人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 8.2《一元线性回归模型及其应用课时2》教学设计

《一元线性回归模型及其应用》教学设计
课时2一元线性回归模型的应用
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
一元线性回归模型 学习理解能力 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 创造迁移能力 综合问题解决 猜想探究 数学抽象 数学建模 【考查内容】 建立经验回归方程,非线性回归模型转化为线性回归模型:残差分析与决定系数判断线性回归模型的拟合效果 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
经验回归方程 数学抽象 数学建模
最小二乘估计 数学建模
残差 直观想象 逻辑推理
非线性回归模型 数学建模 直观想象
决定系数 数学运算 数据分析
一、本节内容分析
本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的重点.本节与上一节的研究对象相同,都是分析数值变量的成对样本数据.上一节学习的样本相关系数可以帮助推断两个变量是否线性相关,是负相关还是正相关,相关是强还是弱.本节要研究在相关性较强的情况下,如何刻画它们之间的具体关系.
本节是学生首次学习刻画两个变量之间随机关系的统计模型,教材注重通过具体实例使学生理解一元线性回归模型的含义.教材在引入一元线性回归模型时,特别关注三点:(1)选用学生熟悉的问题背景;(2)调查得到的成对样本数据不能用函数模型刻画;(3)预测有新的需要和意义.
教材首先通过与函数模型的比较,引入刻画两个变量之间随机关系的一元线性回归模型,利用最小二乘法估计模型的参数得到经验回归方程,再利用经验回归方程模型进行预测.为了改进模型,教材还引入残差和残差图,通过对不同模型拟合效果的比较,培养学生的数据分析核心素养.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.一元线性回归模型 2.经验回归方程 3.最小二乘估计 4.残差 5.非线性回归模型 6.决定系数 数据分析 数学抽象 数学建模 逻辑推理 数学运算 直观想象 核心素养
二、学情整体分析
学生是具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成.本节与上一节的研究对象相同,都是分析数值变量的成对样本数据.上一节学习的样本相关系数可以帮助推断两个变量是否线性相关,是负相关还是正相关,相关是强还是弱.本节要研究在相关性较强的情况下,如何刻画它们之间的具体关系
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
2.一元线性回归模型的应用
【教学目标设计】
1.通过用数学方法刻画散点与直线接近的程度,体会一元线性回归模型参数的最小二乘估计原理,能推导参数估计公式.
2.通过对残差和残差图的分析,能用残差判断一元线性回归模型的有效性.
3.会使用相关的统计软件.
4.能通过具体实例说明一元线性回归模型修改的依据与方法.
5.通过对具体问题的进一步分析,能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题.
6.能通过实例说明决定系数的意义和作用.
【教学策略设计】
教师引导学生对本节课所学内容,从以下问题着手学习:
(1)什么是一元线性回归模型参数的最小二乘估计 利用最小二乘法得到的参数估计公式是什么
(2)经验回归直线有什么性质
(3)如何用残差分析一元线性回归模型的有效性
(4)如何利用残差分析修正回归模型
对于每个问题,先由学生思考后作答,再生生、师生相互补充完善教师板书或投影经验回归直线的性质.通过残差分析,发现异常数据,去掉异常数据后再重新进行回归分析.用最小二乘法估计参数的过程,归纳经验回归方程的性质,理解残差及残差分析的意义.
在本节的教学中,应侧重注意以下几点:(1)通过具体案例,引导学生理解利用一元线性回归方程表达变量之间的随机关系,并根据估计的经验回归方程进行预测;(2)让学生参与数据分析全过程;(3)鼓励学生使用统计软件估计参数.
【教学方法建议】
情景教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计.
难点 参数估计值公式的推导,利用残差分析回归模型.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学精讲
师:温故而知新通过回顾上节课知识,我们明确求回归模型方程的步骤.
【情境设置】
一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
问题1:结合上节课的实例(儿子与父亲身高的关系)请回答:
(1)求解一元线性回归模型的步骤是什么 回归参数的公式是什么
(2)如何用残差分析一元线性回归模型的有效性
【师生活动】对于每个问题,先由学生思考后作答,再生生、师生相互补充完善.
师:本节课我们继续探究线性回归模型在实际问题中的应用.请看例1.
【发现创新能力】
教师组织学生在小组内发言讨论,互相查漏补缺,共同发现线性模型对于本例的拟合效果并不好,从而寻求解决方案,培养了发现创新能力.
【典型例题】
求实际问题的经验回归方程
例1 经验表明,一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3处的直径)越大,树就越高.由于测量树高比测量胸径困难,因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时,某林场收集了某种树的一些数据(如下表),试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.
编号 1 2 3 4 5 6
胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3
树高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1
编号 7 8 9 10 11 12
胸径/cm 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2
树高/m 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7
【师生活动】教师分析解题思路,学生认真听课,师生互动,求解该题的经验回归方程.
师解:以胸径为横坐标、树高为纵坐标作散点图,得到图(1).
在图(1)中,散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近,表明两个变量线性相关,并且是防洪堤相关,因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系.
用d表示胸径,h表示树高,根据最小二乘法,计算可得经验回归方程为,相应的经验回归直线如图(2)所示.
【以学论教】
通过教师分析解题思路,讲授解题方法和解题过程,学生加深对经验回归方程求解过程的掌握,通过例1学生既巩固了上节课的知识,又增加了学习新课的兴趣,有助于提升课堂学习效果.
师:求出了树高关于胸径的经验回归方程,下面我们借助残差分析对模型刻画数据的效果进行分析.
【师生活动】教师出示残差表格,师生共同作出残差图,通过残差图表进行分析得出结论.
师:以胸径为横坐标,残差为纵坐标,作残差图,得到图(3).
生:观察残差表和残差图,可以看到,残差的绝对值最大是0.8,所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内.可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系,可以根据经验回归方程由胸径预测树高.
【概括理解能力】
通过进行残差分析,学生得出所求得的经验回归方程是否能够对模型进行拟合,通过分析判断的过程提升了学生的概括理解能力.
【先学后教】
非线性回归问题一般不给出经验公式,这时,应先画出已知数据的散点图,把它与所学过的各种函数图像作比较,挑选一种跟这些散点图拟合得最好的函数,采用适当的变量置换,把问题化为线性回归分析问题,使问题得以解决.
【情境设置】
非线性相关数据模型
问题2:人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据,建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968
纪录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95
【师生活动】学生以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标,世界纪录为纵坐标作散点图,并展示自己作的图.
师:如何建立回归模型来模拟数据的分布.
【师生活动】教师组织学生思考并小组合作完成以下任务:
(1)在散点图中,散点看上去大致分布在一条直线附近,似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程.由Y表示男子短跑是包100m的世界纪录,t表示纪录产生的年份,建立一元线性回归方程为.
(2)要刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系.根据最小二乘法,由表中的数据得到经验回归方程为.①
(3)将经验回归直线叠加到散点图,得到下图.
师:再来看问题3.
【多媒体展示】
【情境设置】
非线性相关数据模型
问题3:从上图中可以看到,经验回归方程①较好地刻画了散点的变化趋势.请再仔细观察图形,你能看出其中存在的问题吗
【师生活动】组织学生分小组讨论,分析方程的模拟效果.
以经验回归直线为参照,可以发现经验回归方程的不足之处,以及散点的更为精细的分布特征.例如,第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线,并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方,中间时间段的散点都在经验回归直线的下方.这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围,而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律,即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的性征.
【推测解释能力】
总结判断变量线性相关的各种方法.培养其逻辑推理的核心素养.学会求其回归直线方程,并明确其有实际意义.
【分析计算能力】
由于本节课题目计算量大,公式较多,所以在求解时易出现公式乱用,数据出错等问题,对这一点,在解题时尤为需要注意.培养学生的分析计算能力.
师:你能对模型进行修改,以使其更好地反映散点的分布特征吗
生:仔细观察图,可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近.
【师生活动】教师引导学生回顾已有的函数知识,可以发现函数的图象具有类似的形状特征.注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年,因此可以认为散点是集中在曲线的周围,其中和为未知的参数,且.
师:用上述函数刻画数据变化的趋势,这是一个非线性经验回归函数,其中,是待定参数.现在问题转化为如何利用成对数据估计参数和.
【师生活动】教师通过问题引导学生将非线性模型转化为线性模型.
师:为了利用一元线性回归模型估计参数和,我们引进一个中间变量x,令.通过,将年份变量数据进行变换,得到新的成对数据(精确到0.01).
【师生活动】师生共同分析表格中的数据特点,引导学生完成以下任务:
(1)通过表格画出对应的散点图.
生:发现散点图中呈现出很强的线性相关特征.
(2)引进一个中间变量x,将非线性模型转化为线性模型.
生:借助一元线性回归模型和新的成对数据,对参数和作出估计,进而可以得到Y关于t的非线性经验回归方程.
(3)在直角坐标系中画出转化后的成对数据的散点图,并建立对应的经验回归直线方程,
生:观察到新的散点图中点的分布呈现出很强的线性相关特征.
师:因此,用一元线性回归模型拟合表中的成对数据,得到经验回归方程②,再在散点图中画出②式所对应的经验回归直线.
(4)观察散点图所对应的经验回归直线与原始数据图进行比较.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
x 0.00 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29
Y 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95
生:发现转化后的图成对数据具有非常好的拟合精度.将与原始数据图进行对比,可以发现x和Y之间的线性相关程度比原始样本数据的线性相关程度强得多.
【综合问题解决能力】
通过问题串的形式一步一步探究系数的产生过程,在探究过程中提升学生的综合问题解决能力.
(5)求出非线性模型的经验回归方程
师:将代入②式,得到由创纪录年份预报世界纪录的经验回归方程.成对数据散点图、非线性经验回归方程及经验回归方程的图象如图所示.
生:通过上图发现,散点图中各散点都非常靠近②的图象,表明非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①.
(6)通过残差比较两个经验回归方程对数据刻画的好坏.
生:用表示编号为i的年份数据,用表示编号为的纪录数据,则经验回归方程①和②的残差计算公式分别为
;
.
【分析计算能力】
类比情境分析,让学生独立分析典例问题,加深学生对概念的理解,锻炼学生的分析计算能力.
【师生活动】教师出示这两个经验回归方程的残差表,学生进行观察得到结论.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
t 1896 1921 1921 1930 1936 1956 1960 1968
0.591 -0.284 -0.301 -0.218 -0.196 -0.111 -0.092 0.205
-0.001 0.007 -0.012 0.015 -0.018 0.052 -0.021 -0.022
生:经验回归方程②远远小于①,即经验回归方程②的拟合效果要远远好于①.
师:在一般情况下,直接比较两个模型的残差比较困难,因为在某些散点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小,而另一些散点的情况则相反.可以通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果.由
,
可知小于.因此在残差平方和最小的标准下,非线性回归模型
的拟合效果要优于一元线性回归模型的拟合效果.
师:在本章的第一节我们学习了相关系数r的概念,用它来判断成对变量数据的线性相关性的强弱,还有一个类似的指标——决定系数,用它来刻画模型的拟合效果.
【推测解释能力】
通过教师引导,学生分析残差表,推测得到非线性经验回归方程②的拟合效果要好于线性经验回归方程①,同时经教师进一步分析得到,利用残差的平方和刻画可以刻画模型的拟合效果.提升学生的推测解释能力.
【情境设置】
决定系数
可以用决定系数来比较两个模型的拟合效果,的计算公式为
.
在表达式中,与经验回归方程无关,残差平方和与经验回归方程有关.越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越好;越小,残差平方和越大,即模型的拟合效果越差.
师:在上述问题情境中,男子短跑100m世界纪录和纪录创建年份之间呈现出对数关系,能借助于哪些量来刻画这种关系的强弱吗
生:(1)通过比较残差的平方和刻画这种关系的强弱.残差平方和越小,模型的拟合效果越好.
(2)样本决定系数越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好;越小,表示残差平方和越大,即模型的拟合效果越差,
师:还可以用新的观测数据来检验模型的拟合效果.
事实上,我们还有1968年之后的男子短跑100m世界纪录数据如下表和图.
编号 9 10 11 12 13 14 15
t 1983 1988 1991 1991 1994 1996 1999
Y/s 9.93 9.92 9.90 9.86 9.85 9.84 9.79
编号 16 17 18 19 20 21
t 2002 2005 2007 2008 2008 2009
Y/s 9.78 9.77 9.74 9.72 9.69 9.58
通过上图我们仍然可以发现经验回归方程②对于新数据的预报效果是远远好于①.
师:通过上面问题情境的分析我们总结归纳出解决非线性回归分析问题的一般步骤.
【以学定教】
通过男子短跑100m的世界记录的新数据检验模型拟合效果,得到非线性经验回归方程的预报效果要好于线性经验回归方程,通过以学定教的方式使学生得以理解新知识.
【概括理解能力】
通过师生分析问题、解决问题,将非线性回归分析问题转化为线性回归分析问题,从而得到解决非线性回归分析问题的一般步骤,从后面解决一元线性回归模型的综合应用问题提供理论支撑.提升概括理解能力.
【归纳总结】
解决非线性回归分析问题的一般步骤
师:再来看一道关于非线性回归模型的例题.
【简单问题解决能力】
掌握非线性回归分析问题的解题步骤和验证拟合程度的不同方法,能够通过数学知识,在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.提升简单问题解决能力.
【典例解析】
非线性回归模型的应用
例2 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点,数值如下表.
x 0.25 0.5 1 2 4
y 16 12 5 2 1
试建立y与x之间的回归方程.
师解:由数值表可作散点图如下.
根据散点图可知y与x近似呈反比例函数关系,设,令,则,原数据变为
x 4 2 1 0.5 0.25
y 16 12 5 2 1
由置换后的数据表作散点图如下图.
由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系.列表如下.
1 4 16 64 16 256
2 2 12 24 4 144
3 1 5 5 1 25
4 0.5 2 1 0.25 4
5 0.25 1 0.25 0.0625 1
7.75 36 94.25 21.3125 430
【设活动 深探究】
通过解决例2,学生总结探究出如何选择合适的模型拟合数据.
所以,所以,,
所以g=4.1344t+0.8.因此y与x的回归方程是.
师:本例题中,是怎样选择合适的模型拟合数据的
生:先根据表格中的数据绘制散点图,观察出x和y近似呈反比例函数关系,通过函数变换使y与t近似符合线性相关关系,利用最小二乘法求出y关于t的回归方程,最后再用替换回t,最终得到合适得模型.
师:散点图具有直观性,因而我们在分析数据前往往先作出散点图.获得数据的大致分布规律.在做残差分析时,通过散点图也能找到异常数据和极端数据,初步验证模型拟合的效果,但是想要获得定量的结论,还是要借助决定系数,因为反映了残差平方和的大小.
下面再看一道例题.
【典型例题】
一元线性回归模型的综合应用
例3 某个服装店经营某种服装,在某周内获纯利y(单位:元),与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系如下表.
x/件 3 4 5 6 7 8 9
y/元 66 69 73 81 89 90 91
已知.
(1)求,;
(2)已知纯利y与每天销售件数x之间线性相关,求出y关于x的经验回归方程;
(3)求残差平方和、决定系数.
【概括理解能力】
通过问题引导,目的是为了加深学生对本节课知识的概括总结,培养学生的团结协作的态度和数学建模的核心素养.
【教师要求学生独立完成,在计算机上展示解答过程,并总结】
生解:(1), .
(2)由于y与x有线性相关关系,可设经验回归方程为,
则,.
所以y关于x的经验回归方程为.
【综合问题解决能力】
综合线性回归与非线性回归的模型、回归分析的方法并应用,深层理解数学模型的建立和作用,从而解决实际问题.提升综合问题解决能力.
(3)列出残差表如下:
i 1 2 3 4 5 6 7
66 69 73 81 89 90 91
65.61 70.36 75.11 79.86 84.61 89.36 94.11
0.39 -1.36 -2.11 1.14 4.39 0.64 3.11
所以残差的平方和为.决定系数.
师:通过本节课学习,在使用经验回归方程进行预测时,需要注意下列问题:
(1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体.例如,根据我国父亲身高与儿子身高的数据建立的经验回归方程,不能用来描述美国父亲身高与儿子身高之间的关系.同样,根据生长在南方多雨地区的树高与胸径的数据建立的经验回归方程,不能用来描述北方干旱地区的树高与胸径之间的关系.
(2)经验回归方程一般都有时效性.例如,根据20世纪80年代的父亲身高与儿子身高的数据建立的经验回归方程,不能用来描述现在的父亲身高与儿子身高之间的关系.
(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远.一般解释变量的取值在样本数据范围内,经验回归方程的预报效果会比较好,超出这个范围越远,预报的效果越差.
(4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值.事实上,它是响应变量的可能取值的平均值.
师:通过本节课你学到了哪些知识
【多媒体展示】
【课堂小结】
一元线性回归模型的应用
请回答下列问题:
(1)如何用残差分析一元线性回归模型的有效性
(2)非线性回归模型如何利用线性模型来模拟数据
(3)刻画回归效果的方式有哪些
(4)利用经验回归方程分析数据的实际意义时需要注意什么
【师生活动】对于每个问题,先由学生思考后作答,再生生、师生相互补充完善,其中问题(2)是本节课的重点,要师生共同细致分析模型转化的步骤,可及时类比函数学习中的换元知识.
教学评价
一般地,在利用统计模型解决实际问题时,通常的步骤及注意事项:(1)根据数据结构与特点选择适合的统计模型.例如针对成对样本数据,依据散点图的特点,决定是选择一元线性回归模型,还是某类非线性回归模型.要让学生养成先观察数据特点的习惯,分析是否适合用一元线性回归模型刻画,避免拿到数据直接套用公式估计参数.
(2)利用样本数据估计模型参数,进而得到经验模型.在一元线性回归模型中通常采用最小二乘法估计参数.
应用所学知识,完成下面各题:
1.在对两个变量x,y进行线性回归分析时,有下列步骤:
①对所求出的回归直线方程作出解释;
②收集数据;
③求线性回归方程;
④求相关系数;
⑤根据所搜集的数据绘制散点图.
如果根据可行性要求能够作出变量x,y具有线性相关的结论,则在下列操作顺序中正确的是( )
A.①②⑤③④
B.③②④⑤①
C.②④③①⑤
D.②⑤④③①
答案:D
解析:对两个变量进行回归分析时,首先收集数据,根据所搜集的数据绘制散点图.观察散点图的形状,判断线性相关关系的强弱,求相关系数,写出线性回归方程,最后依据所求出的回归直线方程作出解释;故正确顺序是②⑤④③①.
【设计意图】
引导学生梳理一元线性回归模型内容,让学生体会知识的生成、发展、完善的过程,再通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力解决问题,从而达到数学抽象、数学建模等核心素养目标.
2.“关注夕阳,爱老敬老”,某企业从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金,如表记录了该企业第x年(2013年是第一年)捐赠的现金数y(万元).
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
若由表中数据得到y关于x的经验回归方程是y=mx+0.35,则可预测2020年捐赠的现金大约是( )
A.5.95万元
B.5.25万元
C.5.2万元
D.5万元
答案:A
解析: 由表格中的数据求得.
∴样本点的中心的坐标为,代入,得,解得.
∴经验回归方程为,取,得.
3.已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关,现收集了一只该品种昆虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的7组观测数据,其散点图如图所示.
根据散点图,结合函数知识,可以发现产卵数y和温度x可用方程来拟合,令,结合样本数据可知z与温度x可用经验回归方程来拟合.
根据收集到的数据,计算得到如下值:
27 74 3.537 182 11.9 46.418
表中.
(1)求z关于温度x的经验回归方程(回归系数结果精确到0.001);
(2)求产卵数y关于温度x的回归方程;若该地区一段时间内的气温在26℃~36℃之间(包括26℃与36℃),估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.(参考数据:, , , , )
附:对于一组数据,其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为
解析:(1)由z和温度x可以用经验回归方程拟合,设,
,
.
z关于x的经验回归方程为
(2)由(1)可得,
于是产卵数y关于温度x的回归方程为.
当x=26时,;
当x=36时,.
函数单调递增,
气温在26℃~36℃之间时,该品种一只昆虫的产卵数是[27,341]内的正整数.
【综合问题解决能力】
通过教学评价考查学生掌握非线性回归分析问题的解题步骤,在解决问题的过程锻炼了综合问题解决能力.
教学反思
本设计通过不断提出问题,研究问题,解决问题,使学生在不断探索中体会发现与成功的快乐.
本节课主要通过具体的实际例子,体会线性回归思想在处理实际问题中的应用,通过解决具体实际案例,让学生掌握判断变量是否线性相关的方法和求线性回归方程的具体步骤.
通过本节课的学习培养学生对数据的处理能力和应用数学解决实际问题的数学意识,同时在问题解决的过程中,让学生体会与他人合作的重要性.
【以学定教】结合一元线性回归模型的相关知识及对其的应用,深层理解它们的关系,从而解决问题.
【以学论教】
根据课堂学生实际学习情况和课堂效果总结出在具体实例中让学生体会和理解经验回归方程的实际应用,课后要加强练习进行巩固.
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