人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 8.2 《一元线性回归模型及其应用课时1》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 8.2 《一元线性回归模型及其应用课时1》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 871.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 16:09:43 | ||
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文档简介
《一元线性回归模型及其应用》教学设计
课时1一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
一元线性回归模型 学习理解能力 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 创造迁移能力 综合问题解决 猜想探究 数学抽象 数学建模 【考查内容】 建立经验回归方程,非线性回归模型转化为线性回归模型:残差分析与决定系数判断线性回归模型的拟合效果 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
经验回归方程 数学抽象 数学建模
最小二乘估计 数学建模
残差 直观想象 逻辑推理
非线性回归模型 数学建模 直观想象
决定系数 数学运算 数据分析
一、本节内容分析
本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的重点.本节与上一节的研究对象相同,都是分析数值变量的成对样本数据.上一节学习的样本相关系数可以帮助推断两个变量是否线性相关,是负相关还是正相关,相关是强还是弱.本节要研究在相关性较强的情况下,如何刻画它们之间的具体关系.
本节是学生首次学习刻画两个变量之间随机关系的统计模型,教材注重通过具体实例使学生理解一元线性回归模型的含义.教材在引入一元线性回归模型时,特别关注三点:(1)选用学生熟悉的问题背景;(2)调查得到的成对样本数据不能用函数模型刻画;(3)预测有新的需要和意义.
教材首先通过与函数模型的比较,引入刻画两个变量之间随机关系的一元线性回归模型,利用最小二乘法估计模型的参数得到经验回归方程,再利用经验回归方程模型进行预测.为了改进模型,教材还引入残差和残差图,通过对不同模型拟合效果的比较,培养学生的数据分析核心素养.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.一元线性回归模型 2.经验回归方程 3.最小二乘估计 4.残差 5.非线性回归模型 6.决定系数 数据分析 数学抽象 数学建模 逻辑推理 数学运算 直观想象 核心素养
二、学情整体分析
学生是具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成.本节与上一节的研究对象相同,都是分析数值变量的成对样本数据.上一节学习的样本相关系数可以帮助推断两个变量是否线性相关,是负相关还是正相关,相关是强还是弱.本节要研究在相关性较强的情况下,如何刻画它们之间的具体关系
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
2.一元线性回归模型的应用
【教学目标设计】
1.通过用数学方法刻画散点与直线接近的程度,体会一元线性回归模型参数的最小二乘估计原理,能推导参数估计公式.
2.通过对残差和残差图的分析,能用残差判断一元线性回归模型的有效性.
3.会使用相关的统计软件.
4.能通过具体实例说明一元线性回归模型修改的依据与方法.
5.通过对具体问题的进一步分析,能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题.
6.能通过实例说明决定系数的意义和作用.
【教学策略设计】
教师引导学生对本节课所学内容,从以下问题着手学习:
(1)什么是一元线性回归模型参数的最小二乘估计 利用最小二乘法得到的参数估计公式是什么
(2)经验回归直线有什么性质
(3)如何用残差分析一元线性回归模型的有效性
(4)如何利用残差分析修正回归模型
对于每个问题,先由学生思考后作答,再生生、师生相互补充完善教师板书或投影经验回归直线的性质.通过残差分析,发现异常数据,去掉异常数据后再重新进行回归分析.用最小二乘法估计参数的过程,归纳经验回归方程的性质,理解残差及残差分析的意义.
在本节的教学中,应侧重注意以下几点:(1)通过具体案例,引导学生理解利用一元线性回归方程表达变量之间的随机关系,并根据估计的经验回归方程进行预测;(2)让学生参与数据分析全过程;(3)鼓励学生使用统计软件估计参数.
【教学方法建议】
情景教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计.
难点 参数估计值公式的推导,利用残差分析回归模型.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:回顾相关知识.
【情景设置】
复习引入
1.变量的散点图如图所示,那么之间的样本相关系数最接近的值为( )
A.1
B.
C.0
D.0.5
2.已知变量x和y满足关系,变量y与z正相关.下列结论中正确的是( )
A.x与y正相关,x与z负相关
B.x与y正相关,x与z正相关
C.x与y负相关,x与z负相关
D.x与y负相关,x与z正相关
3.在关于两个变量的回归分析中,作散点图的目的是_______________________.
【学生通过做题复习上节课内容，教师顺势引出本节教学内容】
【设计意图】
从熟知的知识线性相关,课本实例出发,利于学生体会知识的发生发展,同时激发对本节线性回归方程探究的兴趣.
教学精讲
探究1 一元线性回归模型
师:生活经验告诉我们,儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关,而且还是正相关,即父亲的身高较高时,儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系,有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高,得到的数据如下表所示.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180
儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182
请同学们根据这个数据画出残差图,并分析儿子身高和父亲身高的线性相关性.
【师生活动】
教师引导学生,利用前面表示数据的方法,以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系,再将表中的成对样本数据表示为散点图.
【情境学习】
创设情境引导学生回顾判断线性相关的方法;同时通过问题引导小组讨论:通过样本数据估计参数a和b.
生:可以发现,散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近,表明儿子身高和父亲身高线性相关.利用统计软件,求得样本相关系数为r≈0.886,表明儿子身高和父亲身高正线性相关,且相关程度较高.
师:根据上表中的数据,儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗
【师生活动】师生利用数据共同分析,得到儿子身高和父亲身高之间不是函数关系,也就不能用模型刻画.
师:观察上图中的散点大致分布在一条直线附近,表明儿子身高和父亲身高这两个变量之间有较强的线性相关关系,因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响,而把影响儿子身高的其他因素,如母亲身高、生活环境、饮食习惯等作为随机误差,这样我们可以得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型.其中,随机误差是一个随机变量.
【概括理解能力】
通过探究父亲和儿子身高的相关关系,得到一元线性回归模型.在探究过程中提升概括理解能力.
【要点知识】
一元线性回归模型
用x表示父亲身高,Y表示儿子身高,e表示随机误差.假定随机误差e的均值为0,方差为与父亲身高无关的定值,则它们之间的关系可以表示为
(1)
我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型.其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差.
师:模型中的Y也是随机变量,其值虽然不能由变量x的值确定,但是却能表示为bx+a与e的和(叠加),前一部分由a所确定,后一部分是随机的.如果e=0,那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.
师:大家是如何理解这个模型的
【师生活动】学生自主阅读教材,教师讲解,学生听课并进行理解.
师:对于父亲身高x和儿子身高Y的一元线性回归模型(1),可以解释为父亲身高为的所有男大学生的身高组成一个子总体,该子总体的均值为,即该子总体的均值与父亲身高是线性函数关系.而对于父亲身高为的某一名男大学生,他的身高并不一定为,它仅是该子总体的一个观测值,这个观测值与均值有一个误差项.
师:请大家阅读教材结合具体实例解释产生模型(1)中随机误差项的原因.
【自主学习】通过学生自主阅读教材,了解一元线性回归模型中随机误差产生的原因,提高学生的自主学习能力.
【归纳总结】
产生随机误差e的原因
在研究儿子身高与父亲身高的关系时,产生随机误差e的原因有:
(1)除父亲身高外,其他可能影响儿子身高的因素,比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等;
(2)在测量儿子身高时,由于测量工具、测量精度所产生的测量误差;
(3)实际问题中,我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么,可以利用一元线性回归模型来近似这种关系,这种近似也是产生随机误差e的原因.
师:下面思考问题1.
【情境设置】
提出问题
问题1:为了研究两个变量之间的相关关系,我们建立了一元线性回归模型,表达式刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系,其中参数a和b来知,我们能否通过样本数据估计参数a和b
【师生活动】教师提出问题,学生独立思考、讨论交流后,教师再引导学生总结出结论:与函数模型不同,回归模型的参数一般是无法精确求出的,只能通过成对样本数据估计这两个参数.
师:先介绍两个和回归模型相关的概念.
【设活动 探新知】
引导学生开始建立模型;小组讨论寻找一条适当的直线使这些散,点在整体上最接近.
【要点知识】
预测值、残差、残差平方和
我们称为随机变量Y的观测值,通过经验回归方程得到的为预测值.
为了研究回归模型的有效性,定义残差为,残差是随机误差的估计值.残差平方和:.
师:怎样利用样本数据估计参数a和b 你有解决这类问题的经验吗
【师生活动】教师引导学生回顾模型的建立过程,可知参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系,因此通过样本数据估计这两个参数,相当于寻找一条适当的直线,使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近.
学生可能会利用学习一次函数模型的经验,通过选择适当的两点,用待定系数法求出经过这两点的直线方程,并以方程的系数作为参数a和b的估计值.教师指出这样的估计取决于直观判断,确实是估计模型参数的一种方法,但会存在估计误差比较大的可能.
师:我们怎样寻找一条“最好”的直线,使得表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最“接近”
【师生活动】教师引导学生使用信息技术进行如下实验探究.
教师在的绘图区画出A~K的l1个点,使这些点分布在一条直线的附近(如图),呈强线性相关,然后将文件发送到每个学生的电脑上,并布置实验任务:画一条直线,使各点在整体上与直线尽可能接近.
【发现创新能力】
教师组织学生在小组内发言讨论,互相查漏补缺,有效的检查了学习内容的完整性,同时也培养了发现创新能力.
【先学后教】
教师先规定学习任务,在具体的问题情境中,在学生根据教师列出的数据的特点,自主发现规律之后,教师再教授概念.
要求:
(1)先确定一个衡量标准,能够定量描述所作出的直线与各散点整体上接近的程度,衡量的标准要科学合理、简便实用.
(2)比较各同学所画直线,寻找“最好”直线.
在探究过程中,教师适时引入“残差”的概念,指出“残差”是回归模型中随机误差的观测值.引导学生将衡量的标准逐步聚焦到“残差”的绝对值之和最小上.由于“残差”的绝对值之和求最小值较为困难,所以最后统一利用“残差平方和”作为衡量的标准.在确定用“残差平方和”作为整体衡量直线与各散点接近的程度以后,要求在的输入框中输入“”,构造一个名为的点列,然后输入“误差平方和”,其中f为所画直线的名称(自动命名),就会出现一个计算结果,得到“残差”的平方和.教师可利用师生交互平台,选择学生中拟合程度较好的结果,让学生直观感受一元线性回归模型中回归直线应具有的形态.
【深度学习】
通过问题1及两个追问,明确一元线性回归模型参数的估计要达到“最好”,就是要找出一条直线,使各散点在整体上与此直线尽可能接近,实质上就给出估计模型参数的标准.由此可以产生估计参数的方法.通过的使用,使学生能够比较方便地计算“误差平方和”,使直观比较成为可能,有助于学生理解最小二乘估计的原理.
问题2:一元线性回归模型的参数a和b,联想上面的实验探究,你能推导出参数a和b估计值的公式吗
【师生活动】教师首先引导学生将问题数学化:“残差”平方和为.求a和b的值,使最小.接着,师生合作解决这个问题,得出参数估计公式,可让学生阅读教科书中相关部分,并尝试自己进行公式推导.
,
.
使得取得最小值,即关于的二次函数取最小值,也就是当且仅当
最后,教师给出最小二乘估计的概念.若是参数a,b的最小二乘估计,将线称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.
对于基础较好的学生,可以要求他们课后思考如何求的最小值问题.
【先学后教】
启发探究最小二乘法,小组讨论得出:通过残差平方和的数学运算推导,寻找到一条在整体上最接近这些散点的那条适当直线.
【概括理解能力】
让学生体验对数据的优化过程,便于学生更好地理解经验回归方程的产生过程.理解最小二乘法的原理.提升概括理解能力.
【要点知识】
最小二乘估计
我们将称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的叫做b,a的最小二乘估计.
重要算法:最小二乘法——“残差平方和”作为衡量的标准.
【深度学 重推理】
通过利用最小二乘原理对回归模型中参数a,b估计公式的推导,加深对一元线性回归模型的理解.通过对残差平方和表达式的代数变形,突破推导的困难,并在公式推导过程中提升数学运算核心素养.
探究2 分步乘法计数原理
问题3:利用上节课的数据,依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式,求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程.
【师生活动】教师进行技术操作指导,学生操作,具体如下:
(1)在的表格区的A,B两列中分别输入父亲身高和儿子身高的观测数据.
(2)同时选中A,B两列,点击工具栏中第2个图标的倒三角形标志,选择“双变量回归分析”,出现“数据来源”对话框,按“分析”键,出现“数据分析”区且在“数据分析”区内已画好成对样本数据的散点图.
(3)在“数据分析”区中选择“回归模型”为“线性”,即可画出经验回归直线、求出经验回归方程.
即,如下图.
师:下面请同学们独立完成例1.
【典型例题】
求解经验回归方程
例1 下面给出了根据我国2014年~2020年水果人均占有量y(单位:kg)和年份代码x绘制的散点图(2014年~2020年的年份代码x分别为1~7).
(1)根据散点图分析y与x之间的相关关系;
(2)根据散点图相应数据计算得,求y关于x的经验回归方程.(精确到0.01)
生解:(1)根据散点图可知,散点均匀的分布在一条直线附近,且随着x的增大,y增大,故y与x成线性相关,且为正相关.
(2)依题意,,
.
,
所以关于的经验回归方程为
师:好.相信同学们已经能用公式求出回归方程,我们再结合“父亲身高与儿子身高的关系”分析经验回归方程解的实际意义.
【设情景 深探究】
问题情境案例探究让学生进一步理解模型的含义;启发探究利用模型进行预测的意义和方法.
【情境设置】
分析回归模型刻画数据的实际意义
结合经验回归方程思考并回答以下问题:
(1)当x=176时,,如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后身高一定能长到177cm吗 为什么
(2)根据经验回归方程中斜率的具体含义,高个子的父亲一定生高个子的儿子吗 同样,矮个子的父亲一定生矮个子的儿子吗
(3)根据模型,父亲身高为多少时,长大成人的儿子的平均身高与父亲的身高一样 你怎么看这个判断
【活动学习】
在活动过程中要让学生充分发表自己的意见.通过具体实例,理解经验回归方程中变量y的含义,分清回归模型与函数模型的区别.了解一元线性回归模型中“回归”的含义,以及回归分析的发展史.通过以上三个问题,让学生进一步理解模型的含义,从而知道利用模型进行预测的意义和方法,了解预测结果的统计意义.
【师生活动】组织学生依次讨论第(1)(2)(3)问,教师适时点评.
对于第(1)问,学生容易得到如下结论:儿子的身高不一定会是177cm,这是因为还有其他影响儿子身高的因素,回归模型中的随机误差清楚地表达了这种影响,父亲的身高不能完全决定儿子的身高.不过,我们可以作出推测,当父亲的身高为176cm时,儿子身高一般在177cm左右.
师:实际上,如果把父亲身高为176cm的所有儿子身高作为一个子总体,那么177cm是这个子总体均值的估计值,一般地,因为,是的估计值,所以是的估计值.
探究3 残差分析
师:我们已经建立了回归方程,可以用它来作y的估计.如何评价回归方程的好坏 这需要借助回归模型中的残差.
问题4:请利用最小二乘法求出前面探究活动中样本数据的回归方程,并与你先前所画的直线作比较,哪个误差平方和最小
【师生活动】继续利用进行探究活动,让学生通过在绘图区的输入框中输入“拟合直线”,其中为成对样本数据所组成的点列的名称,便可画出经验回归直线,得到经验回归方程.分别计算点列关于两条直线的“误差平方和”作出比较.
师:我们称为随机变量Y的观测值,通过经验回方程得到的为预测值.为了研究回归模型的有效性,定义残差为,残差是随机误差的估计值.
通过对残差的分析可判断回归模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面的工作称为残差分析.
【情境设置】
残差分析
以“儿子身高与父亲身高的关系”的问题为例,你能运用残差分析所得的一元线性回归模型的有效性吗
【师生活动】教师指出要研究一个问题,要了解研究的目的、原理与方法,以及结果的表达等.根据最小二乘原理,如果残差比较稳定,残差绝对值比较小,说明回归模型拟合的精度比较高.
师:如何观测残差的情况呢
【师生活动】因为学生以往没有这方面的经验,所以教师应加强引导,甚至可以直接讲解.为了观测残差的情况,一般可采用电子表格计算各个残差;也可以以自变量x(父亲身高)作为横坐标,残差为纵坐标画出散点图,称为残差图在的表格区计算各个残差
在的“数据分析”区,选择A,B(父亲身高和儿子身高的观测数据)两列,用“双变量回归分析”,在所得的“数据分析”区,将“散点图”改成“残差图”,并且在回归模型中选择“线性”,便可得到所要的残差图.
师:从上面的残差图可以看出,残差有正有负,残差点比较均匀地分布在横轴的两边,可判断样本数据基本满足一元线性回归模型对于随机误差的假设.是均值为0、方差为的随机变量的观测值.所以通过观察残差图可以直观判断样本数据是否满足一元线性回归模型的假设,从而判断回归模型拟合的有效性.
【意义学习】
根据实际情境抽象得到经验回归方程,进而分析方程中参数以及相应数值在实际背景中的意义.培养学生的数学建模,数学抽象的核心素养,培养学生理论联系实际,归纳探索的能力.
【概括理解能力】
引导学生根据所理解的残差的概念,实际操作,开拓思路,拓宽残差分析思路,对问题中的数据模型进行归纳概括,独立完成,培养学生对残差分析一元线性回归模型的有效性概括理解.
【以学定教】
回顾用最小二乘法估计参数的过程,归纳经验回归方程的性质,理解残差及残差分析的意义.
【情境设置】
哪一个残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定
观察图中四幅残差图,你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定
【师生活动】引导学生分小组讨论后,得出结论.
根据一元线性回归模型中对随机误差的假定,残差应是均值为0、方差为的随机变量的观测值.在图中,图(1)显示残差与观测时间有线性关系,应将时间变量纳入模型;图(2)显示残差与观测时间有非线性关系,应在模型中加入时间的非线性函数部分;图(3)说明残差的方差不是一个常数,随观测时间变大而变大;只有图(4)满足一元线性回归模型对随机误差的假设.
师:在学习了残差的知识后,我们来看例1中的残差图.
【典型例题】
残差分析
例2 在上述例1中,根据经验回归方程的残差图,分析经验回归方程的拟合效果.
我国2014~2020年水果人均占有量残差图
生解:由残差图可以看出,残差对应点分布在水平带状区域内,且宽度较窄,说明拟合效果较好,回归方程的预报精度较高.
师:通过这节课你学到了哪些知识
【课堂小结】
一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
请回答下列问题:
(1)什么是一元线性回归模型参数的最小二乘估计 利用最小二乘法得到的参数估计公式是什么
(2)经验回归直线有什么性质
(3)如何用残差分析一元线性回归模型的有效性
(4)如何利用残差分析修正回归模型
【师生活动】对于每个问题,先由学生思考后作答,再生生、师生相互补充完善,对于第(2)问,教师板书或投影经验回归直线的性质:
①直线经过(称为数据的中心).
②是均值的估计值,即是自变量取值为x时对应子总体的均值的估计值.
③斜率表示自变量每增加一个单位,因变量Y的均值增加()或减小()个单位.
对于第(3)问,教师引导学生认识残差是随机误差e的估计值.因为,所以用残差是否比较均匀地落在横轴附近的带状区域,带状区域的宽度可作为经验回归方程预报精度的指标.
对于第(4)问,教师引导学生形成如下共识:通过残差分析,发现异常数据,去掉异常数据后再重新进行回归分析.
【设计意图】
教师引导学生整理知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生锻练自己的学科能力解决问题,从而达到数学运算、数学建模、逻辑推理等核心素养目标要求.
教学评价
一般地,在利用统计模型解决实际问题时,通常的步骤及注意事项:(1)根据数据结构与特点选择适合的统计模型.例如针对成对样本数据,依据散点图的特点,决定是选择一元线性回归模型,还是某类非线性回归模型.要让学生养成先观察数据特点的习惯,分析是否适合用一元线性回归模型刻画,避免拿到数据直接套用公式估计参数.
(2)利用样本数据估计模型参数,进而得到经验模型.在一元线性回归模型中通常采用最小二乘法估计参数.
应用所学知识,完成下面各题:
1.在对两个变量x,y进行线性回归分析时,有下列步骤:
①对所求出的回归直线方程作出解释;
②收集数据;
③求线性回归方程;
④求相关系数;
⑤根据所搜集的数据绘制散点图.
如果根据可行性要求能够作出变量x,y具有线性相关的结论,则在下列操作顺序中正确的是( )
A.①②⑤③④
B.③②④⑤①
C.②④③①⑤
D.②⑤④③①
答案:D
解析:对两个变量进行回归分析时,首先收集数据,根据所搜集的数据绘制散点图.观察散点图的形状,判断线性相关关系的强弱,求相关系数,写出线性回归方程,最后依据所求出的回归直线方程作出解释;故正确顺序是②⑤④③①.
【设计意图】
引导学生梳理一元线性回归模型内容,让学生体会知识的生成、发展、完善的过程,再通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力解决问题,从而达到数学抽象、数学建模等核心素养目标.
2.“关注夕阳,爱老敬老”,某企业从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金,如表记录了该企业第x年(2013年是第一年)捐赠的现金数y(万元).
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
若由表中数据得到y关于x的经验回归方程是y=mx+0.35,则可预测2020年捐赠的现金大约是( )
A.5.95万元
B.5.25万元
C.5.2万元
D.5万元
答案:A
解析: 由表格中的数据求得.
∴样本点的中心的坐标为,代入,得,解得.
∴经验回归方程为,取,得.
3.已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关,现收集了一只该品种昆虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的7组观测数据,其散点图如图所示.
根据散点图,结合函数知识,可以发现产卵数y和温度x可用方程来拟合,令,结合样本数据可知z与温度x可用经验回归方程来拟合.
根据收集到的数据,计算得到如下值:
27 74 3.537 182 11.9 46.418
表中.
(1)求z关于温度x的经验回归方程(回归系数结果精确到0.001);
(2)求产卵数y关于温度x的回归方程;若该地区一段时间内的气温在26℃~36℃之间(包括26℃与36℃),估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.(参考数据:, , , , )
附:对于一组数据,其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为
解析:(1)由z和温度x可以用经验回归方程拟合,设,
,
.
z关于x的经验回归方程为
(2)由(1)可得,
于是产卵数y关于温度x的回归方程为.
当x=26时,;
当x=36时,.
函数单调递增,
气温在26℃~36℃之间时,该品种一只昆虫的产卵数是[27,341]内的正整数.
【综合问题解决能力】
通过教学评价考查学生掌握非线性回归分析问题的解题步骤,在解决问题的过程锻炼了综合问题解决能力.
教学反思
本设计通过不断提出问题,研究问题,解决问题,使学生在不断探索中体会发现与成功的快乐.
本节课主要通过具体的实际例子,体会线性回归思想在处理实际问题中的应用,通过解决具体实际案例,让学生掌握判断变量是否线性相关的方法和求线性回归方程的具体步骤.
通过本节课的学习培养学生对数据的处理能力和应用数学解决实际问题的数学意识,同时在问题解决的过程中,让学生体会与他人合作的重要性.
【以学定教】结合一元线性回归模型的相关知识及对其的应用,深层理解它们的关系,从而解决问题.
【以学论教】
根据课堂学生实际学习情况和课堂效果总结出在具体实例中让学生体会和理解经验回归方程的实际应用,课后要加强练习进行巩固.
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课时1一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
一元线性回归模型 学习理解能力 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 创造迁移能力 综合问题解决 猜想探究 数学抽象 数学建模 【考查内容】 建立经验回归方程,非线性回归模型转化为线性回归模型:残差分析与决定系数判断线性回归模型的拟合效果 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
经验回归方程 数学抽象 数学建模
最小二乘估计 数学建模
残差 直观想象 逻辑推理
非线性回归模型 数学建模 直观想象
决定系数 数学运算 数据分析
一、本节内容分析
本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的重点.本节与上一节的研究对象相同,都是分析数值变量的成对样本数据.上一节学习的样本相关系数可以帮助推断两个变量是否线性相关,是负相关还是正相关,相关是强还是弱.本节要研究在相关性较强的情况下,如何刻画它们之间的具体关系.
本节是学生首次学习刻画两个变量之间随机关系的统计模型,教材注重通过具体实例使学生理解一元线性回归模型的含义.教材在引入一元线性回归模型时,特别关注三点:(1)选用学生熟悉的问题背景;(2)调查得到的成对样本数据不能用函数模型刻画;(3)预测有新的需要和意义.
教材首先通过与函数模型的比较,引入刻画两个变量之间随机关系的一元线性回归模型,利用最小二乘法估计模型的参数得到经验回归方程,再利用经验回归方程模型进行预测.为了改进模型,教材还引入残差和残差图,通过对不同模型拟合效果的比较,培养学生的数据分析核心素养.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.一元线性回归模型 2.经验回归方程 3.最小二乘估计 4.残差 5.非线性回归模型 6.决定系数 数据分析 数学抽象 数学建模 逻辑推理 数学运算 直观想象 核心素养
二、学情整体分析
学生是具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成.本节与上一节的研究对象相同,都是分析数值变量的成对样本数据.上一节学习的样本相关系数可以帮助推断两个变量是否线性相关,是负相关还是正相关,相关是强还是弱.本节要研究在相关性较强的情况下,如何刻画它们之间的具体关系
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
2.一元线性回归模型的应用
【教学目标设计】
1.通过用数学方法刻画散点与直线接近的程度,体会一元线性回归模型参数的最小二乘估计原理,能推导参数估计公式.
2.通过对残差和残差图的分析,能用残差判断一元线性回归模型的有效性.
3.会使用相关的统计软件.
4.能通过具体实例说明一元线性回归模型修改的依据与方法.
5.通过对具体问题的进一步分析,能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题.
6.能通过实例说明决定系数的意义和作用.
【教学策略设计】
教师引导学生对本节课所学内容,从以下问题着手学习:
(1)什么是一元线性回归模型参数的最小二乘估计 利用最小二乘法得到的参数估计公式是什么
(2)经验回归直线有什么性质
(3)如何用残差分析一元线性回归模型的有效性
(4)如何利用残差分析修正回归模型
对于每个问题,先由学生思考后作答,再生生、师生相互补充完善教师板书或投影经验回归直线的性质.通过残差分析,发现异常数据,去掉异常数据后再重新进行回归分析.用最小二乘法估计参数的过程,归纳经验回归方程的性质,理解残差及残差分析的意义.
在本节的教学中,应侧重注意以下几点:(1)通过具体案例,引导学生理解利用一元线性回归方程表达变量之间的随机关系,并根据估计的经验回归方程进行预测;(2)让学生参与数据分析全过程;(3)鼓励学生使用统计软件估计参数.
【教学方法建议】
情景教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计.
难点 参数估计值公式的推导,利用残差分析回归模型.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:回顾相关知识.
【情景设置】
复习引入
1.变量的散点图如图所示,那么之间的样本相关系数最接近的值为( )
A.1
B.
C.0
D.0.5
2.已知变量x和y满足关系,变量y与z正相关.下列结论中正确的是( )
A.x与y正相关,x与z负相关
B.x与y正相关,x与z正相关
C.x与y负相关,x与z负相关
D.x与y负相关,x与z正相关
3.在关于两个变量的回归分析中,作散点图的目的是_______________________.
【学生通过做题复习上节课内容，教师顺势引出本节教学内容】
【设计意图】
从熟知的知识线性相关,课本实例出发,利于学生体会知识的发生发展,同时激发对本节线性回归方程探究的兴趣.
教学精讲
探究1 一元线性回归模型
师:生活经验告诉我们,儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关,而且还是正相关,即父亲的身高较高时,儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系,有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高,得到的数据如下表所示.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180
儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182
请同学们根据这个数据画出残差图,并分析儿子身高和父亲身高的线性相关性.
【师生活动】
教师引导学生,利用前面表示数据的方法,以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系,再将表中的成对样本数据表示为散点图.
【情境学习】
创设情境引导学生回顾判断线性相关的方法;同时通过问题引导小组讨论:通过样本数据估计参数a和b.
生:可以发现,散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近,表明儿子身高和父亲身高线性相关.利用统计软件,求得样本相关系数为r≈0.886,表明儿子身高和父亲身高正线性相关,且相关程度较高.
师:根据上表中的数据,儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗
【师生活动】师生利用数据共同分析,得到儿子身高和父亲身高之间不是函数关系,也就不能用模型刻画.
师:观察上图中的散点大致分布在一条直线附近,表明儿子身高和父亲身高这两个变量之间有较强的线性相关关系,因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响,而把影响儿子身高的其他因素,如母亲身高、生活环境、饮食习惯等作为随机误差,这样我们可以得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型.其中,随机误差是一个随机变量.
【概括理解能力】
通过探究父亲和儿子身高的相关关系,得到一元线性回归模型.在探究过程中提升概括理解能力.
【要点知识】
一元线性回归模型
用x表示父亲身高,Y表示儿子身高,e表示随机误差.假定随机误差e的均值为0,方差为与父亲身高无关的定值,则它们之间的关系可以表示为
(1)
我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型.其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差.
师:模型中的Y也是随机变量,其值虽然不能由变量x的值确定,但是却能表示为bx+a与e的和(叠加),前一部分由a所确定,后一部分是随机的.如果e=0,那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.
师:大家是如何理解这个模型的
【师生活动】学生自主阅读教材,教师讲解,学生听课并进行理解.
师:对于父亲身高x和儿子身高Y的一元线性回归模型(1),可以解释为父亲身高为的所有男大学生的身高组成一个子总体,该子总体的均值为,即该子总体的均值与父亲身高是线性函数关系.而对于父亲身高为的某一名男大学生,他的身高并不一定为,它仅是该子总体的一个观测值,这个观测值与均值有一个误差项.
师:请大家阅读教材结合具体实例解释产生模型(1)中随机误差项的原因.
【自主学习】通过学生自主阅读教材,了解一元线性回归模型中随机误差产生的原因,提高学生的自主学习能力.
【归纳总结】
产生随机误差e的原因
在研究儿子身高与父亲身高的关系时,产生随机误差e的原因有:
(1)除父亲身高外,其他可能影响儿子身高的因素,比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等;
(2)在测量儿子身高时,由于测量工具、测量精度所产生的测量误差;
(3)实际问题中,我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么,可以利用一元线性回归模型来近似这种关系,这种近似也是产生随机误差e的原因.
师:下面思考问题1.
【情境设置】
提出问题
问题1:为了研究两个变量之间的相关关系,我们建立了一元线性回归模型,表达式刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系,其中参数a和b来知,我们能否通过样本数据估计参数a和b
【师生活动】教师提出问题,学生独立思考、讨论交流后,教师再引导学生总结出结论:与函数模型不同,回归模型的参数一般是无法精确求出的,只能通过成对样本数据估计这两个参数.
师:先介绍两个和回归模型相关的概念.
【设活动 探新知】
引导学生开始建立模型;小组讨论寻找一条适当的直线使这些散,点在整体上最接近.
【要点知识】
预测值、残差、残差平方和
我们称为随机变量Y的观测值,通过经验回归方程得到的为预测值.
为了研究回归模型的有效性,定义残差为,残差是随机误差的估计值.残差平方和:.
师:怎样利用样本数据估计参数a和b 你有解决这类问题的经验吗
【师生活动】教师引导学生回顾模型的建立过程,可知参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系,因此通过样本数据估计这两个参数,相当于寻找一条适当的直线,使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近.
学生可能会利用学习一次函数模型的经验,通过选择适当的两点,用待定系数法求出经过这两点的直线方程,并以方程的系数作为参数a和b的估计值.教师指出这样的估计取决于直观判断,确实是估计模型参数的一种方法,但会存在估计误差比较大的可能.
师:我们怎样寻找一条“最好”的直线,使得表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最“接近”
【师生活动】教师引导学生使用信息技术进行如下实验探究.
教师在的绘图区画出A~K的l1个点,使这些点分布在一条直线的附近(如图),呈强线性相关,然后将文件发送到每个学生的电脑上,并布置实验任务:画一条直线,使各点在整体上与直线尽可能接近.
【发现创新能力】
教师组织学生在小组内发言讨论,互相查漏补缺,有效的检查了学习内容的完整性,同时也培养了发现创新能力.
【先学后教】
教师先规定学习任务,在具体的问题情境中,在学生根据教师列出的数据的特点,自主发现规律之后,教师再教授概念.
要求:
(1)先确定一个衡量标准,能够定量描述所作出的直线与各散点整体上接近的程度,衡量的标准要科学合理、简便实用.
(2)比较各同学所画直线,寻找“最好”直线.
在探究过程中,教师适时引入“残差”的概念,指出“残差”是回归模型中随机误差的观测值.引导学生将衡量的标准逐步聚焦到“残差”的绝对值之和最小上.由于“残差”的绝对值之和求最小值较为困难,所以最后统一利用“残差平方和”作为衡量的标准.在确定用“残差平方和”作为整体衡量直线与各散点接近的程度以后,要求在的输入框中输入“”,构造一个名为的点列,然后输入“误差平方和”,其中f为所画直线的名称(自动命名),就会出现一个计算结果,得到“残差”的平方和.教师可利用师生交互平台,选择学生中拟合程度较好的结果,让学生直观感受一元线性回归模型中回归直线应具有的形态.
【深度学习】
通过问题1及两个追问,明确一元线性回归模型参数的估计要达到“最好”,就是要找出一条直线,使各散点在整体上与此直线尽可能接近,实质上就给出估计模型参数的标准.由此可以产生估计参数的方法.通过的使用,使学生能够比较方便地计算“误差平方和”,使直观比较成为可能,有助于学生理解最小二乘估计的原理.
问题2:一元线性回归模型的参数a和b,联想上面的实验探究,你能推导出参数a和b估计值的公式吗
【师生活动】教师首先引导学生将问题数学化:“残差”平方和为.求a和b的值,使最小.接着,师生合作解决这个问题,得出参数估计公式,可让学生阅读教科书中相关部分,并尝试自己进行公式推导.
,
.
使得取得最小值,即关于的二次函数取最小值,也就是当且仅当
最后,教师给出最小二乘估计的概念.若是参数a,b的最小二乘估计,将线称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.
对于基础较好的学生,可以要求他们课后思考如何求的最小值问题.
【先学后教】
启发探究最小二乘法,小组讨论得出:通过残差平方和的数学运算推导,寻找到一条在整体上最接近这些散点的那条适当直线.
【概括理解能力】
让学生体验对数据的优化过程,便于学生更好地理解经验回归方程的产生过程.理解最小二乘法的原理.提升概括理解能力.
【要点知识】
最小二乘估计
我们将称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的叫做b,a的最小二乘估计.
重要算法:最小二乘法——“残差平方和”作为衡量的标准.
【深度学 重推理】
通过利用最小二乘原理对回归模型中参数a,b估计公式的推导,加深对一元线性回归模型的理解.通过对残差平方和表达式的代数变形,突破推导的困难,并在公式推导过程中提升数学运算核心素养.
探究2 分步乘法计数原理
问题3:利用上节课的数据,依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式,求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程.
【师生活动】教师进行技术操作指导,学生操作,具体如下:
(1)在的表格区的A,B两列中分别输入父亲身高和儿子身高的观测数据.
(2)同时选中A,B两列,点击工具栏中第2个图标的倒三角形标志,选择“双变量回归分析”,出现“数据来源”对话框,按“分析”键,出现“数据分析”区且在“数据分析”区内已画好成对样本数据的散点图.
(3)在“数据分析”区中选择“回归模型”为“线性”,即可画出经验回归直线、求出经验回归方程.
即,如下图.
师:下面请同学们独立完成例1.
【典型例题】
求解经验回归方程
例1 下面给出了根据我国2014年~2020年水果人均占有量y(单位:kg)和年份代码x绘制的散点图(2014年~2020年的年份代码x分别为1~7).
(1)根据散点图分析y与x之间的相关关系;
(2)根据散点图相应数据计算得,求y关于x的经验回归方程.(精确到0.01)
生解:(1)根据散点图可知,散点均匀的分布在一条直线附近,且随着x的增大,y增大,故y与x成线性相关,且为正相关.
(2)依题意,,
.
,
所以关于的经验回归方程为
师:好.相信同学们已经能用公式求出回归方程,我们再结合“父亲身高与儿子身高的关系”分析经验回归方程解的实际意义.
【设情景 深探究】
问题情境案例探究让学生进一步理解模型的含义;启发探究利用模型进行预测的意义和方法.
【情境设置】
分析回归模型刻画数据的实际意义
结合经验回归方程思考并回答以下问题:
(1)当x=176时,,如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后身高一定能长到177cm吗 为什么
(2)根据经验回归方程中斜率的具体含义,高个子的父亲一定生高个子的儿子吗 同样,矮个子的父亲一定生矮个子的儿子吗
(3)根据模型,父亲身高为多少时,长大成人的儿子的平均身高与父亲的身高一样 你怎么看这个判断
【活动学习】
在活动过程中要让学生充分发表自己的意见.通过具体实例,理解经验回归方程中变量y的含义,分清回归模型与函数模型的区别.了解一元线性回归模型中“回归”的含义,以及回归分析的发展史.通过以上三个问题,让学生进一步理解模型的含义,从而知道利用模型进行预测的意义和方法,了解预测结果的统计意义.
【师生活动】组织学生依次讨论第(1)(2)(3)问,教师适时点评.
对于第(1)问,学生容易得到如下结论:儿子的身高不一定会是177cm,这是因为还有其他影响儿子身高的因素,回归模型中的随机误差清楚地表达了这种影响,父亲的身高不能完全决定儿子的身高.不过,我们可以作出推测,当父亲的身高为176cm时,儿子身高一般在177cm左右.
师:实际上,如果把父亲身高为176cm的所有儿子身高作为一个子总体,那么177cm是这个子总体均值的估计值,一般地,因为,是的估计值,所以是的估计值.
探究3 残差分析
师:我们已经建立了回归方程,可以用它来作y的估计.如何评价回归方程的好坏 这需要借助回归模型中的残差.
问题4:请利用最小二乘法求出前面探究活动中样本数据的回归方程,并与你先前所画的直线作比较,哪个误差平方和最小
【师生活动】继续利用进行探究活动,让学生通过在绘图区的输入框中输入“拟合直线”,其中为成对样本数据所组成的点列的名称,便可画出经验回归直线,得到经验回归方程.分别计算点列关于两条直线的“误差平方和”作出比较.
师:我们称为随机变量Y的观测值,通过经验回方程得到的为预测值.为了研究回归模型的有效性,定义残差为,残差是随机误差的估计值.
通过对残差的分析可判断回归模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面的工作称为残差分析.
【情境设置】
残差分析
以“儿子身高与父亲身高的关系”的问题为例,你能运用残差分析所得的一元线性回归模型的有效性吗
【师生活动】教师指出要研究一个问题,要了解研究的目的、原理与方法,以及结果的表达等.根据最小二乘原理,如果残差比较稳定,残差绝对值比较小,说明回归模型拟合的精度比较高.
师:如何观测残差的情况呢
【师生活动】因为学生以往没有这方面的经验,所以教师应加强引导,甚至可以直接讲解.为了观测残差的情况,一般可采用电子表格计算各个残差;也可以以自变量x(父亲身高)作为横坐标,残差为纵坐标画出散点图,称为残差图在的表格区计算各个残差
在的“数据分析”区,选择A,B(父亲身高和儿子身高的观测数据)两列,用“双变量回归分析”,在所得的“数据分析”区,将“散点图”改成“残差图”,并且在回归模型中选择“线性”,便可得到所要的残差图.
师:从上面的残差图可以看出,残差有正有负,残差点比较均匀地分布在横轴的两边,可判断样本数据基本满足一元线性回归模型对于随机误差的假设.是均值为0、方差为的随机变量的观测值.所以通过观察残差图可以直观判断样本数据是否满足一元线性回归模型的假设,从而判断回归模型拟合的有效性.
【意义学习】
根据实际情境抽象得到经验回归方程,进而分析方程中参数以及相应数值在实际背景中的意义.培养学生的数学建模,数学抽象的核心素养,培养学生理论联系实际,归纳探索的能力.
【概括理解能力】
引导学生根据所理解的残差的概念,实际操作,开拓思路,拓宽残差分析思路,对问题中的数据模型进行归纳概括,独立完成,培养学生对残差分析一元线性回归模型的有效性概括理解.
【以学定教】
回顾用最小二乘法估计参数的过程,归纳经验回归方程的性质,理解残差及残差分析的意义.
【情境设置】
哪一个残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定
观察图中四幅残差图,你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定
【师生活动】引导学生分小组讨论后,得出结论.
根据一元线性回归模型中对随机误差的假定,残差应是均值为0、方差为的随机变量的观测值.在图中,图(1)显示残差与观测时间有线性关系,应将时间变量纳入模型;图(2)显示残差与观测时间有非线性关系,应在模型中加入时间的非线性函数部分;图(3)说明残差的方差不是一个常数,随观测时间变大而变大;只有图(4)满足一元线性回归模型对随机误差的假设.
师:在学习了残差的知识后,我们来看例1中的残差图.
【典型例题】
残差分析
例2 在上述例1中,根据经验回归方程的残差图,分析经验回归方程的拟合效果.
我国2014~2020年水果人均占有量残差图
生解:由残差图可以看出,残差对应点分布在水平带状区域内,且宽度较窄,说明拟合效果较好,回归方程的预报精度较高.
师:通过这节课你学到了哪些知识
【课堂小结】
一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
请回答下列问题:
(1)什么是一元线性回归模型参数的最小二乘估计 利用最小二乘法得到的参数估计公式是什么
(2)经验回归直线有什么性质
(3)如何用残差分析一元线性回归模型的有效性
(4)如何利用残差分析修正回归模型
【师生活动】对于每个问题,先由学生思考后作答,再生生、师生相互补充完善,对于第(2)问,教师板书或投影经验回归直线的性质:
①直线经过(称为数据的中心).
②是均值的估计值,即是自变量取值为x时对应子总体的均值的估计值.
③斜率表示自变量每增加一个单位,因变量Y的均值增加()或减小()个单位.
对于第(3)问,教师引导学生认识残差是随机误差e的估计值.因为,所以用残差是否比较均匀地落在横轴附近的带状区域,带状区域的宽度可作为经验回归方程预报精度的指标.
对于第(4)问,教师引导学生形成如下共识:通过残差分析,发现异常数据,去掉异常数据后再重新进行回归分析.
【设计意图】
教师引导学生整理知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生锻练自己的学科能力解决问题,从而达到数学运算、数学建模、逻辑推理等核心素养目标要求.
教学评价
一般地,在利用统计模型解决实际问题时,通常的步骤及注意事项:(1)根据数据结构与特点选择适合的统计模型.例如针对成对样本数据,依据散点图的特点,决定是选择一元线性回归模型,还是某类非线性回归模型.要让学生养成先观察数据特点的习惯,分析是否适合用一元线性回归模型刻画,避免拿到数据直接套用公式估计参数.
(2)利用样本数据估计模型参数,进而得到经验模型.在一元线性回归模型中通常采用最小二乘法估计参数.
应用所学知识,完成下面各题:
1.在对两个变量x,y进行线性回归分析时,有下列步骤:
①对所求出的回归直线方程作出解释;
②收集数据;
③求线性回归方程;
④求相关系数;
⑤根据所搜集的数据绘制散点图.
如果根据可行性要求能够作出变量x,y具有线性相关的结论,则在下列操作顺序中正确的是( )
A.①②⑤③④
B.③②④⑤①
C.②④③①⑤
D.②⑤④③①
答案:D
解析:对两个变量进行回归分析时,首先收集数据,根据所搜集的数据绘制散点图.观察散点图的形状,判断线性相关关系的强弱,求相关系数,写出线性回归方程,最后依据所求出的回归直线方程作出解释;故正确顺序是②⑤④③①.
【设计意图】
引导学生梳理一元线性回归模型内容,让学生体会知识的生成、发展、完善的过程,再通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力解决问题,从而达到数学抽象、数学建模等核心素养目标.
2.“关注夕阳,爱老敬老”,某企业从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金,如表记录了该企业第x年(2013年是第一年)捐赠的现金数y(万元).
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
若由表中数据得到y关于x的经验回归方程是y=mx+0.35,则可预测2020年捐赠的现金大约是( )
A.5.95万元
B.5.25万元
C.5.2万元
D.5万元
答案:A
解析: 由表格中的数据求得.
∴样本点的中心的坐标为,代入,得,解得.
∴经验回归方程为,取,得.
3.已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关,现收集了一只该品种昆虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的7组观测数据,其散点图如图所示.
根据散点图,结合函数知识,可以发现产卵数y和温度x可用方程来拟合,令,结合样本数据可知z与温度x可用经验回归方程来拟合.
根据收集到的数据,计算得到如下值:
27 74 3.537 182 11.9 46.418
表中.
(1)求z关于温度x的经验回归方程(回归系数结果精确到0.001);
(2)求产卵数y关于温度x的回归方程;若该地区一段时间内的气温在26℃~36℃之间(包括26℃与36℃),估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.(参考数据:, , , , )
附:对于一组数据,其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为
解析:(1)由z和温度x可以用经验回归方程拟合,设,
,
.
z关于x的经验回归方程为
(2)由(1)可得,
于是产卵数y关于温度x的回归方程为.
当x=26时,;
当x=36时,.
函数单调递增,
气温在26℃~36℃之间时,该品种一只昆虫的产卵数是[27,341]内的正整数.
【综合问题解决能力】
通过教学评价考查学生掌握非线性回归分析问题的解题步骤,在解决问题的过程锻炼了综合问题解决能力.
教学反思
本设计通过不断提出问题,研究问题,解决问题,使学生在不断探索中体会发现与成功的快乐.
本节课主要通过具体的实际例子,体会线性回归思想在处理实际问题中的应用,通过解决具体实际案例,让学生掌握判断变量是否线性相关的方法和求线性回归方程的具体步骤.
通过本节课的学习培养学生对数据的处理能力和应用数学解决实际问题的数学意识,同时在问题解决的过程中,让学生体会与他人合作的重要性.
【以学定教】结合一元线性回归模型的相关知识及对其的应用,深层理解它们的关系,从而解决问题.
【以学论教】
根据课堂学生实际学习情况和课堂效果总结出在具体实例中让学生体会和理解经验回归方程的实际应用,课后要加强练习进行巩固.
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