人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 《成对数据的统计相关性》教学设计

《成对数据的统计相关性》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
问题 探究1 1.相关关系的理解 问题1:正方形的面积y与边长x之间具有什么样的关系 问题2:某水田水稻产量y与施肥量x之间是否有一个确定性的关系 问题3:人的身高与体重之间有确定性的关系吗 提示:相关关系与函数关系的异同点 学生回答. 通过这三个问题,找到函数关系与相关关系的区别,让学生总结出相关关系的概念,相关关系与函数关系的异同点. 通过具体的问题情境,引发学生思考,积极参与互动,说出自己见解,从而引入相关关系的概念.发展学生逻辑推理、数学抽象核心素养.
概念形成1 相关关系:两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系. 让学生举出生活中的具有相关关系的两个变量. 加深对相关关系概念的理解.
问题探究2 2.散点图 问题 为了了解人的身高与体重的关系,我们随机地抽取9名15岁的男生,测得身高、体重如下表: 如何刻画两个变量之间的关系呢 引导学生利用信息技术作出散点图,观察身高和体重之间的关系:这些点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,表明随身高的增加,相应的体重呈现增加的趋势,由此推断身高和体重之间存在相关关系. 培养学生数据分析及处理能力. 通过观察散点图判断两个变量的相关关系,培养学生的直观想象核心素养.
概念 形成2 1.散点图:在研究两个变量的关系时,为了更加直观地描述成对样本数据之间的关系,我们用图形展示成对样本数据的变化特征.将成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来,这些点组成了统计图,我们把这样的统计图叫做散点图. 2.(1)正相关:从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关. (2)负相关:从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减小的趋势,我们就称这两个变量负相关. 3.(1)线性相关:一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关. (2)非线性相关:一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 学生举例说明正、负相关和线性相关的概念. 师:判断正相关与负相关的方法有两种. 方法1,根据散点图判定. 方法2,由数据变化趋势判定.随着一个变量的数据的增大另一个变量也呈增加趋势,则两个变量为正相关.随着一个变量的数据的增大另一个变量呈减小趋势,则两个变量为负相关. 加深学生对散点图及正、负相关,线性相关等概念的理解.
问题 探究3 3.样本相关系数 对于变量和变量,设经过随机抽样获得的成对样本数据为,其中和的均值分别为和.将数据以为零点进行平移,得到平移后的成对数据为,,并绘制散点图. 在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据,表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果,它们构成了成对数据. 根据以上数据,你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗 利用上述方法处理表中数据,得到散点图. 这时的散点大多数分布在第一象限、第三象限,大多数散点的横、纵坐标同号.显然,这样的规律是由人体脂肪含量与年龄正相关所决定的. 根据散点图特征,初步构造统计量. 利用散点的横、纵坐标是否同号,可以构造一个量.一般情形下,表明成对样本数据正相关;表明成对样本数据负相关. 因为的大小与数据的度量单位有关,所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小. 为了消除度量单位的影响,需要对数据做进一步的“标准化”处理.我们用分别除和,)得,.为简单起见,把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为,仿照的构造,可以得到 . 师:通过观察散点图中成对样本数据的分布规律,我们可以大致推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等.散点图虽然直观,但无法确切地反映成对样本数据的相关程度,也就无法量化两个变量之间相关程度的大小.能否像引入平均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样,引入一个适当的“数字特征”,对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢 学生看教材第96~98页内容,然后讨论,并认真听讲. 师:根据上述分析,你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律,构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗 学生分组讨论,选代表回答.教师注意引导,并给予补充总结. 师:的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗 数据单位对的大小有没有影响 学生分组讨论后,举例说明. 在研究体重与身高之间的相关程度时,如果体重的单位不变,把身高的单位由米改为厘米,则相应的将变为原来的100倍,但单位的改变并不会导致体重与身高之间相关程度的改变. . 通过平均值为引出样本相关系数做好铺垫. 通过对具体的问题情境中数据的分析,深化对样本相关系数的理解.发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算核心素养. 培养学生数学抽象及数据分析核心素养.
概念 形成3 样本相关系数: ,我们称为变量和变量的样本相关系数. 当时,称成对数据呈正相关; 当时,称成对数据呈负相关. 提醒:样本相关系数公式不需要记忆,只需理解并会代公式. 师:如何根据样本相关系数判断成对样本数据的相关性呢 学生分组讨论后回答:当时,成对样本数据正相关,当其中一个数据的值变小时,另一个数据的值通常也变小；当时,成对样本数据负相关,当其中一个数据的值变小时,另一个数据的值通常会变大 由样本相关系数的应用提升学生的数据分析能力.
问题 探究4 的取值范围 观察的结构,联想到二维(平面)向量、三维(空间)向量数量积的坐标表示,我们将向量的维数推广到维,维向量的数量积仍然定义为.,其中为向量的夹角.类似于平面或空间向量的坐标表示,对于向量和 ,我们有. 设“标准化”处理后的成对数据,的第一分量构成维向量,,第二分量构成维向量,则有. 因为,所以样本相关系数,其中为向量和向量的夹角. 由,可知. 当时,中的或,向量和共线.由向量的知识可知,存在实数,使得, 即.这表明成对样本数据都落在直线上.这时,成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系. 师:样本相关系数的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢 为此,我们先考察一下的取值范围. 学生认真听教师讲解. 师:当时,成对样本数据之间具有怎样的关系呢 学生分组讨论后可尝试回答,教师提示,并总结补充. 培养学生的逻辑推理及数学运算核心素养.
概念 形成4 样本相关系数的取值范围为.样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度: 当越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强; 当越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱. 判断两个数量相关性的两种方法: (1)画散点图.点的分布从左下角到右上角沿直线分布,两个变量正相关;点的分布从左上角到右下角沿直线分布,两个变量负相关. (2)求样本相关系数.当时,两个变量正相关;当时,两个变量负相关.的绝对值越接近1,成对样本数据的相关性越强;的绝对值越接近0,成对样本数据的相关性越弱. 师:不同成对样本数据的散点图和相应的样本相关系数有怎样的对应关系呢 请同学们学习教材第99~100页,并总结判断成对样本数据相关性的方法. 学生分组讨论学习,并回答判断两个变量相关性的两种方法. 培养学生知识总结及应用能力.
应用举例 例1 根据下表中脂肪含量和年龄的样本数据,推断两个变量是否线性相关,计算样本相关系数,并推断它们的相关程度. 参考数据: . 解:先画出散点图,如图所示. 观察散点图,可以看出样本点都集中在一条直线附近,由此推断脂肪含量和年龄线性相关. 根据样本相关系数的定义, 可得 由样本相关系数,可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关,且相关程度很强. 归纳总结 样本相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度,是定量的方法.与散点图相比较,样本相关系数要精细得多,需要注意的是样本相关系数的绝对值越小,只是说明线性相关程度越低,但不一定不相关,可能是非线性相关. 例2 有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年内收入的总和)与商品销售额的10年数据,如表所示. 画出散点图,判断成对样本数据是否线性相关,并通过样本相关系数推断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同. 解:画出成对样本数据的散点图,如图所示. 从散点图看,商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系. 由样本数据计算得, 所以 . 由此可以推断,商品销售额与居民年收入正线性相关,即商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势,且相关程度很强. 例3 在某校高一年级中随机抽取25名男生,测得他们的身高、体重、臂展等数据,如下表所示. 体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性 解:根据样本数据画出体重与身高、臂展与身高的散点图,如图所示,两个散点图都呈现出线性相关的特征. 通过计算得到体重与身高、臂展与身高的样本相关系数分别约为0.34和0.78,都为正线性相关.其中,臂展与身高的相关程度更高. 跟踪训练 由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题—讲题—再刷题”的模式,效果不理想.某市一中的数学课堂教改采用了“记题型—刷题—检测效果”的模式,并记录了某学生的记题型时间t(单位:h)与检测效果y的数据,如表所示. 据统计表明,与之间具有线性相关关系,请用样本相关系数加以说明. 参考公式及数据: 样本相关系数:. 参考数据:. 解:由题得, 代入样本相关系数公式得. 所以与有很强的线性相关关系. 学生自主作散点图. 教师利用投影仪展示学生所做,教师给予及时的修正和总结. 让学生动手进行求样本相关系数r的计算. 学生分组合作交流,展示交流成果,教师进行点评. 让学生根据所给数据应用计算机软件作出散点图,并根据散点图判断出成对样本数据的相关性. 让学生利用计算器求出样本相关系数,并判断相关性强弱. 让学生合作完成作散点图及计算样本相关系数,然后集体讲评. 让学生独立完成样本相关系数的计算,然后小组交流, 通过让学生动手作图,掌握作散点图的方法. 培养学生的数学运算核心素养. 通过练习,掌握求解样本相关系数的计算方法. 提升学生应用电脑作图及处理数据的能力. 培养学生的知识应用能力.
课堂小结 1.知识 (1)相关关系. (2) (3)样本相关系数. 2.思想方法 数形结合. 学生归纳小结,教师补充完善. 引导学生构建知识和能力框架,从整体上把握本节内容.
布置作业 教材第103页练习第3,4题. 学生独立完成,教师批阅. 通过练习巩固本节重点知识.
板书设计:
8.1 成对数据的统计相关性 一、相关关系 二、散点图 1.散点图 2.(1)正相关 (2)负相关 3.(1)线性相关 (2)非线性相关 三、样本相关系数 四、例题 例1 例2 例3 五、课堂小结 1.知识 2.思想方法
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