人教B版(2019)数学必修第三册期末复习:三角函数的图象与性质(2)达标训练(含答案)

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名称 人教B版(2019)数学必修第三册期末复习:三角函数的图象与性质(2)达标训练(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-12-04 15:49:40

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文档简介

三角函数的图象与性质(2)
一、单项选择题
1.下列函数中,周期为2π的奇函数为(  )
A.y=sin cos B.y=sin2x
C.y=tan 2x D.y=sin 2x+cos 2x
2.f(x)=tan x+sin x+1,若f(b)=2,则f(-b)=(  )
A.0 B.3
C.-1 D.-2
3.同时具有性质“①最小正周期是π;②图象关于点对称;③在上单调递增”的一个函数可以是(  )
A.y=sin B.y=sin
C.y=cos D.y=sin
4.已知f(x)=sin 2x+|sin 2x|(x∈R),则下列判断正确的是(  )
A.f(x)是周期为2π的奇函数
B.f(x)是值域为[0,2],周期为π的函数
C.f(x)是周期为2π的偶函数
D.f(x)是值域为[-1,1],周期为π的函数
5.已知函数f(x)=sin(0<ω<π),f =0,则函数f(x)的图象的对称轴方程为(  )
A.x=kπ-,k∈Z B.x=kπ+,k∈Z
C.x=kπ,k∈Z D.x=kπ+,k∈Z
6.已知函数f(x)=2cos 4x+1,则下列判断错误的是(  )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的值域为[-1,3]
D.f(x)的图象关于点对称
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象离原点最近的对称轴为x=x0,若满足|x0|≤,则称f(x)为“近轴函数”.若函数y=2sin(2x-φ)是“近轴函数”,则φ的取值范围是(  )
A. B.
C.∪ D.
二、多项选择题
8.已知函数f(x)=,则下列说法错误的是(  )
A.f(x)的周期是
B.f(x)的值域是{y|y∈R,且y≠0}
C.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
D.f(x)的单调递减区间是,k∈Z
9.已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x,则下列结论正确的是(  )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的图象关于点成中心对称
C.f(x)的图象关于直线x=-对称
D.f(x)的单调递增区间是(k∈Z)
10.已知函数f(x)=sin x+cos x,g(x)=2sin x·cos x,则下列结论中正确的是(  )
A.两函数的图象均关于点成中心对称
B.两函数的图象均关于直线x=-成轴对称
C.两函数在区间上都是单调递增函数
D.两函数的最大值相同
三、填空题
11.函数y=tan的图象的对称中心是_______________.
12.已知f(x)=sin-cos,则f(x)的最小正周期为_____________,f(1)+f(2)+…+f(2 020)=____________.
13.已知函数f(x)=2sin+1(x∈R)的图象的一条对称轴为直线x=π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f(x)的最小正周期为_______________.
四、解答题
14.已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
15.在①f(x)的图象关于直线x=对称,②f(x)的图象关于点对称,③f(x)在上单调递增这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的正实数a存在,求出a的值;若a不存在,说明理由.
已知函数f(x)=4sin+a(ω∈N*)的最小正周期不小于,且________,是否存在正实数a,使得函数f(x)在上有最大值3
16.已知函数f(x)=sinsin x-cos2x+.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值;
(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.
17.已知函数f(x)=sin(ωx+φ) (0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M 对称.
(1)求φ,ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)x∈,求f(x)的最大值与最小值.
18.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期为2,且当x=时,f(x)的最大值为2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴?如果存在求出其对称轴.若不存在,请说明理由.
19.已知a=(sin x,cos x),b=(cos x,-cos x),函数f(x)=a·b+.
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.
参考答案
1.答案:A
解析:y=sin2x为偶函数;y=tan 2x的周期为;y=sin 2x+cos 2x为非奇非偶函数,故B,C,D都不正确.故选A.
2.答案:A
解析:因为f(b)=tan b+sin b+1=2,
即tan b+sin b=1.
所以f(-b)=tan(-b)+sin(-b)+1=-(tan b+sin b)+1=0.
3.答案:B
解析:对四个选项中的函数逐一验证:性质①四个选项中的函数都满足;性质②只有选项A,B中的函数满足;进一步验证性质③,只有选项B中的函数满足.故选B.
4.答案:B
解析:当2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z.
即kπ≤x≤kπ+,k∈Z时,sin 2x≥0,则f(x)=sin 2x+|sin 2x|=2sin 2x;
当2kπ+π≤2x≤2kπ+2π,k∈Z,即kπ+≤x≤kπ+π,k∈Z时,sin 2x≤0,f(x)=sin 2x+|sin 2x|=0.
作出函数f(x)的大致图象,如图所示.
根据图象可知f(x)为周期函数,最小正周期为π,函数的值域为[0,2].故选B.
5.答案:C
解析:f(x)=sin=cos ωx,
则f =cos=0,
∵0<ω<π,
∴ω=,解得ω=2,
即f(x)=cos 2x.
由2x=kπ,k∈Z得x=kπ,k∈Z,故选C.
6.答案:D
解析:∵f(-x)=1+2cos 4x=f(x),∴f(x)为偶函数,A判断正确;
令4x=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),当k=1时,x=,则f(x)的图象关于直线x=对称,B判断正确;
∵2cos 4x∈[-2,2],∴f(x)的值域为[-1,3],C判断正确;
f(x)的图象关于点对称,D判断错误.
故选D.
7.答案:C
解析:函数y=2sin 2x的图象离原点最近的对称轴是x=±,
函数y=2sin满足|x0|≤,
当φ>0时,-≤≤+,即≤φ≤,又|φ|≤,所以≤φ≤;
当φ<0时,--≤≤-,即-≤φ≤-,又|φ|≤,所以-≤φ≤-.
综上所述,φ的取值范围是∪,
故选C.
8.答案:ABC
解析:函数f(x)=的周期T==2π,故A错误;
函数f(x)=的值域为[0,+∞),故B错误;
当x=时,x-=≠,k∈Z,即x=不是f(x)图象的对称轴,故C错误;
令kπ-故选ABC.
9.答案:BCD
解析:已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,则:
A.函数f(x)的最小正周期为π,故A错误.
B.由于f =0,函数f(x)图象关于对称,故B正确.
C.当x=-时,f =2sin=-2,故函数f(x)的图象关于直线x=-对称,C正确.
D.当x∈(k∈Z)时,2kπ-≤2x+≤2kπ+,所以函数f(x)在(k∈Z)上是单调增函数,故D正确.
故选BCD.
10.答案:CD
解析:f(x)=sin x+cos x=sin,
g(x)=sin 2x,f=sin=sin 0=0,
则函数f(x)关于点成中心对称.
g=sin=sin=-≠0,
则函数g(x)不关于点成中心对称,故A错误.
f(x)关于成中心对称,g(x)关于x=-成轴对称,故B错误.
若-<x<,则0<x+<,此时函数f(x)为增函数,
若-<x<,则-<2x<,此时函数g(x)为增函数,
即两函数在区间上都是单调递增函数正确,故C正确.
D中,两函数的最大值相同,都为.
11.答案:,k∈Z
解析:由+=(k∈Z),得x=kπ-(k∈Z),即其对称中心为,k∈Z.
12.答案:6 
解析:依题意可得f(x)=2sin x,其最小正周期T=6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0,故f(1)+f(2)+…+f(2 020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=.
13.答案:
解析:由函数f(x)=2sin+1(x∈R)的图象的一条对称轴为直线x=π,可得ωπ-=kπ+,k∈Z,
∴ω=k+,又ω∈(1,2),∴ω=,
∴函数f(x)的最小正周期为=.
14.解:(1)因为f(x)=sin ωx-cos ωx=sin,且T=π,所以ω=2.于是,f(x)=sin.令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).注意到x∈,所以令k=0,得函数f(x)在上的单调递增区间为;同理,其单调递减区间为.
15.解:由于函数f(x)的最小正周期不小于,所以≥,所以1≤ω≤6,ω∈N*.
若选择①,即f(x)的图象关于直线x=对称,则有ω+=kπ+(k∈Z),解得ω=k+(k∈Z),由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,所以k=3,ω=4.
此时,f(x)=4sin+a.
由x∈,得4x+∈,因此当4x+=,即x=时,f(x)取得最大值4+a,令4+a=3,解得a=-1,不符合题意.
故不存在正实数a,使得函数f(x)在上有最大值3.
若选择②,即f(x)的图象关于点对称,则有ω+=kπ(k∈Z),
解得ω=k-(k∈Z),由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,所以k=1,ω=3.
此时,f(x)=4sin+a.
由x∈,得3x+∈,因此当3x+=,即x=时,f(x)取得最大值4sin +a=++a,令++a=3,解得a=3--,不符合题意.
故不存在正实数a,使得函数f(x)在上有最大值3.
若选择③,即f(x)在上单调递增,
则有(k∈Z),解得
由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,所以ω=1.
此时,f(x)=4sin+a,
由x∈,得x+∈,因此当x+=,即x=时,f(x)取得最大值2+a,令2+a=3,解得a=3-2,符合题意.
故存在正实数a,使得函数f(x)在上有最大值3.
16.解:(1)f(x)=cos xsin x-(2cos2x-1)=sin 2x-cos 2x=sin.
当2x-=+2kπ(k∈Z),即x=π+kπ(k∈Z)时,函数f(x)取最大值,且最大值为1.
(2)由(1)知,函数f(x)图象的对称轴为x=π+kπ(k∈Z),
所以当x∈(0,π)时,对称轴为x=π.
又方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2.
所以x1+x2=π,则x1=π-x2,
所以cos(x1-x2)=cos=sin,
又f(x2)=sin=,
故cos(x1-x2)=.
17.解:(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)是R上的偶函数,所以φ=+kπ,k∈Z,且0≤φ≤π,则φ=,即f(x)=cos ωx.
因为图象关于点M对称,
所以ω×=+kπ,k∈Z,且0<ω<1,所以ω=.
(2)由(1)得f(x)=cos x,
由-π+2kπ≤x≤2kπ且k∈Z得,3kπ-≤x≤3kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的递增区间是,k∈Z.
(3)因为x∈,所以x∈,
当x=0时,即x=0,函数f(x)的最大值为1,
当x=-时,即x=-,函数f(x)的最小值为0.
18.解:(1)由T=2知=2得ω=π.
又当x=时f(x)max=2,知A=2.
且+φ=2kπ+(k∈Z),故φ=2kπ+(k∈Z).
∴f(x)=2sin=2sin.
(2)存在.令πx+=kπ+(k∈Z),
得x=k+(k∈Z).
由≤k+≤.得≤k≤,又k∈Z,∴k=5.
故在上存在f(x)的对称轴,其方程为x=.
19.解:(1)f(x)=a·b+
=(sin x,cos x)·(cos x,-cos x)+
=sin x·cos x-cos2x+
=sin 2x-cos 2x=sin.
令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+π(k∈Z),
即函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=+π(k∈Z).
(2)由(1)及已知条件可知(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于x=对称,
则x1+x2=,
∴cos(x1-x2)=cos
=cos=cos
=sin=f(x1)=.