人教B版（2019）数学必修第三册期末复习：同角三角函数的基本关系与诱导公式 达标训练（含解析）

同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、单项选择题
1．已知f(α)＝，则f＝(　　)
A． B．
C． D．－
2．cos＝，则sin等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
3．已知角α是第二象限角，且满足sin＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝(　　)
A． B．－
C．－ D．－1
4．若tan α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
5．(2020·湖南雅礼中学模拟)若sin α＋cos α＝1(0＜α＜π)，则3sin α－cos α＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．3
6．(2020·九江二模)已知＝2，则tan α＝(　　)
A．－ B．
C． D．2
7．已知sin θ＝，cos θ＝－，若θ是第二象限角，则tan θ的值为(　　)
A．－ B．2
C．－ D．－
8．若＋＝，则sin αcos α＝(　　)
A．－ B．
C．－或1 D．或－1
二、多项选择题
9．(2020·潍坊月考)下列化简正确的是(　　)
A．tan(π＋1)＝tan 1
B．＝cos α
C．＝tan α
D．＝1
10．若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　　)
A．tan α＝ B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－
11．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)
A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝
C．tan β＝ D．tan β＝
12．已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子化简的结果为－cos θ，则(　　)
A．sin θ>0，tan θ>0 B．sin θ<0，tan θ>0
C．sin θ<0，tan θ<0 D．sin θ>0，tan θ<0
三、填空题
13．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________.
14．已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为__________.
15．若f(x)＝sin＋1，且f(2 020)＝2，则f(2 021)＝________.
16．已知α，β∈(0，2π)且α<β，若关于x的方程(x＋sin α)(x＋sin β)＋1＝0有实数根，则代数式＝________．
四、解答题
17．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin 2α.
18．已知α为第三象限角，f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值．
19．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0,2π)．
(1)求＋的值；
(2)求m的值；
(3)求方程的两根及此时θ的值．
20．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
21．在△ABC中，
(1)求证：cos2＋cos2 ＝1；
(2)若cossintan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．
参考答案
1．答案：A
解析：f(α)＝＝＝＝cos α，
则f＝cos＝.
2．答案：A
解析：sin＝sin＝cos＝.
3．答案：B
解析：由sin＋3cos(α－π)＝1，
得cos α－3cos α＝1，所以cos α＝－，
因为角α是第二象限角，所以sin α＝，
所以tan(π＋α)＝tan α＝＝－.
4．答案：D
解析：∵tan α＝，
∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝＝＝－，
故选D.
5．答案：D
解析：∵sin α＋cos α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1，
∴2sin αcos α＝0.
∵0＜α＜π，
∴cos α＝0，sin α＝1，
∴3sin α－cos α＝3，故选D.
6．答案：A
解析：由＝2得sin α＝2＋2cos α，
两边平方得sin2α＝4＋8cos α＋4cos2α，
即1－cos2α＝4＋8cos α＋4cos2α，
整理得5cos2α＋8cos α＋3＝0，
解得cos α＝－或cos α＝－1(舍去)，
∴sin α＝2－2×＝，
∴tan α＝＝－，故选A.
7．答案：C
解析：由sin2θ＋cos2θ＝1得2＋2＝1，
整理得a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4.
又θ是第二象限角，∴a＝4.
∴sin θ＝，cos θ＝－，
∴tan θ＝＝－，故选C.
8．答案：A
解析：由＋＝得sin α＋cos α＝sin αcos α.
两边平方得1＋2sin αcos α＝3sin2αcos2α，
解得sin αcos α＝－或sin αcos α＝1，
由题意知－1＜sin α＜1，－1＜cos α＜1，且sin α≠0，cos α≠0，
所以sin αcos α≠1，故选A.
9．答案：AB
解析：由诱导公式可得tan(π＋1)＝tan 1，故A正确；
＝＝cos α，故B正确；
＝＝－tan α，故C不正确；
＝＝－1，故D不正确．
故选AB.
10．答案：AB
解析：因为sin α＝，且α为锐角，
所以cos α＝＝ ＝，故B正确，
所以tan α＝＝＝，故A正确，
所以sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误，
所以sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误．
11．答案：AC
解析：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，若α＋β＝，则β＝－α.
A中，sin β＝sin＝cos α＝±，故A符合条件；
B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sin α＝－，故B不符合条件；
C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故C符合条件；
D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故D不符合条件．故选AC.
12．答案：BD
解析：＝＝＝|cos θ|＝－cos θ，
所以cos θ<0，角θ的终边落在第二或三象限，
所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0，故选BD.
13．答案：
解析：因为tan A＝＞0，所以A为锐角，
由tan A＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，
可求得sin A＝.
14．答案：－
解析：原式＝＝tan α，
根据三角函数的定义得tan α＝－.
15．答案：1
解析：由题意知，f(2 020)＝sin(1 010π＋α)＋1＝sin α＋1＝2，
∴sin α＝1，∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝0，
∴f(2 021)＝sin＋1＝sin＋1＝cos α＋1＝1.
16．答案：
解析：整理方程(x＋sin α)(x＋sin β)＋1＝0得x2＋x(sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0.
由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0，
即(sin α－sin β)2≥4①.
因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2，2]，从而(sin α－sin β)2≤4②.
由①②得sin α－sin β＝±2，所以或
因为α，β∈(0，2π)且α<β，所以α＝，β＝，即
因此＝＝＝.
17．解：　由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝
＝＝.
18．解：(1)f(α)＝＝＝－cos α.
(2)因为cos＝，所以－sin α＝，
从而sin α＝－.
又α为第三象限角，所以cos α＝－＝－，所以f(α)＝－cos α＝.
19．解：(1)由根与系数的关系可知
而＋＝＋＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由①两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，将②代入，得m＝.
(3)当m＝时，原方程变为2x2－(1＋)x＋＝0，解得x1＝，x2＝，
则或
∵θ∈(0,2π)，∴θ＝或θ＝.
20．解：假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件．
21．证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
所以＝－，
所以cos＝cos＝sin ，
所以cos2＋cos2＝1.
(2)若cossintan(C－π)＜0，
所以(－sin A)(－cos B)tan C＜0，
即sin Acos Btan C＜0.
因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，
所以或
所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．