人教B版（2019）数学必修第三册期末复习：任意角和弧度制及任意角的三角函数 达标训练（含解析）

任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、单项选择题
1．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　　)
A．(1，) B．(，1)
C．(，) D．(1，1)
2．若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
3．已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝，则m等于(　　)
A．－3 B．3
C． D．±3
4．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　)
A． B．
C． D．
5．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
6．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
7．点P的坐标为(2,0)，射线OP顺时针旋转2 010°后与圆x2＋y2＝4相交于点Q，则点Q的坐标为(　　)
A．(－，) B．(－，1)
C．(－1，) D．(1，－)
8．(2020·开封市模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝(　　)
A．－1 B．－
C． D．
二、多项选择题
9．给出下列四个命题，其中正确的有(　　)
A．－75°角是第四象限角
B．260°角是第三象限角
C．475°角是第二象限角
D．－675°角是第一象限角
10．下列说法错误的是(　　)
A．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度
B．若tan α≥0，则kπ≤α≤＋kπ(k∈Z)
C．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝
D．当2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)时，sin α＜cos α
11．下列命题中正确的是(　　)
A．若角α的终边上有一点P(0，－3)，则角α不是象限角
B．和1 711°均是第一象限角
C．若某扇形的面积为2.5 cm2，半径为r cm，弧长满足2r＋l＝7 cm，则扇形的圆心角的弧度数是
D．若θ∈(0，π)，且角θ与角7θ的终边相同，则θ的值是或
12．已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值可能是(　　)
A．1 B．
C．－ D．－1
三、填空题
13．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.
14．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．
16．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．
四、解答题
17．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
18．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求角α的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试判断tan sin cos 的符号．
19.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
20．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
21．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
参考答案
1．D
解析：设点P的坐标为(x，y)，
则由三角函数的定义得
即
故点P的坐标为(1，1)．
2．D
解析：因为直线y＝－x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为{α|α＝kπ－，k∈Z}．
3．B
解析：sin θ＝＝，且m＞0，解得m＝3.
4．D
解析：点P，即P，
点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，所以θ＝.
5．C
解析：设扇形的半径为R，则×4×R2＝2，
∴R＝1，弧长l＝4，∴扇形的周长为l＋2R＝6.
6．A
解析：∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，
∴sin 2·cos 3·tan 4＜0.
7．B
解析：由题意可知Q(2cos(－2 010°)，2sin(－2 010°))，
因为－2 010°＝－360°×6＋150°，
所以cos(－2 010°)＝cos 150°＝－，
sin(－2 010°)＝sin 150°＝.
所以Q(－，1)，故选B.
8．B
解析：因为角α与角β均以Ox为始边，且它们的终边关于y轴对称，
所以β＝π－α＋2kπ，k∈Z，
则cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2kπ)＝cos(2α－π)＝cos(π－2α)＝－cos 2α，
又sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝，所以cos(α－β)＝－，故选B.
9．ABCD
解析：－75°＝－360°＋285°，是第四象限角，故A正确；
260°＝0·360°＋260°，是第三象限角，故B正确；
475°＝360°＋115°，是第二象限角，故C正确；
－675°＝－2×360°＋45°，是第一象限角，故D正确．
故选ABCD.
10．ABC
解析：对于A，长度等于半径的弦所对的圆心角为弧度，故A错误；
对于B，若tan α≥0，则kπ≤α＜＋kπ(k∈Z)，故B错误；
对于C，若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝±，故C错误；
对于D，当2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)时，sin α＜cos α，故D正确．
11．AD
解析：对于A，因为点P在y轴上，所以角α的终边在y轴负半轴上，所以角α不是象限角，故A正确．
对于B，＝22π＋，因为为第一象限角，所以为第一象限角，由于1 711°＝4×360°＋271°，且271°不是第一象限角，所以1 711°不是第一象限角，故B错误．
对于C，因为解得或所以圆心角的弧度数为＝或5，故C错误．
对于D，因为角θ与角7θ的终边相同，所以7θ＝θ＋2kπ，k∈Z，所以θ＝，k∈Z，所以0＜＜π，k∈Z，所以k＝1,2，所以θ＝或，故D正确，故选AD.
12．BC
解析：因为角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，
所以r＝＝5|m|，所以sin α＝＝，cos α＝＝.
①当m>0时，sin α＝＝，cos α＝＝－，
2sin α＋cos α＝2×－＝；
②当m<0时，sin α＝＝－，cos α＝＝，2sin α＋cos α＝2×＋＝－.
综上知，2sin α＋cos α的值可能是或－.
故答案为BC.
13．答案：120°或－240°
解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°·k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.
14．答案：(－2,3]
解析：由cos α≤0，sin α＞0知，角α的终边落在第二象限内或y轴的非负半轴上．
则有解得－2＜a≤3.
15．答案：4＋2
解析：由题意可得∠AOB＝，OA＝4.
在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，
可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin＝4×＝2，可得弦＝2AD＝4.
所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2.
16．答案：S1＝S2
解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，
则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，
所以S1＝tm·r－S扇形AOB，S2＝tm·r－S扇形AOB，
所以S1＝S2恒成立．
17．解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－；
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝.
(2)当a＞0时，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0.
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
18．解：(1)因为sin α＜0且tan α＞0，所以α是第三象限角，
故角α的集合为.
(2)由(1)知2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
故kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋，n∈Z，即是第二象限角．
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋π，n∈Z，即是第四象限角，
综上，的终边在第二或第四象限．
(3)当是第二象限角时，
tan ＜0，sin ＞0，cos ＜0，
故tan sin cos ＞0，
当是第四象限角时，tan ＜0，sin ＜0，cos ＞0，
故tan sin cos ＞0，
综上，tan sin cos 取正号．
19.解：(1)由题意可得B，
根据三角函数的定义得tan α＝＝－.
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，
故与角α终边相同的角β的集合为.
(3)若α∈，则S扇形＝αr2＝α，
而S△AOB＝×1×1×sin α＝sin α，
故弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sin α，α∈.
20．解：(1)由＝－，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，解得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
21．解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－.
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝.
(2)当a＞0时，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0.
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．