《充分条件、必要条件》高考达标练
1.（浙江高考）设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（2019·山东烟台一模）若，且是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
3（2019·广东揭阳第一中学高二上学期期末考试）“”是
的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4（2019·贵州贵阳二检）若，则的个充分不必要条件是（ ）
A
B.
C.
D.
5（2019·山东文登一模）设x，y是两个实数，命题“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（2019·南京模拟）已知，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_________.
7.（2019·安徽淮南二中月考）设，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_______.
8.（2019·长沙明德中学月考）已知关于x的方程，则该方程有两个正实根的充要条件是______.
9.（2019·武汉模块统考）设非空集合，则的充要条件为________;的一个充分不必要条件可为________.
10.（2019·江西临川一中模块测试）已知实数x满足实数x满足，若P是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
11.（浙江大学自主招生）已知，设二次函数，其中a，c均为实数.证明：对于任意，均有成立的充要条件是.
参考答案
1.
答案：A
解析：若四边形ABCD为菱形，则对角线成立；而若对角线成立，则四边形ABCD也有可能为梯形等，所以“四边形ABCD为菱形”是“”的充分不必要条件.
2.
答案：A
解析：.因为P是q的充分不必要条件，所以P对应的集合是q对应的集合的真子集，所以.
3.
答案：A
解析：当成立时可得到成立，反之当成立时不一定成立，如时，所以是的充分不必要条件，选A.
4.
答案：C
解析：由推不出是的充要条件，，反之不成立，故选C.
5.
答案：B
解析：对于A，当时，不能得到x，y中至少有一个数大于1；对于C，令，不能得到x，y中至少有一个数大于1；对于D，令，不能得到x，y中至少有一个数大于1；对于B，若x，y都小于或等于1，即，则，与“”矛盾，命题“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分条件是“”，则当时，不成立，所以“”不是“x，y中至少有一个数大于1”成立的必要条件，故选B.
6.
答案：
解析：，得，所以.
由，得，
所以.
因为是的充分不必要条件，所以.
结合数轴有解得.即m的取值范围是.
7.
答案：
解析：由已知得，因为p是q的充分不必要条件，所以解得.
8.
答案：
解析：方程有两个实根的充要条件是即设此时方程的两个实根分别为，则方程有两个正实根的充要条件是.
9.
答案：（不唯一）
解析：.
若，则，解得；
若，则解得.
综上可知，的充要条件为的一个充分不必要条件可为（不唯一）.
10
答案：见解析
解析：设，
.
是q的充分不必要条件，.
则或解得.
故实数a的取值范是.
11.
答案：见解析
解析：证明：因为，所以函数图像的对称轴力程为直线，，所以.
先证充分性：因为，且，所以.
再证必要性因为，所以只需即可.
即，从而.
综上可知，对于任意，均有成立的充要条件是.
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高考通关练：充分条件、必要条件
1．已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．
2．“k＞4，b＜5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图像交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
3．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
4．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
5．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．
参考答案
1.解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q P，
所以即所以－1≤a≤5.
答案：{a|－1≤a≤5}
2.解析：当k＞4，b＜5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图像如图所示．
由一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图像交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，即x＝0，y＝b－5＜0，∴b＜5.当y＝0时，x＝＞0，∵b＜5，∴k＞4.故填“充要”．
答案：充要
3.解：将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示．
(1)因为q r s，s q，所以s是q的充要条件．
(2)因为r s q，q r，所以r是q的充要条件．
(3)因为p r s q，所以p是q的充分条件．
4.证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0.
两式相减，得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.
充分性：∵∠A＝90°，
∴b2＝a2－c2.①
将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.
将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，
即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故两方程有公共根x＝－(a＋c)．
∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
5.解：“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．
理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，
若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，
若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，
综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．
1 / 3《充分条件、必要条件》学考通关练
1.（2019·浙江东阳高三5月模拟考试）设，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2. “”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3（2019·重庆高三四校联合考试）“”是”的（ ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.有下列说法：
①“”是“”的充要条件；
②“”是“”的充要条件；
③“”是“”的充要条件.
则其中说法正确的有______个.
5.（2019·福建高三4月质量检测）已知集合，那么“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
参考答案
1.
答案：D
解析：因为成立，a，b的符号是不确定的，所以不能推出成立，反之也不行，所以是既不充分也不必要条件，故选D.
2.
答案：B
解析：或.
故“”是“”的必要不充分条件.
3.
答案：A
解析：时，成立，故是充分的，又当时，即，故是必要的，因此是充要条件，故选A.
4.
答案：0
解析：①，仅是充分条件；，仅是充分条件；③，仅是充分条件.故填0.
5.
答案：C
解析：由题得，则成立，则，且，所以前后互推都成立，故选C.
6.
答案：见解析
解析：令，
.
由已知得，所以，
所以或或，，故a的取值范围是.
1 / 4《充分条件、必要条件》基础训练
单项选择题
1.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设集合，那么“”是“”的（ ）A.充分不必要条件
B必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4已知两个命题：，则A是B的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题
6.下列说法中正确的是（ ）
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“x是正三角形”是“x是等腰三角形”的充分不必要条件
C.“两圆的半径相等”是“两圆面积相等”的充要条件
D.“”是“”的必要不充分条件
E.“”是“命题为真命题”的充要条件
三、填空题
7.已知集合A为数集，则“”是“”的______条件.
8.已知不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数m的取值范围是______.
四、解答题
9.下列各题中，p是q的什么条件？说明理由:
（1）；
（2）或关于x的方程有实根.
10.求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是.
参考答案
一、选择题
1.
答案：A
解析：，是的充分不必要条件.
2.
答案：A
解析：若，则必有，即；若，则不能推出，如.所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.
3.
答案：B
解析：由题可知“”是“”的必要不充分条件.
4.
答案：D
解析：由得或，由得或，故A是B的既不充分也不必要条件
5.
答案：B
解析：由题意知甲乙丙丁，且丙乙，乙甲，故命题丁是命题甲的必要不充分条件.
二、多项选择题
6.
答案：ABC
解析：，故A正确；
是正三角形是等腰三角形，故B正确；
由知，相等时必然相等，反之亦然，故C正确；
由得或，由得，且“”是“”的既不充分也不必要条件，故D不正确；
是“命题是真命题”的充分不必要条件，故E不正确.
三、填空题
7.
答案：必要不充分
解析：，而，是“”的必要不充分条件.
8.
答案：
解析：不等式成立的一个充分不必要条件是.
.
四、解答题
9.
答案：见解析
解析：（1）因为命题“若，则”为真命题，并且“若，则”也为真命题，所以p是q的充要条件.
（2）当或时，取，则方程无实根，而有实根时，，解得或，可推出或，所以p是q的必要不充分条件.
10.
答案：见解析
解析：必要性：方程有一个根为1，满足方程，，即.
必要性成立.
充分性：由可得可化为，即，有一个根为1.
充分性成立.
结论成立.
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学考达标练：充分条件、必要条件
1．“x为无理数”是“x2为无理数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知p：“x＝2”，q：“x－2＝”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．对于集合A，B及元素x，若A B，则x∈B是x∈A∪B的________条件．
7．“x≠－1”是“x2－1≠0”的________条件．
8．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？
(1)若x>2，则|x|>1；
(2)若x<3，则x2<4；
(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等；
(4)若一个学生的学习成绩好，则这个学生一定是三好学生．
10．若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：
(1)A∪B＝R的一个充要条件；
(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；
(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．
参考答案
1.解析：选B 当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．
2.解析：选C 由q：“x－2＝”，解得x＝1(舍去)或x＝2，
由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立．
∴p是q的充要条件，故选C.
3.解析：选A 当一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤，又“a<”能推出“a≤”，但“a≤”不能推出“a<”，即“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件，故选A.
4.解析：选B 由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，
反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.
∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.
5.解析：选B 由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”，故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件．故选B.
6.解析：由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A B，则A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件．
答案：充要
7.解析：由x2－1≠0，x≠1且x≠－1，
因为“x≠－1”是“x≠1且x≠－1”的必要不充分条件，
所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
8.解析：由于方程的解都是正整数，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2.
答案：3或4
9.解：(1)若x>2，则|x|>1成立，反之当x＝－2时，满足|x|>1但x>2不成立，即p是q的充分条件．
(2)若x<3，则x2<4不一定成立，反之若x2<4，则－2(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p是q的既不充分也不必要条件．
(4)若一个学生的学习成绩好，则这个学生一定是三好学生不成立，反之成立，即p是q的必要条件．
10.解：集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，
(1)若A∪B＝R，则b≥－2，
故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.
(2)由(1)知A∪B＝R充要条件是b≥－2，
∴A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.
(3)由(1)知A∪B＝R充要条件是b≥－2，
∴A∪B＝R的一个充分不必要条件b≥－1.
1 / 3《充分条件、必要条件》提升训练
单项选择题
1.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.不等式在R上恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知集合,若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.设点，则“且”是“点P在直线上”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.设a，b是实数，则“”是“”的是（ ）
A.充分不必要条件
B必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题
6.下列选项中，是的充分不必要条件的是（ ）
A.
B.
C.
D.
E.
三、填空题
7.若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.
8.设，试写出一个使P成立的必要不充分条件______.
四、解答题
9.是否存在实数p，使”是“或”的充分不必要条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由.
10.设命题实数x满足或，命题实数x满足.
（1）若，且和都为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.
答案：A
解析：由得或，，“”是“”的充分不必要条件.
2.
答案：A
解析：不等式可化为，，不等式在R上恒成立，.结合选项可知不等式在R上恒成立的一个充分不必要条件是.
3.
答案：A
解析：由题意知.
4.
答案：A
解析：当且时，满足方程，即点在直线l上.点在直线l上，但不满足且，“且”是点P在直线上”的充分不必要条件.
5.
答案：D
解析：设，则有，但，故；设，显然，但，故，故“”是“”的既不充分也不必要条件.
二、多项选择题
6.
答案：ABD
解析：，而，故A正确；，而，故B正确；，故C不正确；，而，故D正确；，故E不正确.
三、填空题
7.
答案：
解析：“”是“”的必要不充分条件，.
8.
答案：（答案不唯一）
解析：
四、解答题
9.
答案：见解析
解析：由得.
是“或”的充分不必要条件，
，即，即.
当时，“”是“或”的充分不必要条件.
10.
答案：见解析
解析：（1）当时，命题，
命题，
命题.又和都是真命题，
同时满足，即.
实数x的取值范围为.
（2）q是的充分不必要条件，
实数a的取值范围为.
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