人教B版（2019）数学必修第三册期末复习：三角函数的图象与性质 达标训练（含解析）

三角函数的图象与性质(1)
一、单项选择题
1．当x∈[0，2π]，则y＝＋的定义域为(　　)
A. B.
C. D.
2．下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在及上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在及上是增函数，在上是减函数
3．已知函数f(x)＝sin2x＋sin2，则f(x)的最小值为(　　)
A. B. C. D.
4．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f(x)≤f对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
5．若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2 B． C．1 D．
6．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)
A．3，－1 B．3，－2
C．2，－1 D．2，－2
7．若函数f(x)＝sin x＋cos x在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，则函数g(x)＝cos x－sin x在区间[a，b]上(　　)
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值2 D．可以取得最小值－2
8．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．[4π，6π)
二、多项选择题
9．关于函数f(x)＝sin|x|－|cos x|，下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间上单调递减
C．f(x)的最大值为
D．当x∈时，f(x)＜0恒成立
10．以下函数在区间上为单调递增函数的有(　　)
A．y＝sin x＋cos x B．y＝sin x－cos x
C．y＝sin xcos x D．y＝
11．已知函数f(x)＝sin x·sin－的定义域为[m，n](m＜n)，值域为，则n－m的值不可能是(　　)
A． B． C． D．
三、填空题
12．函数y＝cos的单调递减区间为________．
13．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
14．若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调递减，则实数a的最大值是_________________．
15．如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1，y1)，角β＝α＋的终边与单位圆交于点B(x2，y2)，记f(α)＝y1－y2.若角α为锐角，则f(α)的取值范围是________．
四、解答题
16．已知函数f(x)＝sin.讨论函数f(x)在区间上的单调性并求出其值域．
17．已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
18．已知f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的取值集合．
19．已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
20．在①函数f为奇函数；②当x＝时，f(x)＝；③是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π，____________.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
1．C
解析：
方法一：由题意得所以函数y的定义域为.故选C.
方法二：当x＝π时，函数有意义，排除A，D；当x＝时，函数有意义，排除B.
故选C.
2．B
解析：函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．
故选B.
3．A
解析：f(x)＝sin2x＋sin2
＝sin2x＋
＝sin2x＋cos2x＋sin xcos x
＝＋＋sin 2x
＝1＋
＝1＋sin≥1－＝，
故选A.
4．B
解析：因为f(x)≤f对x∈R恒成立，则f为函数f(x)的最大值，
即2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈(0，2π)，
所以φ＝，所以f(x)＝sin.
令2x＋∈(k∈Z)，则x∈(k∈Z)．
故选B.
5．A
解析：由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，
T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
故选A.
6．D
解析：y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，
则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.
7．D
解析：f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，
g(x)＝cos x－sin x＝2cos＝2sin.
f(x)在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，
不妨令a＋＝，b＋＝，则a＋＋＝π，b＋＋＝2π，
故g(x)在[a，b]上既不是增函数，也不是减函数，
g(x)在[a，b]上可以取得最小值－2，故选D.
8．C
解析：因为x∈[0，1]，ω>0，所以ωx＋∈.
因为f(x)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，
所以4π＋≤ω＋<6π＋，解得≤ω<.
9．ABD
解析：因为f(－x)＝sin|－x|－|cos(－x)|＝sin|x|－|cos x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；
当x∈时，f(x)＝sin|x|－|cos x|＝sin x＋cos x＝sin，又x∈，所以令t＝x＋，则t∈，y＝sin t单调递减，所以B正确；
因为f(x)为偶函数，所以求函数f(x)的最大值可只考虑当x≥0时的情况，又易知当x≥0时，2π是其一个周期，所以只需研究x∈[0，2π]时的情况，则f(x)＝sin x－|cos x|＝＝，则函数f(x)的值域为[－，1]，因此C错误；
当x∈时，f(x)＝sin x－cos x＝sin，则x－∈，所以sin＜0，即f(x)＜0在x∈上恒成立，因为f(x)为偶函数，所以x∈时，f(x)＜0恒成立，故D正确．
综上可知，正确结论是ABD.
10．BD
解析：对于A选项，y＝sin x＋cos x＝sin，当x∈时，x＋∈，
所以，函数y＝sin x＋cos x在区间上不单调；
对于B选项，y＝sin x－cos x＝sin，当x∈时，x－∈，所以，函数y＝sin x－cos x在区间上单调递增；
对于C选项，y＝sin xcos x＝sin 2x，当x∈时，2x∈(0，π)，所以，函数y＝sin xcos x在区间上不单调；
对于D选项，当x∈时，y＝＝tan x，所以，函数y＝在区间上单调递增．
故选B、D.
11．CD
解析：f(x)＝sin x·sin－
＝sin x－
＝sin2x＋sin xcos x－
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－
＝
＝sin.
作出函数f(x)的图象如图所示，在一个周期内考虑问题．
易得或满足题意，
所以n－m的值可能为区间内的任意实数．
所以选项A，B可能，选项C，D不可能．
12．答案：(k∈Z)
解析：因为y＝cos＝cos，
所以令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．
13．答案：
解析：由题意知ω＝，解得ω＝.
14．答案：
解析：
法一：令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)在区间上单调递减，所以a的最大值为.
法二：因为≤x≤a，所以＋≤x＋≤a＋，而f(x)在上单调递减，所以a＋≤，即a≤，所以a的最大值为.
15．答案：
解析：由题意可知y1＝sin α，y2＝sin β＝sin，
所以f(α)＝y1－y2＝sin α－sin＝sin α＋sin α－cos α＝sin α－cos α＝sin.
又因为α为锐角，即0＜α＜，所以－＜α－＜，
所以－＜sin＜，则－＜f(α)＜，
即f(α)的取值范围是.
16．解：令－≤2x－≤，则－≤x≤.
令≤2x－≤π，则≤x≤.
因为－≤x≤，
所以函数f(x)＝sin在区间上单调递增，在区间上单调递减．
当x＝时，f(x)取得最大值为1.
因为f＝－所以当x＝－时，f(x)min＝－.
所以f(x)的值域为.
17．解：(1) f(x)＝cos－2sin xcos x
＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以T＝＝π.
(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤，
因为y＝sin t在上单调递增，
在上单调递减，且sin＜sin，
所以f(x)≥sin＝－，得证．
18．解：(1)f(x)＝2sin＋a＋1，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x＝时，f(x)取得最大值4，
即f＝2sin＋a＋1＝a＋3＝4，所以a＝1.
(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，
可得sin＝－，
则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
解得x＝－，－，，，
所以x的取值集合为.
19．解：f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
20．解：∵函数f(x)的图象相邻对称轴间的距离为π，∴T＝＝2π，∴ω＝1，
∴f(x)＝2sin(x＋φ)．
选条件①.
∵f＝2sin为奇函数，
∴φ－＝kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z.
(1)∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为，.
选条件②.
f ＝2sin＝，∴sin＝，
∴φ＝2kπ，k∈Z或φ＝＋2kπ，k∈Z，
(1)∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为，.
选条件③.
∵π是函数f(x)的一个零点，
∴f ＝2sin＝0，∴φ＝kπ－，k∈Z.
(1)∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为，.