人教B版（2019）数学必修第三册期末复习：三角恒等变换 达标训练（含解析）

三角恒等变换(2)
一、单项选择题
1．tan 15°－＝(　　)
A．－ B．2
C．－2 D．4
2．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　)
A．－ B．
C． D．
3．已知α，β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则(　　)
A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)
B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)
C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)
D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)
4．若cos 78°＝m，则sin(－51°)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
5．已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝(　　)
A． B．
C． D．
6．在上，满足方程sin＝cos的x值为(　　)
A． B．±
C． D．±
7．已知cos＝－，则sin的值为(　　)
A． B．±
C．－ D．
8．若α∈(0,2π)，则满足4sin α－＝4cos α－的所有α的和为(　　)
A． B．2π
C． D．
二、多项选择题
9．下列各式的值等于的是(　　)
A．2sin 67.5°cos 67.5° B．2cos2－1
C．1－2sin215° D．
10．下列四个等式，其中正确的是(　　)
A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝
B．＝1
C．cos2－sin2＝
D．－＝4
11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设θ＝∠BAC，现有下述四个结论正确的是(　　)
A．水深为12尺 B．芦苇长为15尺
C．tan ＝ D．tan＝－
三、填空题
12．已知θ∈，且sin＝，则tan θ＝________，tan 2θ＝________.
13．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________.
14．函数y＝sin xcos的最小正周期是________．
15．已知0＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则log5tan2β－logtan α＝________．
四、解答题
16．已知coscos＝－，α∈.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－的值．
17．已知0＜α＜＜β＜π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos的值．
18．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求tan 2α的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
19．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
20．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
21．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
参考答案
1．C
解析：tan 15°－＝－＝＝＝－2，
故选C.
2．D
解析：由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，
得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.
故选D.
3．A
解析：因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，
sin 2α＝2sin 2β，
所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，
展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)]，
整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，
两边同时除以cos(α＋β)cos(α－β)，
得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，
故选A.
4．A
解析：由cos 78°＝m，得cos 102°＝cos(180°－78°)＝－cos 78°＝－m.
又cos 102°＝1－2sin251°，
∴sin251°＝，
∴sin 51°＝，
∴sin(－51°)＝－sin 51°＝－，
故选A.
5．C
解析：sin2＋cos＝＋＝，
整理得sin A＝.
又A，B均为钝角，∴cos A＝－，cos B＝－，
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝×－×＝.
又π＜A＋B＜2π，
∴A＋B＝，
故选C.
6．C
解析：由sin＝cos得cos 2x＝sin x，
即2sin2x＋sin x－1＝0，
解得sin x＝或sin x＝－1.
由于x∈，
∴sin x＝，
∴x＝，
故选C.
7．B
解析：∵cos＝－，
∴cos＝cos＝－cos＝，
即1－2sin2＝，
即sin2＝，
∴sin＝±.
8．D
解析：由4sin α－＝4cos α－得4(sin α－cos α)＝－＝.
∴sin α－cos α＝0或4sin αcos α＝1，
即tan α＝1或sin 2α＝.
∵α∈(0,2π)，
∴α＝，，，，，，
∴满足条件的所有α的和为＋＋＋＋＋＝，
故选D.
9．BC
解析：选项A，2sin 67.5°cos 67.5°＝sin 135°＝.
选项B，2cos2－1＝cos ＝.
选项C，1－2sin215°＝cos 30°＝.
选项D，＝tan 45°＝1.
故选BC.
10．AD
解析：对A：tan 60°＝tan(25°＋35°)＝＝，
故tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝，故正确；
对B：＝tan 45°＝，故错误；
对C：cos2－sin2＝cos＝，故错误；
对D：－＝＝＝＝4，故正确．
故选AD.
11．ABD
解析：设BC＝x尺，则AC＝(x＋1)尺，
在Rt△ABC中，因为AB＝5，
所以52＋x2＝(x＋1)2，所以x＝12.所以水深为12尺，芦苇长为13尺．
所以tan θ＝，所以tan θ＝＝，解得tan ＝(负根舍去)，
因为tan θ＝，所以tan＝＝－，
故正确的结论为ABD.
12．答案：　－
解析：
法一：由sin＝，得sin θ－cos θ＝，可得2sin θcos θ＝，
又θ∈，可求得sin θ＋cos θ＝，
∴sin θ＝，cos θ＝，
∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
法二：∵θ∈且sin＝，
∴cos＝，
∴tan＝＝，解得tan θ＝.
故tan 2θ＝＝－.
13．答案：－π
解析：依题意有
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
又
∴tan α＜0且tan β＜0，
∴－＜α＜0且－＜β＜0，
即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，
得α＋β＝－.
14．答案：π
解析：y＝sin xcos
＝sin xcos x－sin2x
＝sin 2x－·
＝sin－，
故函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
15．答案：－2
解析：log5tan2β－logtan α＝2log5tan β－2log5tan α＝2log5.
因为0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，
又因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝，
因为sin(α＋β)＝，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，
又因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，
所以两式相加得sin αcos β＝，两式相减得cos αsin β＝，则＝，
分子、分母同时除以cos βcos α，得＝，
所以log5tan2β－logtan α＝2log5＝－2.
16．解：(1)coscos
＝cossin
＝sin＝－，
即sin＝－.
∵α∈，∴2α＋∈，
∴cos＝－，
∴sin 2α＝sin
＝sincos －cossin
＝－×－×＝.
(2)∵α∈，∴2α∈，
又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.
∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.
17．解：(1)∵cos＝cos cos β＋sin sin β＝cos β＋sin β＝，
∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝，
∴sin 2β＝－.
(2)∵0＜α＜＜β＜π，∴＜β－＜，＜α＋β＜，
∴sin＞0，cos(α＋β)＜0.
∵cos＝，sin(α＋β)＝，
∴sin＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos
＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×＝.
18．解：(1)角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，
它的终边过点P，
∴tan α＝＝，cos α＝－，sin α＝－，
∴tan 2α＝＝＝－.
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，则cos(α＋β)＝±＝±.
当cos(α＋β)＝时，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝－.
当cos(α＋β)＝－时，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
19．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.
又2α∈，所以cos 2α＝ ＝，
所以tan 2α＝＝.
(2)因为β∈，所以β－∈，
又sin＝，所以cos＝，
于是sin 2＝2sin·cos＝.
又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－，
又2β∈，所以sin 2β＝，
又cos2α＝＝，α∈，
所以cos α＝，sin α＝.
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝×－×
＝－.
20．解：连接OB(图略)，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于原点O对称，
所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈，所以当sin 2θ＝1，
即θ＝时，Smax＝400(m2)．
此时AO＝DO＝10(m)．
故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
21．解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.
(2)由f＝2cos＝2cos＝－2sin α＝－，
得sin α＝，又α∈，
所以cos α＝.
由f＝2cos(β－＋)＝2cos β＝，
得cos β＝，又β∈，所以sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.