数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念及通项公式（共26张ppt）

(共26张PPT)
4.3.1等比数列的概念及通项公式
人教A版（2019）
选择性必修第二册
知识回顾
特殊数列
等差数列
等比数列
概念
通项公式
前n项和公式
应用
数列
概念
表示
表格、图像、通项公式、递推公式
特殊化
类比
观察与思考
类比等差数列的研究，从运算的角度，观察下列数列有什么共同规律？
两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列：
①；②；.
2.《庄子 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”若把“一尺之棰”的长度看
成 “1”，那么从第1天起，各天得到的“棰”的长度依次是. ④
3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一
个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数是2，4，8，16，32，64，… ⑤
4. 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利
和分别是⑥
从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.
新知讲解
等比数列的概念
概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示.
符号语言
或
等比数列的递推公式
思考：等比数列中
(1)公比为什么不能等于？首项能等于吗？
(2)公比时是什么数列？有没有既是等比，又是等差的数列？
(3)数列是什么数列？
新知讲解
等比中项
与等差中项类似，如果在a 和中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项. 此时 .
概念辨析(对的打“A”,错的打“B”)
(1)若数列那么是等比数列. ()
(2)数列中，已知，，那么是等比数列. ()
(3)常数列一定为等比数列. ()
(4)任意两个非零常数都有等比中项. ()
成等比数列的充要条件. ( )
B
B
B
B
B
课堂练习
B
课堂练习
2.已知，，成等差数列，，，成等比数列，则______．
3.“”是“，，，成等比数列”的(@3@)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
B

合作探究
等比数列的通项公式
探究已知一个等比数列的首项为，公比为，试根据等比数列的定义推导它的通项公式？
又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.
方法1由等比数列的定义可得：
a2=a1q
a3=a2q = (a1q) q = a1q2，
a4=a3q = (a1q2) q =a1q3，
an=a1qn-1 ( n ≥2 ) .

则首项为a1，公比为q的等比数列{an}通项公式为
an=a1qn-1 (n∈)
不完全
归纳法
合作探究
等比数列的通项公式
探究已知一个等比数列的首项为，公比为，试根据等比数列的定义推导它的通项公式？
……
方法2由等比数列的定义得
n-1个
9
又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.
则首项为a1，公比为q的等比数列{an}通项公式为
an=a1qn-1 (n∈)
累乘法
新知讲解
首项为，公比为的等比数列的通项公式为
反之，任给指数函数且构成一个等比数列，其首项为，公比为．
类似于一次函数与等差数列的关系，
由可知，当q>0 且时的函数值，
例题讲解
等比数列的通项公式的应用
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.
解法1由 ，得
②的两边分别除以①的两边，得
即
当时，
当时，
因此，的第5项是24或-24.
解法2因为 是与的等比中项，
所以
所以
例题讲解
例2 已知等比数列的公比为q，试用的第m项表示 .
解：由题意，得
②的两边分别除以①的两边，得
所以
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
等比数列通项公式的推广
例题讲解
解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为
解方程组，得或
所以这个数列是20，40，80，96，112 或180，120，80，16，-48 .
例3 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
1（教材P31T5改编）已知数列是等比数列，下列说法错误的是（）
a3 , a5，a7 成等比数列
a1 , a3，a9 成等比数列
an , an+1，an+2 成等比数列
n>3时，an-3 , an ，an+3 成等比数列
课堂练习
B
②在等比数列中，若m+n=p+q（），则
①在等比数列中，当 m+n=2k（）时，；
拓展（等比数列的运算性质）
特别地，等比数列中，
课堂练习
2.已知是首项为1，公比为3的等比数列，则.
4.在等比数列中，，,,求.
3.如果，，，，成等比数列，那么
6.已知为等比数列,,,则(@4@)
A.B.C.D.
5.若，，求的值．
课堂总结
1. 等比数列的概念；
2.等比数列通项公式及其推广；
3. 等比中项；
4. 等比数列与指数函数的关系；
5.等比数列通项的性质.
例题讲解
例4 已知数列的首项 .
（1）若为等差数列，公差d=2，证明数列为等比数列；
（2）若等比数列，公比为 ，证明数列为等差数列.
证明：（1）由， d=2，得的通项公式为 .
设，则
又
所以，是以27为首项，9为公比的等比数列.
例题讲解
证明：（2）由， ，得
两边取以3为底的对数，得
所以
又24
所以，是首项为1，公差为-2的等差数列.
例4 已知数列的首项 .
（1）若为等差数列，公差d=2，证明数列为等比数列；
（2）若等比数列，公比为 ，证明数列为等差数列.
方法总结
证明数列是等比数列的常用的方法
1.定义法：(为常数且)或(为常数且)
为等比数列.
2.等比中项法：为等比数列.
课堂练习
练习1.在数列中，若，且 . 证明：数列是等比数列.
证明：[定义法]∵，∴
又∵，
∴.
∴数列是首项为，公比为2等比数列.
课堂练习
练习1.在数列中，若，且 . 证明：数列是等比数列.
证明：[等比中项法]∵，∴
又∵，∴.
∴.
即,,成等比数列，
∴数列是等比数列.
课堂练习
2.已知数列的前项和，求证：是等比数列，并求出通项公式.
证明：∵∴
∴.
∴
又∵.
又由知，知
∴，∴是以为首项，为公比的等比数列.
其通项公式.
例题讲解
等比数列的通项公式在实际问题中的应用
例5 用10 000 元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，
则是等比数列，首项，公比q=1+0.400% ，
所以
所以，12个月后的利息为（元）
例题讲解
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列，
则也是一个等比数列，首项，公比为1+r，
于是
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元.
解不等式，得
所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
例5 用10 000 元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
例题讲解
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%. 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
例题讲解
解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，.
，
，其中，n=1,2,…，24，
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
由，得
所以，当时，递减，又
所以，当时，
所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100以内.