人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《随机变量及其分布》单元测试（二）（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《随机变量及其分布》单元测试（二）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 765.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 15:35:30 | ||
图片预览
文档简介
《随机变量及其分布》单元测试（二）
一、选择题
1.正态总体的概率密度函数为,则总体的平均数和标准差分别为( )
A.0,8
B.0,4
C.0,2
D.0,
2.将三颗骰子各掷一次,记事件“三个点数都不同”,“至少出现一个6点”,则条件概率分别是( )
A.
B.
C.
D.
3.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为,各成员的支付方式相互独立.设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,,则( )
A.
B.
C.
D.
4.一批产品(数量很大)中,次品率为,现连续地抽取4次,其次品数记为,则等于( )
A.
B.
C.
D.
5.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,有放回地每次摸一个球,定义数列如果是数列的前项和,那么的概率是( )
A.
B.
C.
D.
6.在某项测量中,测量结果服从正态分布.若在内取值的概率为,则在内取值的概率为( )
A.
B.
C.
D.
7.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,先后出现点数分别为,记事件为.事件为,则概率( )
A.
B.
C.
D.
8.已知离散型随机变量的分布列为
1 2 3
b a
则的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
9.(多选题)某厂生产的零件外直径.今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为和,则可认为( )
A.上午生产情况正常
B.下午生产情况正常
C.上午生产情况异常
D.下午生产情况均异常
10.(多选题)若随机变量,其中,下列等式成立的有( )
A.
B.
C.
D.
11.(多选题)设随机变量的分布列如下,其中.则下列说法正确的是( )
0 1 2
a
A.
B.
C.先增大后减小
D.有最小值
12.已知随机变量服从正态分布,则下列选项正确的是( )
(参考数值:随机变量服从正态分布,则
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.已知随机变量,且,则________.
14.设随机变量的概率分布列如下表所示.
1 2 3
a
其中成等差数列.若随机变量的均值为,则的方差为________.
15.已知随机变量.若,则________.
16.为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布.已知成绩117以上(含117)的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩不超过82的概率为________;如果成绩大于135分的为特别优秀,那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有________人.
参考数据:,
三、解答题
17.甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则,甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答,然后由乙回答剩余3题,每人答对其中2题就停止答题,即闯关成功.已知在6道备选题中,甲能答对其中的4道题,乙答对每道题的概率都是.
(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率;
(2)甲、乙两人只有一人被选中,且不能安排在后两天值日.
18.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取取后不放回,直到两人中有一人取到白球即终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
(1)求袋中原有白球的个数;
(2)求取球次数的分布列和数学期望.
19.一个口装中有大小形状完全相同的个乒乓球,其中有1个乒乓球上标有数字0,有2个乒乓球上标有数字1,其余的乒乓球上均标有数字2.若从这个口袋中随机地摸出2个乒兵球,恰有一个乒乓球上标有数字1的概率是.
(1)求的值;
(2)从口袋中随机地摸出2个乒乓球.设表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之和,求的分布列.
20.某市在创建“全国文明卫生城市”的过程中,为了调查市民对创建“全国文明卫生城市”工作的了解情况,进行了一次知识问卷调查（一位市民只能参加一次).通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.
组别 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
频数 25 150 200 250 225 100 50
(1)该市把得分不低于80分的市民称为“热心市民”,若以频率估计概率,以样本估计总体,求从该市的市民中任意抽取一位,抽到“热心市民”的概率;
(2)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分服从正态分布近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示),请用正态分布的知识求;
(3)在(2)的条件下,该市为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于的可以获赠1次随机话费;
②每次获赠送的随机话费和对应的概率为:
赠送的随机话费(单位:元) 30 60
概率 0.75 0.25
现有市民甲要参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列与数学期望.
参考数据与公式:
,若,则
①;②;
③.
21.根据统计调查数据显示:某企业某种产品的质量指标值服从正态分布,从该企业生产的这种产品(数量很大)中抽取100件,测量这100件产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间内的频率之比为.
(1)求这100件产品质量指标值落在区间内的频率;
(2)根据频率分布直方图求平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)若取这100件产品指标的平均值,从中任取3个,求至少有1个落在区间的概率.
参考数据:,若,
则.
22.某品牌布娃娃做促销活动:已知有50个布娃娃,其中一些布娃娃里面有奖品,参与者可以先在50个布娃娃中购买5个,看完5个布娃娃里面的结果再决定是否将剩下的布娃娃全部购买.设每个布娃娃有奖品的概率为,且各个布娃娃是否有奖品相互独立.
(1)记5个布娃娃中有1个有奖品的概率为,当时,取最大值,求;
(2)假如这5个布娃娃中恰有1个有奖品,以第(1)题中的作为的值.已知每次购买布娃娃需要2元,若有中奖,则中奖者每次可得奖金15元.以最终奖金的期望作为决策依据,是否该买下剩下所有的45个布娃娃;
(3)若已知50件布娃娃中有10个布娃娃有奖品,从这堆布娃娃中任意购买5个,若抽到个有奖品可能性最大,求的值(为正整数).
答案解析
一、选择题
1.答案:C
解析:因为正态总体的概率密度函数为,其中表示总体的平均数和标准差,由已知正态总体的概率密度函数为,所以的值分别为0,2.
2.答案:A
解析:根据条件概率的含义,其含义为在发生的情况下,发生的概率,即在“至少出现一个6点”的情况下,“三个点数都不相同”的概率.∵“至少出现一个6点”的情况数目为,“三个点数都不相同”则只有一个6点,共(种),∴.其含义为在发生的情况下,发生的概率,即在“三个点数都不相同”的情况下,“至少出现一个6点"的概率,∴.
3.答案:B
解析:由题意知,该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布,所以,所以或.
由,得,即,所以,所以.
4.答案:D
解析:由题意知,一批产品数量很大,其中次品率为,现连续地抽取4次,可以看成是4重伯努利试验,可得随机变量服从二项分布,即,所以.
5.答案:B
解析:由题意知说明共摸球七次,只有两次摸到红球.由于每次摸球的结果数之间没有影响,摸到红球的概率是,摸到白球的概率是,次只有两次摸到红球的概率是.
6.答案:A
解析:因为服从正态分布,所以正态曲线的对称轴是直线.又在内取值的概率为,根据正态曲线的性质,则在内取值的概率为.
7.答案:C
解析:根据题意,若事件为,则事件共有30个样本点,所以事件的概率为,而事件为同时发生,有26个样本点,所以同时发生的概率为.因此,在事件发生的情况下,发生的概率为.
8.答案:C
解析:∵,.又.
.对称轴为,∴.
9.答案:BC
解析:由题意知,该零件外直径的平均值为10,方差为,故标准差为,故零件外直径在区间(10即之间为正常.故上午生产情况异常,下午生产情况正常.
10.答案:AC
解析:∵随机变量服从标准正态分布,∴正态曲线关于对称,
∵,根据曲线的对称性可得,所以A正确;
,所以错误;
所以C正确;
或,所以错误.
11.答案:AC
解析:由题意可知,即,所以正确;
,所以B不正确;,所以在上函数是增函数,在上函数是减函数,所以先增大后减小、无最小值,所以C正确;D不正确.
12.答案:ABC
解析:∵随机变量服从正态分布,∴正态曲线关于对称,
根据题意可得,,,
,故C正确;
,故错误.而都正确.
二、填空题
13.答案:8
解析:由,得,∴
14.答案:
解析:因为成等差数列,则,所以,
又因为随机变量的均值且,,所以的方差为.
15.答案:14400
解析:∵随机变量服从,,解得:.又,
16.答案:0.16 10
解析:由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布,得.
,.
设本次数学考试成绩特别优秀的有人,
.又,
,
三、解答题
17.答案:见解析
解析:(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A,B,则,
.所以,甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
.
(2)由题意,知X的可能取值是1,2.
,(或).
则X的分布列为
1 2
.
18.答案:见解析
解析:(1)设袋中原有个白球,由题意知,
所以.解得,舍去).即袋中原有3个白球.
(2)由题意,的可能取值为.
;
;.
所以,取球次数的分布列为
1 2 3 4 5
所以.
19.答案:见解析
解析:(1)由题可得,即,解得或(舍).
(2)的所有可能取值为.
则;;
;.
故的分布列为
1 2 3 4
20.答案:见解析
解析:(1)设从该市的市民中任意抽取一位,抽到“热心市民”为事件,则.
(2),
∴,∴,,
,即;
(3)由题意知,,的可能取值为,
∴;;
;.
∴X的分布列为
30 60 90 120
21.答案:见解析
解析:(1)据频率分布直方图列方程求出的值,然后求出落在区间内的频率即可;
(2)直接根据频率分布直方图求平均数率即可;
(3)根据条件可得,然后求出78),进一步求出至少1个落在区间的概率.
解:(1)设在区间内频率为,则有,
∴,即落在区间内的频率为.
(2).
(3)依题意有,即为,
∴.则至少有一个落在区间内的概率.
22.答案:见解析
解析:(1)由题意可得,∴,
令得.当时,.时,.
∴的最大值点为.因此当时,取最大值.
(2)由(1)可知,
设剩下45个布娃娃中有个奖品,获利为元,则.又.
因此.因此应该买下剩下所有的45个布娃娃.
(3)设抽到个有奖品的可能性为,则,
根据题意可得即且,
化简得解得,从而.
2 / 14
一、选择题
1.正态总体的概率密度函数为,则总体的平均数和标准差分别为( )
A.0,8
B.0,4
C.0,2
D.0,
2.将三颗骰子各掷一次,记事件“三个点数都不同”,“至少出现一个6点”,则条件概率分别是( )
A.
B.
C.
D.
3.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为,各成员的支付方式相互独立.设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,,则( )
A.
B.
C.
D.
4.一批产品(数量很大)中,次品率为,现连续地抽取4次,其次品数记为,则等于( )
A.
B.
C.
D.
5.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,有放回地每次摸一个球,定义数列如果是数列的前项和,那么的概率是( )
A.
B.
C.
D.
6.在某项测量中,测量结果服从正态分布.若在内取值的概率为,则在内取值的概率为( )
A.
B.
C.
D.
7.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,先后出现点数分别为,记事件为.事件为,则概率( )
A.
B.
C.
D.
8.已知离散型随机变量的分布列为
1 2 3
b a
则的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
9.(多选题)某厂生产的零件外直径.今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为和,则可认为( )
A.上午生产情况正常
B.下午生产情况正常
C.上午生产情况异常
D.下午生产情况均异常
10.(多选题)若随机变量,其中,下列等式成立的有( )
A.
B.
C.
D.
11.(多选题)设随机变量的分布列如下,其中.则下列说法正确的是( )
0 1 2
a
A.
B.
C.先增大后减小
D.有最小值
12.已知随机变量服从正态分布,则下列选项正确的是( )
(参考数值:随机变量服从正态分布,则
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.已知随机变量,且,则________.
14.设随机变量的概率分布列如下表所示.
1 2 3
a
其中成等差数列.若随机变量的均值为,则的方差为________.
15.已知随机变量.若,则________.
16.为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布.已知成绩117以上(含117)的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩不超过82的概率为________;如果成绩大于135分的为特别优秀,那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有________人.
参考数据:,
三、解答题
17.甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则,甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答,然后由乙回答剩余3题,每人答对其中2题就停止答题,即闯关成功.已知在6道备选题中,甲能答对其中的4道题,乙答对每道题的概率都是.
(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率;
(2)甲、乙两人只有一人被选中,且不能安排在后两天值日.
18.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取取后不放回,直到两人中有一人取到白球即终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
(1)求袋中原有白球的个数;
(2)求取球次数的分布列和数学期望.
19.一个口装中有大小形状完全相同的个乒乓球,其中有1个乒乓球上标有数字0,有2个乒乓球上标有数字1,其余的乒乓球上均标有数字2.若从这个口袋中随机地摸出2个乒兵球,恰有一个乒乓球上标有数字1的概率是.
(1)求的值;
(2)从口袋中随机地摸出2个乒乓球.设表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之和,求的分布列.
20.某市在创建“全国文明卫生城市”的过程中,为了调查市民对创建“全国文明卫生城市”工作的了解情况,进行了一次知识问卷调查（一位市民只能参加一次).通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.
组别 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
频数 25 150 200 250 225 100 50
(1)该市把得分不低于80分的市民称为“热心市民”,若以频率估计概率,以样本估计总体,求从该市的市民中任意抽取一位,抽到“热心市民”的概率;
(2)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分服从正态分布近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示),请用正态分布的知识求;
(3)在(2)的条件下,该市为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于的可以获赠1次随机话费;
②每次获赠送的随机话费和对应的概率为:
赠送的随机话费(单位:元) 30 60
概率 0.75 0.25
现有市民甲要参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列与数学期望.
参考数据与公式:
,若,则
①;②;
③.
21.根据统计调查数据显示:某企业某种产品的质量指标值服从正态分布,从该企业生产的这种产品(数量很大)中抽取100件,测量这100件产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间内的频率之比为.
(1)求这100件产品质量指标值落在区间内的频率;
(2)根据频率分布直方图求平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)若取这100件产品指标的平均值,从中任取3个,求至少有1个落在区间的概率.
参考数据:,若,
则.
22.某品牌布娃娃做促销活动:已知有50个布娃娃,其中一些布娃娃里面有奖品,参与者可以先在50个布娃娃中购买5个,看完5个布娃娃里面的结果再决定是否将剩下的布娃娃全部购买.设每个布娃娃有奖品的概率为,且各个布娃娃是否有奖品相互独立.
(1)记5个布娃娃中有1个有奖品的概率为,当时,取最大值,求;
(2)假如这5个布娃娃中恰有1个有奖品,以第(1)题中的作为的值.已知每次购买布娃娃需要2元,若有中奖,则中奖者每次可得奖金15元.以最终奖金的期望作为决策依据,是否该买下剩下所有的45个布娃娃;
(3)若已知50件布娃娃中有10个布娃娃有奖品,从这堆布娃娃中任意购买5个,若抽到个有奖品可能性最大,求的值(为正整数).
答案解析
一、选择题
1.答案:C
解析:因为正态总体的概率密度函数为,其中表示总体的平均数和标准差,由已知正态总体的概率密度函数为,所以的值分别为0,2.
2.答案:A
解析:根据条件概率的含义,其含义为在发生的情况下,发生的概率,即在“至少出现一个6点”的情况下,“三个点数都不相同”的概率.∵“至少出现一个6点”的情况数目为,“三个点数都不相同”则只有一个6点,共(种),∴.其含义为在发生的情况下,发生的概率,即在“三个点数都不相同”的情况下,“至少出现一个6点"的概率,∴.
3.答案:B
解析:由题意知,该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布,所以,所以或.
由,得,即,所以,所以.
4.答案:D
解析:由题意知,一批产品数量很大,其中次品率为,现连续地抽取4次,可以看成是4重伯努利试验,可得随机变量服从二项分布,即,所以.
5.答案:B
解析:由题意知说明共摸球七次,只有两次摸到红球.由于每次摸球的结果数之间没有影响,摸到红球的概率是,摸到白球的概率是,次只有两次摸到红球的概率是.
6.答案:A
解析:因为服从正态分布,所以正态曲线的对称轴是直线.又在内取值的概率为,根据正态曲线的性质,则在内取值的概率为.
7.答案:C
解析:根据题意,若事件为,则事件共有30个样本点,所以事件的概率为,而事件为同时发生,有26个样本点,所以同时发生的概率为.因此,在事件发生的情况下,发生的概率为.
8.答案:C
解析:∵,.又.
.对称轴为,∴.
9.答案:BC
解析:由题意知,该零件外直径的平均值为10,方差为,故标准差为,故零件外直径在区间(10即之间为正常.故上午生产情况异常,下午生产情况正常.
10.答案:AC
解析:∵随机变量服从标准正态分布,∴正态曲线关于对称,
∵,根据曲线的对称性可得,所以A正确;
,所以错误;
所以C正确;
或,所以错误.
11.答案:AC
解析:由题意可知,即,所以正确;
,所以B不正确;,所以在上函数是增函数,在上函数是减函数,所以先增大后减小、无最小值,所以C正确;D不正确.
12.答案:ABC
解析:∵随机变量服从正态分布,∴正态曲线关于对称,
根据题意可得,,,
,故C正确;
,故错误.而都正确.
二、填空题
13.答案:8
解析:由,得,∴
14.答案:
解析:因为成等差数列,则,所以,
又因为随机变量的均值且,,所以的方差为.
15.答案:14400
解析:∵随机变量服从,,解得:.又,
16.答案:0.16 10
解析:由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布,得.
,.
设本次数学考试成绩特别优秀的有人,
.又,
,
三、解答题
17.答案:见解析
解析:(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A,B,则,
.所以,甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
.
(2)由题意,知X的可能取值是1,2.
,(或).
则X的分布列为
1 2
.
18.答案:见解析
解析:(1)设袋中原有个白球,由题意知,
所以.解得,舍去).即袋中原有3个白球.
(2)由题意,的可能取值为.
;
;.
所以,取球次数的分布列为
1 2 3 4 5
所以.
19.答案:见解析
解析:(1)由题可得,即,解得或(舍).
(2)的所有可能取值为.
则;;
;.
故的分布列为
1 2 3 4
20.答案:见解析
解析:(1)设从该市的市民中任意抽取一位,抽到“热心市民”为事件,则.
(2),
∴,∴,,
,即;
(3)由题意知,,的可能取值为,
∴;;
;.
∴X的分布列为
30 60 90 120
21.答案:见解析
解析:(1)据频率分布直方图列方程求出的值,然后求出落在区间内的频率即可;
(2)直接根据频率分布直方图求平均数率即可;
(3)根据条件可得,然后求出78),进一步求出至少1个落在区间的概率.
解:(1)设在区间内频率为,则有,
∴,即落在区间内的频率为.
(2).
(3)依题意有,即为,
∴.则至少有一个落在区间内的概率.
22.答案:见解析
解析:(1)由题意可得,∴,
令得.当时,.时,.
∴的最大值点为.因此当时,取最大值.
(2)由(1)可知,
设剩下45个布娃娃中有个奖品,获利为元,则.又.
因此.因此应该买下剩下所有的45个布娃娃.
(3)设抽到个有奖品的可能性为,则,
根据题意可得即且,
化简得解得,从而.
2 / 14