人教B版（2019）数学必修第三册期末复习：三角恒等变换 达标训练（含解析）

三角恒等变换(1)
一、单项选择题
1.若sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
2.的值为(　　)
A． B．
C．－ D．－
3．已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin 2θ＝(　　)
A. B.
C. D.
4．已知α满足sin α＝，则coscos＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
5．若α∈(0，π)，且sin α＋2cos α＝2，则tan＝(　　)
A． B．
C． D．
6．已知tan＝－2，则＝(　　)
A．2 B．
C．－2 D．－
7．如图，点A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交点是C，点B的坐标为，∠AOC＝α.若|AB|＝1，则sin α＝(　　)
A. B．
C. D．
8．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)
A．8 B．4 C．2 D．1
二、多项选择题
9．下列选项中，值为的是(　　)
A．cos 72°cos 36° B．sinsin
C．＋ D．－cos215°
10．下列四个命题中是真命题的是(　　)
A． x∈R，sin2＋cos2＝
B． x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y
C． x∈[0，π], ＝sin x
D．sin x＝cos y x＋y＝
11．已知cos＝，则sin＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
12．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则(　　)
A．cos β＝ B．sin β＝
C．cos(α－β)＝ D．sin(α－β)＝－
三、填空题
13．已知sin＝，α∈，则cos的值为________．
14．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________.
15．化简：＝________.
16．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________．
四、解答题
17．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上．
(1)求cos 2α的值；
(2)已知α∈，sin＝，－<β<0，求sin(α－2β)的值．
18．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值．
19．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
20．已知函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．
21．已知α∈，β∈，cos＝，cos＝.
(1)求sin 2α的值；
(2)求cos(α＋β)的值．
参考答案
1．C
解析：因为sin θ＝cos(2π－θ)＝cos θ，所以tan θ＝，
所以tan 2θ＝＝＝－.
2．B
解析：原式＝＝＝tan(45°＋15°)＝.
3．C
解析：因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cos θ.
又|θ|<，故sin θ＝，cos θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，
故选C.
4．A
解析：[coscos＝coscos
＝sin·cos
＝sin
＝cos 2α
＝(1－2sin2α)
＝＝，
故选A.
5．A
解析：由二倍角公式，得sin α＋2cos α＝2sincos ＋2＝2，
化简可得2sincos＝4sin2，
∵α∈(0，π)，∴∈，
∴sin≠0，∴cos＝2sin，∴tan＝.
6．D
解析：∵tan α＝tan＝＝＝3，
∴＝＝＝＝＝－，
故选D.
7．B
解析：∵A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交点是C，点B的坐标为，由2＋2＝1知圆O的半径为1，
∵∠AOC＝α，|AB|＝1，故△AOB为等边三角形，∠BOC＝60°－α，
cos∠BOC＝cos(60°－α)＝，sin∠BOC＝sin(60°－α)＝.
则sin α＝sin[60°－(60°－α)]＝sin 60°cos(60°－α)－cos 60°sin(60°－α)＝×－×＝，故选B.
8．C
解析：因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，
所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.
所以＝
＝＝＝＝2.
故选C.
9．AB
解析：对于A，cos 36°cos 72°＝＝＝＝，故A正确；
对于B，sinsin＝sincos＝×2sincos＝sin＝，故B正确；
对于C，原式＝＝＝＝＝4，故C错误；
对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°＝－，故D错误．
故选AB.
10．BC
解析：因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；
当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以B为真命题；
因为 ＝ ＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；
当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题．
故选BC.
11．AD
解析：由cos＝，得sin＝±.
所以sin＝2sincos＝±，
即sin＝－sin＝－sin＝±.
故选AD.
12．AC
解析：因为α∈，cos α＝，所以sin α＝，
又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以sin(α＋β)＝＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－＋＝，A正确．
sin β＝，B错误．
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，C正确．
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，D错误．
13．答案：－
解析：由已知得cos α＝，sin α＝－，
所以cos＝cos α＋sin α＝－.]
14．答案：5
解析：因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，
所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝＝5.
15．答案：－1
解析：＝＝＝－1.
16．答案：
解析：因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.
所以cos 2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝＋＝＋＝.
17．解：(1)由题意得，tan α＝2，
∴cos 2α＝＝＝＝－.
(2)由且α∈，
解得sin α＝，cos α＝.
又sin＝，β＋∈，
∴cos＝.
∴cos β＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
则cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝，
sin 2β＝－＝－.
∴sin(α－2β)＝sin αcos 2β－cos αsin 2β
＝×－×＝.
18．解：(1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.
又∵tan(α－β)＝－＜0，
∴－＜α－β＜0.
∴sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.
∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
19．解：(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－，
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得
cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
20．解：(1)f＝sin＝sin＝－.
(2)f＝sin＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．
因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，
所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)＝×＝.
21．解：(1)由cos＝，可得sin 2α＝－cos 2＝1－2cos2＝1－2×＝.
(2)由α∈，β∈，可得α＋∈，β－∈，
则sin＝＝＝；
sin＝－＝－＝－，
∴cos(α＋β)＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.