人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《随机变量及其分布》单元测试（一）（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《随机变量及其分布》单元测试（一）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 871.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 15:32:47 | ||
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文档简介
《随机变量及其分布》单元测试（一）
一、选择题
1.设随机变量,则( )
A.0
B.1
C.
D.
2.若事件与相互独立,,则( )
A.
B.
C.
D.
3.已知随机变量满足,且,则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知随机变量,其正态分布密度曲线如图所示,若在边长为1的正方形内随机取一点,则该点恰好取自黑色区域的概率为( )
附:若随机变量,则,.
A.0.1359
B.0.6587
C.0.7282
D.0.8641
5.5月份的高二测考试中,学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的学生约有9450人,如果某学生在这次考试中数学成绩为108分,那么他的数学成绩大约排在该区的名次是( )
附:若,则,.
A.1599
B.1700
C.4500
D.8000
6.已知随机变量满足.若,则( )
A.
B.
C.
D.
7.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经后天八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成( 表示一根阳线,——表示一根阴线),从八卦中任取两卦,记事件A=“两卦的六根线中恰有两根阳线”,B=“有一卦恰有一根阳线”,则( )
A.
B.
C.
D.
8.由1,2组成的有重复数字的三位数中,若用表示事件“十位数字为1”,用表示事件“百位数字为1”,则( )
A.
B.
C.
D.
9.(多选题)已知甲罐中有四个相同的小球,标号为,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”,事件“抽取的两个小球标号之积大于8”,则( )
A.事件发生的概率为
B.事件发生的概率为
C.事件发生的概率为
D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
10.(多选题)已知事件,且,则下列结论正确的是( )
A.如果,那么
B.如果与互斥,那么
C.如果与相互独立,那么
D.如果与相互独立,那么
11.(多选题)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献;某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高(单位:)服从正态分布,其密度曲线函数为,则下列说法正确的是( )
A.该地水稻的平均株高为
B.该地水稻株高的方差为10
C.随机测量一株水稻,其株高在以上的概率比株高在以下的概率大
D.随机测量一株水稻,其株高在和在(单位:)的概率一样大
12.(多选题)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期,某农户利用精准扶贫政策,贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和,则下列选项正确的是( )
附:若随机变量服从正态分布,则.
A.若红玫瑰日销售量范围在的概率是,则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D.白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.3413
二、填空题
13.已知,且_________.
14.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为,货车中途停车修理的概率为,客车为.今有一辆汽车中途停车修理,该汽车是货车的概率是_________.
15.已知随机变量服从正态分布,且,则的值为_________.
16.设随机变量的概率分布列为,则_________.
三、解答题
17.某班包括男生甲和女生乙在内共有6名班干部,其中男生4人,女生2人,从中任选3人参加义务劳动.
(1)求男生甲或女生乙被选中的概率;
(2)设“男生甲被选中”为事件,“女生乙被选中”为事件,求和.
18.抽奖游戏规则如下:一个口袋中装有完全一样的8个球,其中4个球上写有数字“5”,另外4个球上写有数字“10”.
(1)每次摸出一个球,记下球上的数字后放回,求抽奖者四次摸球数字之和为30的概率;
(2)若抽奖者每交2元钱(抽奖成本)获得一次抽奖机会,每次摸出4个球,若4个球数字之和为20或40则中一等奖,奖励价值20元的商品一件;若4个球数字之和为25或35则中二等奖,奖励价值2元的商品一件;若4个球数字之和为30则不中奖.试求抽奖者收益（奖品价值抽奖成本）的期望.
19.一款小游戏的规则如下:每轮游戏要进行三次,每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球,3个白球的袋中随机摸出2个球.若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分;若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分;若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分(即获得分).
(1)设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为,求的分布列;
(2)玩过这款游戏的许多人发现,若干轮游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了,请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.
20.如下为简化的计划生育模型:每个家庭允许生男孩最多一个,即某一胎若为男孩,则不能再生下一胎,而女孩可以多个.为方便起见,此处约定每个家庭最多可生育3个小孩,即若第一胎或前两胎为女孩,则继续生,但若第三胎还是女孩,则不能再生了.设每一胎生男生女等可能,且各次生育相互独立.依据每个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定,令为某一家庭所生的女孩数,为此家庭所生的男孩数.
(1)求的分布列,并比较它们数学期望的大小;
(2)求概率,其中为的方差.
21.山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成,总分为750分.其中,统一高考科目为语文、数学、外语,自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目,语、数、外二科各占150分,选考科目成绩采用“赋分制”,即原始分数不直接用,而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案,将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为,共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为,.等级考试科目成绩计入考生总成绩时,将至等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到八个分数区间,得到考生的等级成绩.
举例说明:某同学化学学科原始分为65分,该学科等级的原始分分布区间为,则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为.
设该同学化学科的转换等级分为,求得.四舍五人后该同学化学学科赋分成绩为67.
(1)某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.
①若小明同学在这次考试中物理原始分为84分,等级为,其所在原始分分布区间为,求小明转换后的物理成绩;
(2)求物理原始分在区间的人数;
(3)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取4人,记表示这4人中等级成绩在区间的人数,求的分布列和数学期望.
附:若随机变量,则,
,
.
22.网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分.M外卖平台(以下简称M外卖)为了解其在全国各城市的业务发展情况,随机抽取了100个城市,调查了M外卖在今年2月份的订单情况,并制成如下频率分布表.
订单 [3,5) [5,7) [7,9) [9,11) [11,13)
频率 0.04 0.06 0.10 0.10 0.30
订单 [13,15) [15,17) [17,19) [19,21)
频率 0.20 0.10 0.08 0.02
(1)由频率分布表可以认为,今年2月份外卖在全国各城市的订单数(单位:万件)近似地服从正态分布,其中为样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表),为样本标准差,它的值已求出,约为,现把频率视为概率,解决下列问题:
①从全国各城市中随机抽取6个城市,记今年2月份外卖订单数在区间内的城市数为,求的数学期望(取整数);
②外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖,抢红包”的营销活动来提升业绩.据统计,开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平.现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层随机抽样的方法选出100个城市开展营销活动,若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元,但每件外卖订单平均需送出红包2元,则外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元
(2)现从全国开展外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市,若抽到个城市的外卖订单数在区间内的可能性最大,试求整数的值.
参考数据:若随机变量服从正态分布,则
,
,
.
答案解析
一、选择题
1.答案:C
解析:根据分布曲线的对称性得结论.因为随机变量,所以正态曲线关于对称,所以.
2.答案:C
解析:根据事件与相互独立,则,再由求解.因为事件与相互独立,且,所以,所以.
3.答案:C
解析:因为,所以,解得,
所以.
4.答案:D
解析:由题意根据正态曲线的性质求出概率,即可求解.因为.由题意.
5.答案:A
解析:考试的成绩服从正态分布,,∴
,即数学成绩高于108分的学生占总人数的.∴.
6.答案:C
解析:依题意可知:
0 1
0 1
由于,不妨设.故,
.
7.答案:B
解析:由八卦图可知,八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个,两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个,而事件所包含的情况可分为两种,即第一种是取到的两卦中一个为两阳一阴,另一个为全阴;第二种是两卦中均为一阳两阴;而事件中只包含后者,
即,事件的概率,所以.
8.答案:C
解析:∵,∴.
9.答案:BC
解析:从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,共包含(个)样本点;“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的样本点有(1,,,(4,6),共11个样本点;“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的样本点有,,共8个样本点;即事件是事件的子事件.因此事件发生的概率为,故A错;事件包含的样本点个数为11,所以事件发生的概率为,故正确;事件包含的样本点个数为8,所以事件发生的概率为,故C正确;从甲罐中抽到标号为2的小球,包含的样本点为,,共5个样本点,故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为,即错误.
10.答案:BD
解析:如果,那么,故选项错误;如果与互斥,那么,故选项正确;如果与相互独立,那么,故C选项错误;如果与相互独立,那么,,故选项正确.
11.答案:AC
解析:,故,故A正确B错误;
,故C正确;根据正态分布的对称性知,故错误.
12.答案:ABD
解析:正确;利用越小越集中,30小于正确,C不正确;正确.
二、填空题
13.答案:117
解析:∵,且,
∴.
14.答案:0.8
解析:设表示一辆汽车中途停车修理,表示该车是货车,表示该车是客车,则.由贝叶斯公式有
15.答案:0.26
解析:因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线的对称轴为.
所以.
所以.
16.答案:
解析:∵所有事件发生的概率之和为1,即
.
三、解答题
17.答案:见解析
解析:(1)从6人中任选3人,选法共有(种),其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为,故男生甲或女生乙被选中的概率为.
(2)由题知,.又,,所以.
18.答案:见解析
解析:(1)由题意,每次摸球写有数字“5”的概率为.
四次摸球数字之和为30,只能是两次摸到写有数字“5”,另两次写有数字“10”.设为4次摸球中写有数字“5”的次数,则,所以抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为.
(2)由题意,抽奖者获得的收益可取18元、0元、元.从8个球中任取4个球的结果数为,其中恰好有个球写有数字“5”的结果数为,所以从8个球中任取4个球,其中恰好个球写有数字“”的概率为,
所以,
,
.
因此,随机变量的分布列为
18 0
P
所以.
19.答案:见解析
解析:(1)每次游戏,出现“两个都是红球”的概率为
可能的取值为
,,
,,
所以的分布列为
0 1 2 3
(2)设每轮游戏得分为,由(1)知,的分布列为
20 200
的数学期望为.这表明,获得分数的期望为负.因此,多次游戏之后大多数人的分数减少了.
20.答案:见解析
解析:(1)已知的取值为,对应取值的概率分别为,,
则的分布列为
0 1 2 3
类似地,的取值为,对应取值的概率分别为,
,则的分布列为
0 1
由的分布列可得它们的期望分别为
,,因此.
(2),
故
21.答案:见解析
解析:(1)①设小明转换后的物理等级分为,
求得.小明转换后的物理成绩为83分.
②因为物理考试原始分基本服从正态分布,
所以72)
.所以物理原始分在区间的人数为.
(2)由题意得,随机抽取1人,其等级成绩在区间,内的概率为,随机抽取4人,则.随机抽取4人,则.,
,,
,.
的分布列为
0 1 2 3 4
数学期望.
22.答案:见解析
解析:(1)①由频率分布表可得,样本平均数为
,
所以,因此
.由题意,可得,所以的数学期望为.
②由分层随机抽样知,这100个城市中每月订单数在区间内的有(个),则每月订单数在区间内的有(个).若不开展营销活动,则一个月的利润为(万元),若开展促销活动,则一个月的利润为 (万元),因此外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利100万元.
(2)因为.
即随机抽取1个城市的外卖订单数在区间,内的概率为,
则从全国开展外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市,抽到个城市的外卖订单数在区间内的概率为,为使若抽到个城市的外卖订单数在区间内的可能性最大,只需
即
解得,则,又为整数,所以.
1 / 15
一、选择题
1.设随机变量,则( )
A.0
B.1
C.
D.
2.若事件与相互独立,,则( )
A.
B.
C.
D.
3.已知随机变量满足,且,则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知随机变量,其正态分布密度曲线如图所示,若在边长为1的正方形内随机取一点,则该点恰好取自黑色区域的概率为( )
附:若随机变量,则,.
A.0.1359
B.0.6587
C.0.7282
D.0.8641
5.5月份的高二测考试中,学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的学生约有9450人,如果某学生在这次考试中数学成绩为108分,那么他的数学成绩大约排在该区的名次是( )
附:若,则,.
A.1599
B.1700
C.4500
D.8000
6.已知随机变量满足.若,则( )
A.
B.
C.
D.
7.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经后天八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成( 表示一根阳线,——表示一根阴线),从八卦中任取两卦,记事件A=“两卦的六根线中恰有两根阳线”,B=“有一卦恰有一根阳线”,则( )
A.
B.
C.
D.
8.由1,2组成的有重复数字的三位数中,若用表示事件“十位数字为1”,用表示事件“百位数字为1”,则( )
A.
B.
C.
D.
9.(多选题)已知甲罐中有四个相同的小球,标号为,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”,事件“抽取的两个小球标号之积大于8”,则( )
A.事件发生的概率为
B.事件发生的概率为
C.事件发生的概率为
D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
10.(多选题)已知事件,且,则下列结论正确的是( )
A.如果,那么
B.如果与互斥,那么
C.如果与相互独立,那么
D.如果与相互独立,那么
11.(多选题)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献;某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高(单位:)服从正态分布,其密度曲线函数为,则下列说法正确的是( )
A.该地水稻的平均株高为
B.该地水稻株高的方差为10
C.随机测量一株水稻,其株高在以上的概率比株高在以下的概率大
D.随机测量一株水稻,其株高在和在(单位:)的概率一样大
12.(多选题)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期,某农户利用精准扶贫政策,贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和,则下列选项正确的是( )
附:若随机变量服从正态分布,则.
A.若红玫瑰日销售量范围在的概率是,则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D.白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.3413
二、填空题
13.已知,且_________.
14.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为,货车中途停车修理的概率为,客车为.今有一辆汽车中途停车修理,该汽车是货车的概率是_________.
15.已知随机变量服从正态分布,且,则的值为_________.
16.设随机变量的概率分布列为,则_________.
三、解答题
17.某班包括男生甲和女生乙在内共有6名班干部,其中男生4人,女生2人,从中任选3人参加义务劳动.
(1)求男生甲或女生乙被选中的概率;
(2)设“男生甲被选中”为事件,“女生乙被选中”为事件,求和.
18.抽奖游戏规则如下:一个口袋中装有完全一样的8个球,其中4个球上写有数字“5”,另外4个球上写有数字“10”.
(1)每次摸出一个球,记下球上的数字后放回,求抽奖者四次摸球数字之和为30的概率;
(2)若抽奖者每交2元钱(抽奖成本)获得一次抽奖机会,每次摸出4个球,若4个球数字之和为20或40则中一等奖,奖励价值20元的商品一件;若4个球数字之和为25或35则中二等奖,奖励价值2元的商品一件;若4个球数字之和为30则不中奖.试求抽奖者收益（奖品价值抽奖成本）的期望.
19.一款小游戏的规则如下:每轮游戏要进行三次,每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球,3个白球的袋中随机摸出2个球.若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分;若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分;若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分(即获得分).
(1)设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为,求的分布列;
(2)玩过这款游戏的许多人发现,若干轮游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了,请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.
20.如下为简化的计划生育模型:每个家庭允许生男孩最多一个,即某一胎若为男孩,则不能再生下一胎,而女孩可以多个.为方便起见,此处约定每个家庭最多可生育3个小孩,即若第一胎或前两胎为女孩,则继续生,但若第三胎还是女孩,则不能再生了.设每一胎生男生女等可能,且各次生育相互独立.依据每个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定,令为某一家庭所生的女孩数,为此家庭所生的男孩数.
(1)求的分布列,并比较它们数学期望的大小;
(2)求概率,其中为的方差.
21.山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成,总分为750分.其中,统一高考科目为语文、数学、外语,自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目,语、数、外二科各占150分,选考科目成绩采用“赋分制”,即原始分数不直接用,而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案,将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为,共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为,.等级考试科目成绩计入考生总成绩时,将至等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到八个分数区间,得到考生的等级成绩.
举例说明:某同学化学学科原始分为65分,该学科等级的原始分分布区间为,则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为.
设该同学化学科的转换等级分为,求得.四舍五人后该同学化学学科赋分成绩为67.
(1)某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.
①若小明同学在这次考试中物理原始分为84分,等级为,其所在原始分分布区间为,求小明转换后的物理成绩;
(2)求物理原始分在区间的人数;
(3)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取4人,记表示这4人中等级成绩在区间的人数,求的分布列和数学期望.
附:若随机变量,则,
,
.
22.网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分.M外卖平台(以下简称M外卖)为了解其在全国各城市的业务发展情况,随机抽取了100个城市,调查了M外卖在今年2月份的订单情况,并制成如下频率分布表.
订单 [3,5) [5,7) [7,9) [9,11) [11,13)
频率 0.04 0.06 0.10 0.10 0.30
订单 [13,15) [15,17) [17,19) [19,21)
频率 0.20 0.10 0.08 0.02
(1)由频率分布表可以认为,今年2月份外卖在全国各城市的订单数(单位:万件)近似地服从正态分布,其中为样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表),为样本标准差,它的值已求出,约为,现把频率视为概率,解决下列问题:
①从全国各城市中随机抽取6个城市,记今年2月份外卖订单数在区间内的城市数为,求的数学期望(取整数);
②外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖,抢红包”的营销活动来提升业绩.据统计,开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平.现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层随机抽样的方法选出100个城市开展营销活动,若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元,但每件外卖订单平均需送出红包2元,则外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元
(2)现从全国开展外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市,若抽到个城市的外卖订单数在区间内的可能性最大,试求整数的值.
参考数据:若随机变量服从正态分布,则
,
,
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答案解析
一、选择题
1.答案:C
解析:根据分布曲线的对称性得结论.因为随机变量,所以正态曲线关于对称,所以.
2.答案:C
解析:根据事件与相互独立,则,再由求解.因为事件与相互独立,且,所以,所以.
3.答案:C
解析:因为,所以,解得,
所以.
4.答案:D
解析:由题意根据正态曲线的性质求出概率,即可求解.因为.由题意.
5.答案:A
解析:考试的成绩服从正态分布,,∴
,即数学成绩高于108分的学生占总人数的.∴.
6.答案:C
解析:依题意可知:
0 1
0 1
由于,不妨设.故,
.
7.答案:B
解析:由八卦图可知,八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个,两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个,而事件所包含的情况可分为两种,即第一种是取到的两卦中一个为两阳一阴,另一个为全阴;第二种是两卦中均为一阳两阴;而事件中只包含后者,
即,事件的概率,所以.
8.答案:C
解析:∵,∴.
9.答案:BC
解析:从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,共包含(个)样本点;“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的样本点有(1,,,(4,6),共11个样本点;“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的样本点有,,共8个样本点;即事件是事件的子事件.因此事件发生的概率为,故A错;事件包含的样本点个数为11,所以事件发生的概率为,故正确;事件包含的样本点个数为8,所以事件发生的概率为,故C正确;从甲罐中抽到标号为2的小球,包含的样本点为,,共5个样本点,故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为,即错误.
10.答案:BD
解析:如果,那么,故选项错误;如果与互斥,那么,故选项正确;如果与相互独立,那么,故C选项错误;如果与相互独立,那么,,故选项正确.
11.答案:AC
解析:,故,故A正确B错误;
,故C正确;根据正态分布的对称性知,故错误.
12.答案:ABD
解析:正确;利用越小越集中,30小于正确,C不正确;正确.
二、填空题
13.答案:117
解析:∵,且,
∴.
14.答案:0.8
解析:设表示一辆汽车中途停车修理,表示该车是货车,表示该车是客车,则.由贝叶斯公式有
15.答案:0.26
解析:因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线的对称轴为.
所以.
所以.
16.答案:
解析:∵所有事件发生的概率之和为1,即
.
三、解答题
17.答案:见解析
解析:(1)从6人中任选3人,选法共有(种),其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为,故男生甲或女生乙被选中的概率为.
(2)由题知,.又,,所以.
18.答案:见解析
解析:(1)由题意,每次摸球写有数字“5”的概率为.
四次摸球数字之和为30,只能是两次摸到写有数字“5”,另两次写有数字“10”.设为4次摸球中写有数字“5”的次数,则,所以抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为.
(2)由题意,抽奖者获得的收益可取18元、0元、元.从8个球中任取4个球的结果数为,其中恰好有个球写有数字“5”的结果数为,所以从8个球中任取4个球,其中恰好个球写有数字“”的概率为,
所以,
,
.
因此,随机变量的分布列为
18 0
P
所以.
19.答案:见解析
解析:(1)每次游戏,出现“两个都是红球”的概率为
可能的取值为
,,
,,
所以的分布列为
0 1 2 3
(2)设每轮游戏得分为,由(1)知,的分布列为
20 200
的数学期望为.这表明,获得分数的期望为负.因此,多次游戏之后大多数人的分数减少了.
20.答案:见解析
解析:(1)已知的取值为,对应取值的概率分别为,,
则的分布列为
0 1 2 3
类似地,的取值为,对应取值的概率分别为,
,则的分布列为
0 1
由的分布列可得它们的期望分别为
,,因此.
(2),
故
21.答案:见解析
解析:(1)①设小明转换后的物理等级分为,
求得.小明转换后的物理成绩为83分.
②因为物理考试原始分基本服从正态分布,
所以72)
.所以物理原始分在区间的人数为.
(2)由题意得,随机抽取1人,其等级成绩在区间,内的概率为,随机抽取4人,则.随机抽取4人,则.,
,,
,.
的分布列为
0 1 2 3 4
数学期望.
22.答案:见解析
解析:(1)①由频率分布表可得,样本平均数为
,
所以,因此
.由题意,可得,所以的数学期望为.
②由分层随机抽样知,这100个城市中每月订单数在区间内的有(个),则每月订单数在区间内的有(个).若不开展营销活动,则一个月的利润为(万元),若开展促销活动,则一个月的利润为 (万元),因此外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利100万元.
(2)因为.
即随机抽取1个城市的外卖订单数在区间,内的概率为,
则从全国开展外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市,抽到个城市的外卖订单数在区间内的概率为,为使若抽到个城市的外卖订单数在区间内的可能性最大,只需
即
解得,则,又为整数,所以.
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