人教B版（2019）数学必修第三册期末复习：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 达标训练（含解析）

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用达标训练
一、单项选择题
1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)
A　　　　　　　　 　B
C　　　　　　　　 　D
2．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f 的值是(　　)
A．－ B．
C．1 D．
3．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
4．要得到函数f(x)＝cos的图象，可将函数g(x)＝sin x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
5．已知函数f(x)＝asin ωx＋acos ωx(a＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则实数a，ω的值分别为(　　)
A．a＝2，ω＝2 B．a＝2，ω＝1
C．a＝2，ω＝ D．a＝2，ω＝
6.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是(　　)
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
7.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，其中M(m,0)，N(n,2)，P(π，0)，且mn<0，则f(x)在下列区间中具有单调性的是(　　)
A. B.
C. D.
8．已知f(x)＝sin同时满足下列三个条件：①|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为；②y＝f是奇函数；③f(0)>f.若f(x)在[0，t)上没有最小值，则实数t的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)在一个周期内的图象如图所示，则(　　)
A．该函数的解析式为y＝2sin
B．该函数的对称中心为，k∈Z
C．该函数的单调递增区间是，k∈Z
D．把函数y＝2sin的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到该函数图象
10．将函数f(x)＝sin 3x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．g(x)在上的最小值为0
B．g(x)在上的最小值为－1
C．g(x)在上的最大值为0
D．g(x)在上的最大值为1
11．已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则下列说法正确的是(　　)
A．A＝2
B．f(x)的最小正周期为6
C．φ＝
D.是f(x)图象的一个对称中心
12．已知函数f(x)＝cos2(ω＞0)的最小正周期为，将f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列结论中正确的是(　　)
A．g(x)为奇函数
B．g(x)的图象关于点对称
C．g(x)的图象关于直线x＝－对称
D．g(x)在上的最大值是
三、填空题
13．若函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________.
14．函数f(x)＝sin x＋cos x的图象向右平移t(t＞0)个单位长度后所得函数为偶函数，则t的最小值为________．
15．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，与y轴的交点坐标是(0,1)．若f(x)的最小正周期是π，则f(x)＝________；若f(x)的图象关于点对称，且在区间上单调递减，则ω的最大值是________．
16．一半径为4 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P0开始计算时间．
(1)当t＝5 s时点P离水面的高度________m；
(2)将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数，则此函数表达式为________．
四、解答题
17．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
18.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，求m的最大值．
19.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；
(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．
20．已知函数f(x)＝asin－2cos2(a＞0)，且满足________．
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；
(2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．
从①f(x)的最大值为1，②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点间的距离等于π，③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．
21.如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
(1)求t＝时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．
22．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1.
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在(1)的条件下，当x∈[0，]时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
参考答案
1．A
解析：令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.
由f ＝0，f ＝0，排除C，故选A.]
2．D
解析：由题意可知该函数的周期为，
∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.
∴f ＝tan ＝.
3．A
解析：把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin＝sin 2x的图象，
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
令k＝1，得≤x≤，即函数g(x)＝sin 2x的一个单调递增区间为.
4．B
解析：f(x)＝cos＝sin＝sin＝sin，
因此只需将函数g(x)＝sin x的图象向左平移个单位长度即可，故选B.
5．C
解析：由f(0)＝2得a＝2，则f(x)＝2sin ωx＋2cos ωx＝2sin.
由f(0)＝f 及结合图形知，函数f(x)在x＝处取得最大值，
∴ω＋＝2kπ＋，k∈Z，
即ω＝12k＋，k∈Z.
∵＞，即＞，∴0＜ω＜3，
∴ω＝，故选C.
6．C
解析：由题意，R＝＝6，T＝60＝，所以ω＝，
t＝0时，点A(3，－3)代入可得－3＝6sin φ，因为|φ|＜，所以φ＝－，故A正确；
f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，
所以点P到x轴的距离的最大值为6，B正确；
当t∈[10,25]时，t－∈，函数y＝f(t)先增后减，C不正确；
当t＝20时，t－＝，P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，D正确．
故选C.
7．B
解析：因为mn<0，所以m、n异号，根据题意可得m<0，n>0，又P(π，0)，所以T>π且<π，即π②当周期无限接近又小于时，图中最高点N的横坐标大于0小于.所以f(x)在区间上先增后减，不单调，故A错；
图中最低点的横坐标大于小于，f(x)在区间上先减后增，不单调，故C错，
因此选B.
8．D
解析：由题意，|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f(x)的最小正周期为π，因此ω＝2.由y＝f是奇函数，且f(0)>f，可得φ的一个值为－，则f(x)＝sin.当x∈[0，t)时，2x－∈，由f(x)在[0，t)上没有最小值，可得t>0，且<2t－≤，解得9．ACD
解析：根据图象看出：A＝2，＝3π，∴ω＝，
∴×＋φ＝，
∴φ＝，
∴该函数的解析式为y＝2sin，∴选项A正确；
∵k＝0时，kπ－＝－，2sin＝2sin≠0，∴选项B错误；
解－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ得，3kπ－≤x≤3kπ＋，k∈Z，
∴该函数的单调递增区间是，k∈Z，∴选项C正确；
将函数y＝2sin的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到y＝2sin，
∴选项D正确．
故选ACD.
10．BD
解析：将函数f(x)＝sin 3x的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)＝sin＝－cos 3x的图象，
当x∈时，3x∈，cos 3x∈[－1,1]，－cos 3x∈[－1,1]，
故g(x)的最大值为1，最小值为－1，
故选BD.
11．ABD
解析：如图，
连接BC，设BC的中点为D，E，F为与点P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知A＝2，A正确；
|PD|＝4，∠BPD＝∠CPD＝，PD⊥BC，所以tan∠BPD＝tan ＝＝＝，所以|BD|＝3，|BC|＝6，f(x)的最小正周期为6，B正确；
ω＝＝，×1＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜，故φ＝，C错误；
由函数f(x)图象的对称性知，xF＝1＋＝，所以F是f(x)图象的一个对称中心，D正确．
故选ABD.
12．BC
解析：f(x)＝cos2＝＋cos，依题意有＝，所以ω＝2，
因此f(x)＝cos＋.将f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，
所以g(x)＝cos＋＝－sin 4x＋.
易知g(x)不是奇函数，故A错误；
令4x＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，当k＝2时，x＝，又g＝，所以g(x)的图象关于点对称，故B正确；
令4x＝＋kπ(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，当k＝－2时，x＝－，所以g(x)的图象关于直线x＝－对称，故C正确；
当x∈时，4x∈，因此sin 4x∈，g(x)∈，所以g(x)在上的最大值为，故D错误．
13．答案：
解析：把函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝cos(2x－π＋φ)的图象．由题意知cos(2x－π＋φ)＝sin，
即sin＝sin，
由0＜φ＜π知φ－＝－，即φ＝.
14．答案：
解析：函数f(x)＝sin x＋cos x＝sin，其图象向右平移t(t＞0)个单位长度后所得函数y＝sin为偶函数，则－t＋＝＋kπ(k∈Z)，即t＝－－kπ(k∈Z)，又t＞0，∴当k＝－1时，tmin＝.
15．答案：2sin 11
解析：由于函数f(x)的图象经过点(0,1)，所以2sin φ＝1，sin φ＝，
由图象及|φ|＜π可知φ＝，于是f(x)＝2sin，
又f(x)的最小正周期是π，所以ω＝＝2，
故f(x)＝2sin.
由f(x)的图象关于点对称，得－ω＋＝nπ，n∈Z，即ω＝－6n＋5，n∈Z，
令＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，
所以f(x)在(k∈Z)上单调递减，
又f(x)在区间上单调递减，
所以(k∈Z)，即(k∈Z)，
即6k－1≤ω≤＋(k∈Z)，
由0＜6k－1≤＋，得＜k≤2，当k＝1时，5≤ω≤，当k＝2时，ω＝11，
又ω＝－6n＋5，n∈Z，所以ω＝5或ω＝11，所以ω的最大值是11.
16．答案：(1)2＋2　(2)h(t)＝4sin＋2(t≥0)
解析：(1)t＝5 s时，水轮转过角度为×5＝，即点P转到点A处，
过点P0，A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N.
在Rt△MOP0中，MP0＝2，∴∠MOP0＝.
在Rt△AON中，∠AON＝，∴AN＝4×sin ＝2，
此时点A(P)离开水面的高度为(2＋2)m.
(2)由题意可知，ω＝＝，
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，
由条件得h(t)＝4sin＋2.
将t＝0，h(0)＝0代入，得4sin φ＋2＝0，
∴φ＝－，
∴所求函数的解析式为h(t)＝4sin＋2(t≥0)．
17．解：(1)因为T＝＝π，所以ω＝2，
又因为f ＝cos＝cos＝－sin φ＝，且－＜φ＜0，
所以φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝cos.
列表：
2x－ － 0 π
x 0 π
f(x) 1 0 －1 0
描点，连线，可得函数f(x)在[0，π]上的图象如图所示．
18．解：(1)由图象可知，A＝2.
因为＝(T为最小正周期)，所以T＝π.
由π＝，解得ω＝2.
又函数f(x)的图象经过点，所以2sin＝2，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
又|φ|＜，所以φ＝.
所以f(x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，m]，所以2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，f(x)单调递增；
所以此时f(x)≥f(0)＝1，符合题意；
当2x＋∈，即x∈时，f(x)单调递减，
所以f(x)≥f ＝1，符合题意；
当2x＋∈时，即x∈时，f(x)单调递减，
所以f(x)＜f ＝1，不符合题意．
综上，若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，则必有0＜m≤，所以m的最大值是.
19．解：(1)由图可得A＝2，＝－＝，
所以T＝π，所以ω＝2.
当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，
因为|φ|＜，所以φ＝.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．
(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，
则g(x)＝2sin＋2cos＝2sin＋2，
令t＝sin，t∈[－1,1]，
记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋，
因为t∈[－1,1]，所以h(t)∈，
即g(x)∈，故a∈.
故a的取值范围为.
20．解：(1)f(x)＝asin－2cos2
＝asin－cos－1
＝asin－cos－1
＝asin＋sin－1
＝(a＋1)sin－1.
若选①，解答过程如下：
因为f(x)的最大值为1，所以a＋1＝2，解得a＝1.
所以f(x)＝2sin－1，函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
若选②，解答过程如下：
因为f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点间的距离等于π，
且函数f(x)的最小正周期T＝＝π，所以－3是函数f(x)的最小值．
因为a＞0，所以a＋1＞0，
所以f(x)的最小值为－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1.
所以f(x)＝2sin－1.
若选③，解答过程如下：
由f ＝0，得(a＋1)sin－1＝(a＋1)sin －1＝0，
即－1＝0，解得a＝1.
所以f(x)＝2sin－1，函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)令f(x)＝1，结合(1)得sin＝1，
解得2x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z.
若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同的解，则x＝或x＝.
所以实数m的取值范围是.
21．解：(1)连接AB，OA，OB，
当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，
即A，B两点间的距离为.
(2)依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos，
即函数关系式为y＝cos(t＞0)，
当t∈时，2t＋∈，所以cos∈，
故当t∈时，y∈.
22．解：(1)函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1＝sin 2ωx＋＋b＋1＝sin(2ωx＋)＋＋b.
因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2ω·＋＝kπ＋，k∈Z，且ω∈[0，3]，所以ω＝1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋＋b.
因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]．
当2x＋∈[，]，即x∈[0，]时，函数f(x)单调递增；
当2x＋∈[，]，即x∈[，]时，函数f(x)单调递减．
又f(0)＝f()，所以当f()>0≥f()或f()＝0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sin≤－b－