人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 7.5《正态分布》教学设计

《正态分布》教学设计
一、情境引入
现实中,除了前面已经研究过的离散型随机变量外,还有大量问题中的随机变量不是离散的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量.下面我们看一个具体问题.
问题 在某城市一个有红绿灯的路口,红灯持续40s,绿灯持续60s,交替循环.小明骑自行车来到这个路口,求他遇到绿灯的概率.
师生活动:
教师提出问题:由直观容易得出“遇到绿灯”的概率为0.6,但如何用概率模型来描述这个问题呢
学生思考、讨论、交流.
在学生讨论的同时,教师可以适当引导:由于来到路口的时刻具有随机性,这个时刻位于红绿灯一个循环周期内,如图所示.
设点的坐标为0,点的坐标为40,点的坐标为100,用分别表示红灯和绿灯持续的时间,小明来到路口的时刻落在线段上.当且仅当落在线段上时,事件“遇到绿灯”发生.因此“遇到绿灯”的概率可用线段的长度与线段的长度之比来刻画.
师:这节课我们就来一起学习正态分布.
设计意图:通过具体的问题情境,引发学生积极思考并参与互动.在教学中,教师可以先对问题进行分析,提供解决问题的思路,帮助学生建立对连续型随机变量的直观认识,为理解正态分布作铺垫.
二、新知探究
探究1 自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用表示这种误差,则是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食盐,获得误差(单位:)的观测值如下:
(1)如何描述这100个样本误差数据的分布
(2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布
教师提出问题:根据我们已学的统计知识,你能用频率分布直方图描述这组误差数据的分布吗 引导学生动手画频率分布直方图.
如图,可以用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1.
学生画出频率分布直方图后,教师引导学生观察分析.
观察图形可知:误差观测值有正有负,并大致对称地分布在的两侧,而且小误差比大误差出现得更频繁.
随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线,如下图所示.
在教学中,教师可以利用信息技术工具产生服从正态分布的随机数,对不同样本量的数据,画频率分布直方图并观察图形的变化,由频率分布直方图过渡到正态密度曲线.
根据频率与概率的关系,可用上图中的钟形曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布.
设计意图:引导学生思考,使学生领悟描述连续型随机变量概率分布的思想方法.
问题 由函数知识可知,上图中的钟形曲线是一个函数.那么,这个函数是否存在解析式呢
师生活动:教师介绍得到正态密度函数的过程.
早在1734年,法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时,已提出了正态密度函数的形式,但当时只是作为一个数学表达式.直到德国数学家高斯提出“正态误差”的理论后,正态密度函数才取得“概率分布”的身份.因此,人们也称正态分布为高斯分布.
教师指出刻画随机误差分布的解析式:
.其中为参数.
显然,对任意的,它的图象在轴的上方.可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如下图所示.若随机变量的概率分布密度函数为,则称随机变量服从正态分布,记为.特别地,当时,称随机变量服从标准正态分布.
教师指出:若,则如上图所示,取值不超过的概率为图中区域的面积,而为区域的面积.
正态分布在概率和统计中占有重要地位,它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中,很多随机变量都服从或近似服从正态分布.例如,某些物理量的测量误差,某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等,一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量,自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容),某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等,一般都近似服从正态分布.
探究2 观察正态曲线及相应的密度函数,你能发现正态曲线的哪些特点
师生活动:
教师提出问题,让学生思考.学生观察正态曲线及相应的正态密度函数,说出自己的发现,教师评价完善.
师生共同归纳总结:
由的密度函数及图象可以发现,正态曲线有以下特点:
(1)曲线是单峰的,它关于直线对称;
(2)曲线在处达到峰值;
(3)当无限增大时,曲线无限接近轴.
设计意图:介绍正态密度函数的数学史料,让学生了解正态分布的概念;观察正态曲线及相应的正态密度函数,了解正态曲线的特点.发展学生的数学抽象与直观想象核心素养.
探究3 一个正态分布由参数和完全确定,这两个参数对正态曲线的形状有何影响 它们反映正态分布的哪些特征
师生活动:
教师提出问题,学生认真思考后发表自己的看法,教师评价完善.
师生共同归纳总结:
(1)当参数取固定值时,正态曲线的位置由确定,且随着的变化而沿轴平移,如图(1)所示.
(2)当取定值时,因为正态曲线的峰值与成反比,而且对任意的,正态曲线与轴之间的区域的面积总为1.因此,当较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,表示随机变量的分布比较集中;当较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”,表示随机变量的分布比较分散,如图(2)所示.
(3)观察图(1)和图(2)可以发现,参数反映了正态分布的集中位置,反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度.
实际上,我们有
若,则.
设计意图:通过观察正态密度曲线的特征,了解正态密度函数中参数的变化对曲线的影响,以及服从正态分布的变量的均值和方差.
正态分布的原则:
假设,可以证明:对给定的是一个只与有关的定值,如下图所示.
特别地,
,
,
.
尽管正态变量的取值范围是,但在一次试验中,的取值几乎总是落在区间内,而在此区间以外取值的概率大约只有,通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值,这在统计学中称为原则.
三、典例剖析
例1 李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时,样本方差为36;骑自行车平均用时,样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布.
(1)估计的分布中的参数;
(2)根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出和的分布密度曲线;
(3)如果某天有可用,李明应选择哪种交通工具 如果某天只有可用,又应该选择哪种交通工具 请说明理由.
师生活动:
教师可以设计以下问题串引导学生思考:
(1)如何确定变量和的具体分布
正态分布由两个参数完全确定,在实际问题中,可以分别用样本均值和样本方差估计参数.
(2)已知正态分布的两个参数值,如何画密度曲线的草图
根据参数的值确定对称轴,根据参数的值确定曲线的峰值,再根据总面积为原则及轴为渐近线,大致画出曲线.手绘曲线的草图,虽然不太精确,但这个过程有利于进一步认识曲线的特征及参数意义.
(3)在选择交通工具的决策中,应依据什么准则
在这个问题中,决策准则是选择能按时到校概率大的交通工具.
(4)在有可用时,要比较哪两个事件的概率 这两个概率如何表示
在有可用时,比较和的大小,这两个概率分别可用两条曲线下方及直线左方的面积表示.
分析:对于第(1)问,正态分布由参数和完全确定,根据正态分布参数的意义,可以分别用样本均值和样本标准差来估计.对于第(3)问,这是一个概率决策问题,首先要明确决策的准则,在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具;然后结合图形,根据概率的表示,比较概率的大小,作出判断.
解:(1)随机变量的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量的样本均值为34,样本标准差为2.
用样本均值估计参数,用样本标准差估计参数,可以得到.
(2)和的分布密度曲线如图所示.
(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由图可知,.所以,如果有可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;如果只有可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车.
例2 假设某地区高二学生的身高(单位:)近似服从正态分布.在该地区任意抽取一名高二学生,求下列事件的概率:
(1).
(2).
师生活动:
教师展示例题,找两名同学板演,其他同学独立完成,学生完成后根据学生完成情况进行适当的点评与指导.
解:由题意可知.
(1)因为均值为170,且标准差为10,而10,且,所以.
(2)由(1)以及正态曲线的对称性可知
,由概率加法公式可知.
服从正态分布的随机变量在某个区间内取值的概率的求解策略:
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的区域的面积为1的特点.
(2)熟记的值.
(3)注意概率值的求解转化:
①;
②;
③若,则.
跟踪训练 某自动流水线包装的食盐,每袋食盐质量(单位:g)近似服从正态分布.该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐,称得其质量均大于.
(1)求正常情况下,任意抽取1包食盐,质量大于的概率.
(2)检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理 请说明理由.
解:(1)由于,所以根据正态分布的对称性与原则可知.
(2)检测员的判断是合理的.由(1)可知,随机抽取两包检查,质量都小于的概率几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现异常,检测员的判断是合理的.
设计意图:通过完成例题和跟踪训练,在具体的问题情境中,深化对正态分布的理解,发展学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象核心素养.
四、达标检测
1.在某项测量中,测量结果服从正态分布,.若在内取值的概率约为,则在(0,1)内取值的概率约为( )
A.0.8
B.0.4
C.0.2
D.0.1
2.某县农民月均收入服从正态分布,则此县农民月均收入在500元到520元之间的人数的百分比约为_______.
3.某种零件的尺寸(单位:)服从正态分布,,随机选择一个零件,这个零件不属于这个尺寸的概率约为_______.
4.设在一次数学考试中,某班学生的分数,).已知试卷满分为150分,这个班有学生54人.请你估计这个班在这次数学考试中130分以上的人数.
答案
1.B(点拨:因为服从正态分布,所以曲线的对称轴是直线.因为,所以.所以在区间内取值的概率约为.)
(点拨:因为月收入服从正态分布,,所以.所以月均收入在内的概率约为.由正态曲线的对称性可知,此县农民月均收入在500到520元之间的人数的百分比约为.)
3.0.0455(点拨:由题意可知的取值落在区间内,即在内取值的概率约为,故零件尺寸不属于区间内的概率约为5.)
4.根据题意得,
所以,
即130分以上的人数约为9.
设计意图:通过完成达标检测,巩固本节所学知识,发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模核心素养.
五、课堂总结
正态分布的研究路径:构建正态分布模型—正态分布的定义—概率的表示—正态密度曲线的特征—参数的意义—简单应用.
设计意图:通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力.
六、布置作业
教材第87页习题7.5第1~4题.
板书设计:
7.5 正态分布 1.连续型随机变量 2.正态密度函数 3.正态密度曲线(正态曲线) 4.正态分布 5.标准正态分布 6.正态曲线的特点 7.参数与对正态曲线形状的影响、反应正态分布的特征 8.正态分布的原则 例1 例2
教学研讨:
数学知识间存在着联系,本案例的教学设计充分注意了新旧知识间的联系,这样有助于学生理解与记忆前后所学的知识,从而更好地运用.要提高学生的数学思维能力,需要学生自己动口、动手、动脑,以及教师的正确引导.因此,在课堂教学设计中,尽量把试验交给学生做,让他们感悟函数模型的生成,并时刻注重引导和调动学生的主观能动性,创造条件并给足时间让学生“讲、演、练”,充分而有效地发挥学生的主体作用,让学生在课堂上享有主动权,拥有积极思考和参与教学活动的时间和空间,让学生在相互讨论和启发中活动,在活动中学习,在活动中思考,在活动中发展教师应是活动的引导者,组织者,参与者.
为使课堂生动有趣,教学效果好,教学中可以将信息技术与课程内容进行整合,用计算机呈现以往教学中难以呈现的教学内容.增大课堂容量,使学生对重点内容的掌握更深入.
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响.我们要尽最大可能实现信息技术与课程内容的整合,这样有利于学生认识数学的本质.
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