进行计算.在解题过程中提升分析计算能力和数学运算核心素养.
师:这节课就上到这里,我们来总结一下本节课所学知识.
【课堂小结】
正态分布
【设计意图】
师生共同总结本节课的重点知识,用结构图的形式呈现本节课的知识要点,有利于提升学生对知识的记忆和理解能力.
教学评价
正态分布是很重要的一种分布,要注意生活中哪些事件符合正态分布规律,学生在学习过程中,动手收集数据,加工数据,得出知识结论.在应用过程中,注意把握正态密度函数式中的各参数的含义,会运用分析计算解决实际问题.
应用所学知识,完成下题:
设在一次数学考试中,某班学生的分数,且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.
思路:将转化为,然后利用对称性及概率和为1,得到,进而求出的值,同理可解得的值.
解析:由题意知,,
,
(人即及格人数约为
即(人
即130分以上的人数约为.
【设计意图】
教师引导学生整理本节课所学知识,通过评价练习体会知识的应用过程,在解决问题的过程中提升简单问题解决能力,锻炼数学运算、逻辑推理核心素养.
教学反思
本节课充分利用实例、多媒体,在梯度问题的驱动下促进学生在自主探究、合作交流中经历了概念、性质形成的全过程,同时借助于动画演示,使学生亲历直观感知、观察发现、归纳总结的历程,促进学生主动参与、积极思考,提高了对自己的学习过程的认知,发展了认知能力,达到了“授之以渔”的目的.由于探究层次分明,问题梯度设计合理、有效,使得本节的教学条理清晰,学生活动充分,体现出教师是教学的设计者,学生是课堂的主人.同时观察与归纳的有机结合,使得本节课的教学张弛有度,有助于学生学习策略的提升.
【以学论教】
课上以学生活动探究的方式来探究正态分布,采用课内和课外相结合的方式布置作业,给学生提供一个自主发展的空间,强调学生知识的获得不是简单的重复和迁移,而是学生不断地构建和完善.
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必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
正态曲线与正态分布 学习理解能力 观察记忆 概括理解 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 发现创新 直观想象 数学抽象 逻辑推理 【考查内容】 描述正态分布随机变量的概率分布,对正态分布的均值、方差进行考查【考查题型】 选择题、填空题、解答题
原则 数学建模 数学运算
一、本节内容分析
本节课内容是在学生学习了离散型随机变量及其分布的基础上进行研究的,正态分布的随机变量是一种连续型随机变量,这让学生对随机变量由离散到连续有一个深入的认识,离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数(曲线)描述,同时本节课内容反映了数形结合的思想方法,以及统计思维与确定性思维的差异.学生通过本节内容的学习,逐步理解并掌握如何从离散到连续用函数的观点解决随机变量分布问题.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.正态曲线与正态分布 2.原则 直观想象 数学抽象 数学建模 数学运算 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
学生通过前面的学习已经掌握了概率与统计的基础知识,能够画出所给数据的频率分布直方图和频率分布折线图,并根据频率分布直方图和折线图能初步分析数据的分布规律,已经初步具有利用数形结合的思想去解决一些问题的能力,这些为正态分布的学习奠定了基础.但学生从离散到连续的认知上会有一定的障碍,因此本课采用小组探究合作的教学方法.
但是,本节课需要学生由离散型随机变量到连续型随机变量的思维转化,对学生来说是一个挑战,如何认识正态曲线的特点及其表示的意义也是学生学习的难点.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.正态分布的相关概念
2.正态曲线的性质
3.正态分布的实际应用及原则
【教学目标设计】
1.了解正态分布密度曲线的来源,理解正态密度函数,观察正态曲线的特征,归纳正态曲线的特征,并结合概率与面积的关系来计算服从正态分布的随机变量的概率.
2.了解正态分布的均值与方差掌握利用原则解决一些与正态分布有关的概率问题.
3.培养和发展学生观察、探究、归纳的能力,体验和领悟数形结合、函数与方程的数学思想.
【教学策略设计】
本节课在现实生活中有着广泛的应用,基于学生思维从具体形象到抽象逻辑的特点,通过画频率分布直方图和频率分布折线图,直观了解正态曲线,而正态曲线的特点及其所表示的意义需要在教师的指导下小组讨论交流,因此为了更好的让学生认识正态曲线的特点及其所表示的意义,本节课采用实物模型和信息技术相结合的手段,应用问题探究式教学方法,给不同认知基础的学生提供了自主探索、动手实践、合作交流的学习方式,使学生主动地学习,发挥学生的主动性,由于正态分布是生活中常见的概率分布模型.因此在本节课中,教师要主要通过实例让学生掌握原则,并能利用原则解决生活中的实际问题.
【教学方法建议】
情境教学法、探究教学法,还有___________________________________________________
【教学重点难点】
重点
1.利用实际问题的直方图,了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义.
2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质及意义.
3.掌握原则.
难点
会根据正态曲线的性质求服从正态分布的随机变量在某一区间的概率.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
正态分布在统计学中是很重要的分布.我们知道,离散型随机变量最多取可列个不同值,它等于某一特定实数的概率可能大于0,人们感兴趣的是它取某些特定值的概率,即感兴趣的是其分布列;连续型随机变量的取值往往充满整个区间甚至整个实轴,但取任何一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量.所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数(曲线)描述.
师:首先我们看一个具体的问题.
【情景设置】
引入正态分布
问题:自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用表示这种误差,则是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食盐,获得误差(单位:g)的观测值如下:
-0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9
-2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2
0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4
2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1
2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5
3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6
-4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7
-0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6
2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9
-2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9
【设计意图】
学生没有接触过正态曲线,对正态曲线的来源也没有认识,因此,教师向学生出示实际生活问题,激发学生学习探究的兴趣.
教学精讲
探究1 正态分布的相关概念
师:同学们思考一下:(1)如何描述这100个样本误差数据的分布
(2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布
【教师首先引导学生复习频率分布直方图的知识,接着学生思考后回答问题(1),教师及时肯定】
【以学论教】
复习频率分布直方图的目的是为了突破正态曲线这个难点,让学生明白正态曲线的来历,搞清知识发生发展的线索,也有利于学生对抽象正态曲线意义的理解.
生:(1)用频率分布直方图描述这100个样本误差数据的分布.
师:回答正确,接下我们一起作出这个频率分布直方图.
【师生互动,共同作出频率分布直方图】
师:观察图形可知误差观测值有正有负,并大致对称地分布在X=0的两侧,而且小误差比大误差出现得更频繁.
师:下面我们继续研究随着样本数据量越来越大,让组距不断缩小,观察频率分布直方图和曲线图有什么特点
【情境设置】
频率分布直方图
【教师借助几何画板演示,引导学生思考当试验次数增加或组距不断缩小时,曲线图有什么变化特点】
生:随着试验次数增加或组距不断缩小,频率分布直方图的轮廓越来越稳定.曲线图的形状也越来越光滑,越来越像一条曲线.
师:这条曲线就像我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东西,我们称之为钟形曲线.
同学们请观察上面的图(1)和图(2),我们根据频率与概率的关系,可以用图(2)中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的面积为1)来描述食盐质量误差的概率分布.例如,任取一袋食盐,误差落在内概率,能否用图(2)中的阴影部分面积表示
生:可以.
师:对于这条钟形曲线,早在十八世纪30年代.棣莫弗、凯特莱等数学家经过十几年的努力,应用求导、对数、无穷级数、积分、变量代换等数学方法就推导出这条钟形曲线就是函数的图象,其中和为参数,我们称的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.
【以学定教】
对高中生学生来说,正态密度函数的推导是十分困难的,因此,从数学史的角度介绍正态密度曲线的解析式,既使学生易于接受又渗透了数学文化.
【要点知识】
正态曲线
1.正态密度函数解析式
我们称(其中为参数)为正态密度函数解析式.
2.正态密度曲线
我们把正态密度函数的图象称为正态密度曲线,简称正态曲线.
【教学预设 效果生成】
经过前面一番活动,动手实践,数据汇总,分析加工,对数据加以解释,知识的形成水到渠成.
师:通过上图的观察,我们可以很显然的得到,对于任意的,它的图像在轴的上方,且轴和曲线之间的区域面积为1.那么,随机变量在什么情况下是服从正态分布的
【深度学习】
在前面所学概念的基础上,引导学生进行深度学习,探索知识的形成过程.
【学生自主阅读教材,教师出示多媒体,师生互动】
【要点知识】
正态分布
若随机变量的概率分布密度函数为,则称随机变量服从正态分布,记为,特别地,当时,称随机变量服从标准正态分布.
若,则如图所示,取值不超过的概率为图中区域的面积,而为区域的面积.
【少教精教】
用学过的知识来探究新问题,引导学生参与概念形成的全过程,驱动学生思维的自觉性和主动性,让学生亲身感受知识的发生过程,既反映了数学的发展规律,又符合学生的思维特征和认知规律.
师:根据前面对随机变量的特点的分析,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.
在现实生活中,长度测量误差,某一地区同龄人群的身高、体重、肺活量等,一般都服从正态分布.正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际中,正态分布在概率和统计中占有重要的地位.因此,在对概念有初步认识的基础上,就需要我们提升认知,探究正态曲线的特点.
【概括理解能力】
引导学生理解正态分布存在于生活中哪些事件,提升概括理解能力.
探究2 正态曲线的性质
师:正态曲线一方面是函数的图象,另一方面正态曲线是刻画随机变量的概率分布规律,因此我们可以从函数和概率两个方面探究正态曲线的特点.
观察的解析式及概率的性质,说一说正态曲线都有哪些特点
【整体设计 分步落实】
本部分引导学生在整体了解概念的基础上,结合函数解析式和概率的性质,逐步探索曲线的特点.
【学生可以从函数的定义域、最值和对称性等方面探究曲线的特点,也可以利用图形计算器,画出函数的图象探究曲线的特点.
为了调动学生的探究热情,采用组内合作,分组讨论后采用小组选派代表的方式交流探究成果,教师补充后展示多媒体】
【归纳总结】
正态曲线的特点
1.曲线是单峰的,它关于直线对称.
2.曲线在处达到峰值.
3.当无限增大时,曲线无限接近轴.
师:正态分布中的参数和可以用样本的均值和标准差去估计,正态分布完全由和确定,如何研究两个参数对正态曲线的影响 具体如何操作
【整体学习】
整体认识正态曲线的特点,以及表达式中各个参数,各项的含义.
【需要控制变量,让(或)固定,作出(或)取不同值的图象,观察正态曲线的变化】
师:观察图象,我们可以得出下面的结论.
【归纳总结】
正态曲线中参数对曲线的影响
由于函数的图象可由的图象平移得到.因此,在参数取固定值时,正态曲线的位置由确定,且随着的变化而沿轴平移,如图(1)所示.
当取定值时,因为曲线的峰值与成反比,而且对任意的,曲线与轴围成的面积总为1.因此,当较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量的分布比较集中;当较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量的分布比较分散,如图(2)所示.
师:观察图可以发现,参数反映了正态分布的集中位置,反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度.实际上,我们有若,则.
【发现创新能力】
使用绘图软件,改变参数,得出不同的图象,并对这些变化作出解释,就是发现创新的过程.提升发现创新能力.
探究3 正态分布的实际应用及原则
师:以上是本节课的主要内容,在实际问题中,参数可以分别用样本均值和样本标准差来估计.下面看几道例题.
【少教精教】
有了前面所做的图象作为基础,学生通过小组合作交流基本可以探究出曲线参数对曲线形状的影响,所以本部分采用少教精教的教学策略.
【典型例题】
正态分布的实际应用
例1 李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时,样本方差为36;骑自行车平均用时,样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布.
(1)估计的分布中的参数;
(2)根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出和的分布密度曲线;
(3)如果某天有可用,李明应该选择哪种交通工具 如果某天只有可用,又应该选择哪种交通工具 请说明理由.
【教师分析后出示多媒体进行讲解,学生认真听课】
师分析:对于第(1)问,正态分布由参数和完全确定,根据正态分布参数的意义,可以分别用样本均值和样本标准差来估计.对于第(3)问,这是一个概率决策问题,首先要明确决策的准则,在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具;然后结合图形,根据概率的表示,比较概率的大小,作出判断.
【综合问题解决能力】
引导学生对所学知识进行综合应用,鼓励自主学习,提升综合问题解决能力.
【典例解析】
正态分布的实际应用
解:(1)随机变量的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量的样本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数,用样本标准差估计参数,可以得.
(2)和的分布密度曲线如图所示.
(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由图可知.34).所以,如果有可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;如果只有可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车.
师:下面我们来看正态分布的原则.
【以学定教】
从学生的学习实际情况出发,发现问题及时指导解决,由学习情况引领教学.
【要点知识】
原则
假设,可以证明:对给定的是一个只与有关的定值.特别地,
上述结果可用图表示.
由此看到,尽管正态变量的取值范围是,但在一次试验中,的取值几乎总是落在区间内,而在此区间以外取值的概率大约只有.通常认为这种情况几乎不可能发生.
【意义学习】
提出问题,让学生自己思考,正态分布这一数学规律的研究对现实生活中有什么指导意义,体会数学知识的现实意义.
师:在实际应用中,通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值,这在统计学中称为原则.
师:请看下一道例题.
【典型例题】
原则的应用
例2 设,试求:
(1);(2);(3).
生解:因为,所以,
(1).
【简单问题解决能力】
给出一个正态分布,求出它的某个样本空间的概率,理论到实践所学概率公式得到了应用,提升简单问题解决能力.
(2)因为,
所以
.
(3)
【分析计算能力】
公式学会了,理论明白了,实践中熟练运用公式对数据进行计算.在解题过程中提升分析计算能力和数学运算核心素养.
师:这节课就上到这里,我们来总结一下本节课所学知识.
【课堂小结】
正态分布
【设计意图】
师生共同总结本节课的重点知识,用结构图的形式呈现本节课的知识要点,有利于提升学生对知识的记忆和理解能力.
教学评价
正态分布是很重要的一种分布,要注意生活中哪些事件符合正态分布规律,学生在学习过程中,动手收集数据,加工数据,得出知识结论.在应用过程中,注意把握正态密度函数式中的各参数的含义,会运用分析计算解决实际问题.
应用所学知识,完成下题:
设在一次数学考试中,某班学生的分数,且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.
思路:将转化为,然后利用对称性及概率和为1,得到,进而求出的值,同理可解得的值.
解析:由题意知,,
,
(人即及格人数约为
即(人
即130分以上的人数约为.
【设计意图】
教师引导学生整理本节课所学知识,通过评价练习体会知识的应用过程,在解决问题的过程中提升简单问题解决能力,锻炼数学运算、逻辑推理核心素养.
教学反思
本节课充分利用实例、多媒体,在梯度问题的驱动下促进学生在自主探究、合作交流中经历了概念、性质形成的全过程,同时借助于动画演示,使学生亲历直观感知、观察发现、归纳总结的历程,促进学生主动参与、积极思考,提高了对自己的学习过程的认知,发展了认知能力,达到了“授之以渔”的目的.由于探究层次分明,问题梯度设计合理、有效,使得本节的教学条理清晰,学生活动充分,体现出教师是教学的设计者,学生是课堂的主人.同时观察与归纳的有机结合,使得本节课的教学张弛有度,有助于学生学习策略的提升.
【以学论教】
课上以学生活动探究的方式来探究正态分布,采用课内和课外相结合的方式布置作业,给学生提供一个自主发展的空间,强调学生知识的获得不是简单的重复和迁移,而是学生不断地构建和完善.
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