人教B版（2019）数学必修第三册综合复习：平面向量的数量积与平面向量的综合应用 达标训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）数学必修第三册综合复习：平面向量的数量积与平面向量的综合应用 达标训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 66.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-04 15:59:06 | ||
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文档简介
平面向量的数量积与平面向量的综合应用
一、选择题
1．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a·b＝0是α＝kπ＋(k∈Z)的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝( )
A. B．1 C. D．2
4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|等于( )
A．2 B. C. D．2
5．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A. B. C. D.
6．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点P满足CP＝2，则·的最大值为( )
A．9 B．16 C．18 D．25
7．(2020届河北唐山一中高三月考)在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为( )
A. B. C．4 D．6
8．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )
A.－1 B.＋1
C．2 D．2－
9．(2020届江西抚州临川区第一中学高三月考)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是( )
A．1 B. C. D．2
二、填空题
10．在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1)，若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t＝________．
11．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
12．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，AB＝1，D为BC的中点，E在斜边AC上，若＝2，则·＝________．
13．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影为________．
14．(2020届辽宁本溪高级中学高三月考)在△ABC中，AB＝2AC＝6，·＝2，点P是△ABC所在平面内一点，则当2＋2＋2取得最小值时，·＝________．
15．在△ABC中，A＝，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，且满足||＝||＝||.设＝m＋n，则m＝________，n＝________．
三、解答题
16．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
17．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
参考答案
1．B
解析：选B ∵a·b＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos2α－sin2α＝cos 2α，若a·b＝0，则cos 2α＝0，∴2α＝2kπ±(k∈Z)，解得α＝kπ±(k∈Z)．∴a·b＝0是α＝kπ＋(k∈Z)的必要不充分条件．故选B.
2．B
解析：向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，则ka－2b＝(k－4，k＋6)．若ka－2b与a垂直，则k－4＋k＋6＝0，解得k＝－1.故选B.
3．A
解析：由题意得a·b＝|a|×1×＝.又|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，即4|a|2－2|a|＝0.又|a|≠0，解得|a|＝.故选A.
4．A
解析：根据题意，得|a－b|＝＝，则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b ＝5－2a·b＝5，所以a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2，得|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，所以|2a－b|＝2.故选A.
5．D
解析：设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0.故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝.设向量a＋b与a的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝.又0≤θ≤π，所以θ＝.故选D.
6．B
解析：∵∠C＝90°，AB＝6，∴·＝0，∴|＋|＝|－|＝||＝6，∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝·(＋)＋4，∴当与＋方向相同时，·(＋)取得最大值2×6＝12，∴·的最大值为16.故选B.
7．B
解析：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝，所以S△BOC＝ar＝×7×＝.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝.故选B.
8．A
解析：设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故选A.
9．B
解析：∵点C在以O为圆心的圆弧AB上，∴||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，∴x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，故x＋y的最大值为.故选B.
10．3
解析：由已知，得·＝0，则(3－t，t＋1)·(－3－t,0)＝0，∴(3－t)(－3－t)＝0，解得t＝3或t＝－3，当t＝－3时，点B与点C重合，舍去．故t＝3.
11．2
解析：|a＋2b|＝＝＝
＝＝2.
12.
解析：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)，所以＝(－1,2)．因为D为BC的中点，所以D(0,1)．因为＝2，所以E，所以＝，所以·＝·(－1,2)＝－＋＝.
13．－
解析：向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，
∴|a＋b|＝＝＝＝，解得a·b＝－1.
∴a在b方向上的投影为＝＝－.
14．－9
解析：∵·＝||·||·cos∠ABC＝||2，∴||·cos∠ABC＝||＝6，∴⊥，即∠BAC＝，以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，则2＋2＋2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2＝3x2－12x＋3y2－6y＋45＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10]，∴当x＝2，y＝1时，2＋2＋2取得最小值，此时P点坐标为(2,1)，∴＝(2,1)，∴·＝(2,1)·(－6,3)＝－9.
15.
解析：由||＝||＝||，得点O是△ABC的外心，则
又因为·＝10×6×＝30，将＝m＋n代入中，
得所以
16．解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.
∴cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.
(3)∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.
17．解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，解得t＝－.
一、选择题
1．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a·b＝0是α＝kπ＋(k∈Z)的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝( )
A. B．1 C. D．2
4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|等于( )
A．2 B. C. D．2
5．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A. B. C. D.
6．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点P满足CP＝2，则·的最大值为( )
A．9 B．16 C．18 D．25
7．(2020届河北唐山一中高三月考)在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为( )
A. B. C．4 D．6
8．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )
A.－1 B.＋1
C．2 D．2－
9．(2020届江西抚州临川区第一中学高三月考)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是( )
A．1 B. C. D．2
二、填空题
10．在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1)，若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t＝________．
11．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
12．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，AB＝1，D为BC的中点，E在斜边AC上，若＝2，则·＝________．
13．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影为________．
14．(2020届辽宁本溪高级中学高三月考)在△ABC中，AB＝2AC＝6，·＝2，点P是△ABC所在平面内一点，则当2＋2＋2取得最小值时，·＝________．
15．在△ABC中，A＝，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，且满足||＝||＝||.设＝m＋n，则m＝________，n＝________．
三、解答题
16．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
17．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
参考答案
1．B
解析：选B ∵a·b＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos2α－sin2α＝cos 2α，若a·b＝0，则cos 2α＝0，∴2α＝2kπ±(k∈Z)，解得α＝kπ±(k∈Z)．∴a·b＝0是α＝kπ＋(k∈Z)的必要不充分条件．故选B.
2．B
解析：向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，则ka－2b＝(k－4，k＋6)．若ka－2b与a垂直，则k－4＋k＋6＝0，解得k＝－1.故选B.
3．A
解析：由题意得a·b＝|a|×1×＝.又|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，即4|a|2－2|a|＝0.又|a|≠0，解得|a|＝.故选A.
4．A
解析：根据题意，得|a－b|＝＝，则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b ＝5－2a·b＝5，所以a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2，得|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，所以|2a－b|＝2.故选A.
5．D
解析：设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0.故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝.设向量a＋b与a的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝.又0≤θ≤π，所以θ＝.故选D.
6．B
解析：∵∠C＝90°，AB＝6，∴·＝0，∴|＋|＝|－|＝||＝6，∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝·(＋)＋4，∴当与＋方向相同时，·(＋)取得最大值2×6＝12，∴·的最大值为16.故选B.
7．B
解析：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝，所以S△BOC＝ar＝×7×＝.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝.故选B.
8．A
解析：设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故选A.
9．B
解析：∵点C在以O为圆心的圆弧AB上，∴||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，∴x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，故x＋y的最大值为.故选B.
10．3
解析：由已知，得·＝0，则(3－t，t＋1)·(－3－t,0)＝0，∴(3－t)(－3－t)＝0，解得t＝3或t＝－3，当t＝－3时，点B与点C重合，舍去．故t＝3.
11．2
解析：|a＋2b|＝＝＝
＝＝2.
12.
解析：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)，所以＝(－1,2)．因为D为BC的中点，所以D(0,1)．因为＝2，所以E，所以＝，所以·＝·(－1,2)＝－＋＝.
13．－
解析：向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，
∴|a＋b|＝＝＝＝，解得a·b＝－1.
∴a在b方向上的投影为＝＝－.
14．－9
解析：∵·＝||·||·cos∠ABC＝||2，∴||·cos∠ABC＝||＝6，∴⊥，即∠BAC＝，以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，则2＋2＋2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2＝3x2－12x＋3y2－6y＋45＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10]，∴当x＝2，y＝1时，2＋2＋2取得最小值，此时P点坐标为(2,1)，∴＝(2,1)，∴·＝(2,1)·(－6,3)＝－9.
15.
解析：由||＝||＝||，得点O是△ABC的外心，则
又因为·＝10×6×＝30，将＝m＋n代入中，
得所以
16．解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.
∴cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.
(3)∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.
17．解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，解得t＝－.