人教B版（2019）数学必修第三册【章末复习】平面向量的数量积及应用达标训练（含答案）

平面向量的数量积及应用达标检测
一、单项选择题
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4　　　 　 B．3
C．2　　 　　 D．0
2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
3．若向量＝(1，1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A. B．2
C. D．
4．(2020·贵阳市第一学期监测考试)在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·＝(　　)
A. B．
C. D．
5．(2020·武汉模拟)已知向量|a|＝，向量a与b夹角为，且a·b＝－1，则|a－b|＝(　　)
A． B．2
C． D．4
6．若O为△ABC所在平面内任意一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．(2020·山东济宁一中月考)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则||的最小值为(　　)
A. B．
C．3 D．
8．在Rt△ABC中，∠C是直角，CA＝4，CB＝3，△ABC的内切圆与CA，CB分别切于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若＝x＋y，则x＋y的值可以是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
二、多项选择题
9．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，设a与b的夹角为α，则(　　)
A．若a∥b，则x＝－2
B．若x＝1，则|b－a|＝
C．若x＝－1，则a与b的夹角为60°
D．若a＋2b与a垂直，则x＝3
10．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是(　　)
A．||2＝·
B．||2＝·
C．||2＝·
D．||2＝
11．在△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列说法正确的是(　　)
A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形
B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形
C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形
D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形
12．(2020·山东九校联考)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是(　　)
A．·＝－1
B．＋＝0
C．|＋＋|＝
D．在方向上的投影为
三、填空题
13．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.
14．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于________．
15．(2020·山东师范大学附属中学一模)已知向量a，b，|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.
16.如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，＝2，则·的最小值为________．
四、解答题
17．已知向量a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cos θ)，0＜θ＜π.
(1)若向量a∥b，求θ的值；
(2)若向量a·b＝，求.
18．(2020·徐州模拟)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(sin x，sin x)，函数f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈，f ＝，求sin α的值．
19．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
20．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值(其中k为非零实数)．
21．已知O为△ABC的外心，以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H.
(1)若＝a，＝b，＝c，＝h，试用a，b，c表示h；
(2)证明：⊥；
(3)若△ABC的∠A＝60°，∠B＝45°，外接圆的半径为R，用R表示|h|.
22．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
参考答案
1．B
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.
2．D
解析：∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，
∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．
∵λa＋b与b垂直， ∴(λa＋b)·b＝0，
∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，
即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－.
3．C
解析： 由于F1＋F2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，
所以|F1＋F2|＝＝.
4．A
解析：
方法一：因为|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，
所以·＝0，即∠BAC＝90°.
所以·＝·＝·(＋)＝2＋2＝，故选A.
方法二：因为|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，
所以·＝0，即⊥，
以A为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，1)，E(，)，F(，)，
所以·＝(，)·(，)＝＋＝，故选A.
5．A
解析：由平面向量数量积的定义可知，a·b＝|a|·|b|·cos ＝·|b|·＝－1，
∴|b|＝1，∴|a－b|＝＝＝＝.
故选A.
6．A
解析：∵(－)·(＋－2)＝0，
∴·[(－)＋(－)]＝·(＋)＝0.
设D为边BC的中点，则＋＝2，即·＝0.
由此可得在△ABC中，BC与BC边上的中线垂直，
∴△ABC为等腰三角形．故选A.
7．D
解析：令＝k(0则＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k＝＋(1－k)＝m＋，
所以1－k＝m，＝，所以m＝，
因为△ABC的面积为2，
所以||·||·＝2，所以||·||＝8，
所以||＝＝≥，当
且仅当||＝4时取“＝”，所以||的最小值为.
故选D.
8．B
解析：设△ABC内切圆的圆心为O，半径为r，
连接OD，OE，则OD⊥AC，OE⊥BC，
所以3－r＋4－r＝5，解得r＝1，故CD＝CE＝1，连接DE，
则当x＋y＝1时，P在线段DE上，但线段DE均不在阴影区域内，排除A；
在AC上取点M，在CB上取点N，使得CM＝2CD，CN＝2CE，
连接MN，所以＝＋，则当点P在线段MN上时，＋＝1，故x＋y＝2.
同理，当x＋y＝4或x＋y＝8时，点P不在△ABC内部，排除C，D，故选B.
9．ABD
解析：由a∥b可得x＝－2，故A正确；
若x＝1，则b＝(2,1)，|b－a|＝|(2,1)－(1，－1)|＝＝，故B正确；
当x＝－1时，cos〈a，b〉＝＝＝≠，故C错误；
a＋2b＝(5，－1＋2x)，由5＋(－1)(－1＋2x)＝0，解得x＝3，故D正确．
10．ABD
解析：因为·＝||||cos A＝||||，
由射影定理可得||2＝·，选项A正确；
因为·＝||||cos B＝||||，由射影定理可得||2＝·，选项B正确；
由·＝||||cos (π－∠ACD)<0，||2>0，知选项C错误；
由题图可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以||||＝||||，结合选项A，B可得||2＝，选项D正确．故选ABD.
11．BCD
解析：在△ABC中，＝c，＝a，＝b.
若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；
若a·b＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B正确；
若a·b＝c·b，则b·(a－c)＝0，即·(－)＝0，·(＋)＝0，取AC的中点D，则·＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；
若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则a2＝(c－b)2，即b2＋c2－a2＝2b·c，即＝－cos A，由余弦定理可得cos A＝－cos A，即cos A＝0，即A＝，故△ABC为直角三角形，D正确．
故选BCD.
12．BCD
解析：由题意知E为AB的中点，则CE⊥AB，以E为原点，EA，EC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，)，D，
设O(0，y)，y∈(0，)，则＝(1，y)，＝，
因为∥，所以y－＝－y，
解得y＝，
即O是CE的中点，则＋＝0，所以选项B正确；
|＋＋|＝|2＋|＝||＝，所以选项C正确；
因为CE⊥AB，所以·＝0，所以选项A错误；
＝，＝(1，)．
故在方向上的投影为＝＝，所以选项D正确．故选BCD.
13．答案：
解析：由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 45°＝.
因为向量ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝.
14．答案：－
解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，
∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，
∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为＝－.
15．答案：　6　
解析：设向量a，b的夹角为θ，
因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，
所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，
解得cos θ＝.
又0≤θ≤π，所以θ＝，所以a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6.
16. 答案：5－2
解析：
法一：(几何法)设圆心为O，AB中点为D.
由题意得AB＝2×2×sin ＝2，所以AC＝3.
取AC中点M，连接PM，由题意得
两式平方后相减得·＝2－2＝2－.
要使·最小，就要使PM最小．
连接OM，OD(图略)，易知当圆弧AB的圆心与点P，M共线时，PM最小．
此时DM＝，所以OM＝＝，所以PM的最小值为2－，
代入求得·的最小值为5－2.
法二：(坐标法)如图，设圆弧AB所在圆的圆心为O，则以O为坐标原点，过点O与直线AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系．
连接OA，由已知得OA＝2，则A(－1，)，B(1，)，圆O的方程为x2＋y2＝4.
连接OC，由＝2得BC＝1，故C(2，)，所以OC＝.
设P(x，y)，则由题意可得－1≤x≤1.
易得＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)．
所以·＝(－1－x)(2－x)＋(－y)2
＝x2＋y2－(x＋2y)＋1
＝5－(x＋2y)．
不妨设θ∈，
则·＝5－(2cos θ＋2×2sin θ)
＝5－2(cos θ＋2sin θ)
＝5－2sin(θ＋φ).
因为sin(θ＋φ)的最大值为1，
所以·的最小值为5－2.
17．解：(1)∵a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cos θ)，
∴当a∥b时，1×cos θ＝(－1)×sin θ，
即cos θ＝－sin θ.
∵θ∈(0，π)，∴θ＝ .
(2)∵a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cos θ)，
∴当a·b＝时，1×sin θ＋(－1)×cos θ＝，
可得sin θ－cos θ＝ (sin θ－cos θ)2＝ 1－2sin θcos θ＝，
∴sin θcos θ＝.
∴＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)×
＝sin θcos θ＝.
18．解：∵向量m＝(cos x，sin x)，n＝(sin x，sin x)，
∴函数f(x)＝m·n＝sin xcos x＋sin2x＝＋＝sin＋.
(1)T＝＝π.
(2)f ＝sin＋＝ sin＝，
∵α∈，∴－＜α－＜，
∴cos＝＝＝.
∴sin α＝sin＝sincos ＋cossin ＝×＋×＝.
19．解：(1)由题设知，＝(3，5)，＝(－1，1)，
则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)方法一：由题设知，＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．
由(－t)·＝0，得
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－.
方法二：·＝t2，＝(3，5)，
t＝＝－.
20．解：(1)∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
∴|a|＝＝1，同理|b|＝1.
∵(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，
因此，向量a＋b与a－b垂直；
(2)a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(β－α)，
∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴|ka＋b|2＝|a－kb|2，则
k2a2＋2ka·b＋b2＝a2－2ka·b＋k2b2，
即k2＋2ka·b＋1＝1－2ka·b＋k2，整理得
a·b＝cos(β－α)＝0，
∵0＜β＜α＜π，则0＜α＜π，0＜β＜π，所以，－π＜β－α＜0，∴β－α＝－.
21．解：(1) 由平行四边形法则可得：＝＋＝＋＋，即h＝a＋b＋c.
(2)∵O是△ABC的外心，∴||＝||＝||，即|a|＝|b|＝|c|，
而＝－＝h－a＝b＋c，＝－＝c－b，
∴·＝(b＋c)·(c－b)＝|c|2－|b|2＝0，
∴⊥.
(3)在△ABC中，O为△ABC的外心，∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠BOC＝120°，∠AOC＝90°，
于是∠AOB＝150°，
|h|2＝|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
＝3R2＋2|a|·|b|·cos 150°＋2|b|·|c|·cos 120°＋2|c|·|a|·cos 90°
＝(2－)R2，
∴|h|＝.
22．解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝－t＋t2＋＝t2－t＋1＝＋(0≤t≤1)，
所以当t＝时，|＋|有最小值，最小值为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1.
所以当θ＝时，m·n取得最小值，为1－.