人教B版（2019）数学必修第三册综合复习：任意角、弧度制及任意角的三角函数达标训练（含答案）

任意角、弧度制及任意角的三角函数
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．
其中正确的命题有(　　)
A．1个　　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
2．(2020届湖南高三月考)若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为(　　)
A. B. C. D.
3．已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝，则m等于(　　)
A．－3 B．3 C. D．±3
4．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　)
A．(－，) B．(－，－)
C．(－，－) D．(－，)
5．(2020届湖北荆州中学高三月考)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，3] B．(－2，3)
C．[－2，3) D．[－2，3]
6．已知角α的终边上一点P的坐标为(sin，cos)，则角α的最小正值为(　　)
A. B. C. D.
7．若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　)
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C．α＋β＝2k·180°，k∈Z
D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
8．已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x的可能区间是(　　)
A．(，π) B．(－，)
C．(－，) D．(－，)
9．(2020届山东济宁一中高三月考)若α是第三象限角，则y＝＋的值为(　　)
A．0 B．2 C．－2 D．2或－2
二、填空题
10．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________(其中t∈[0，60])，d的最大值为________cm.
11．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，若P(m，n)是角α的终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为3米的弧田，如图2所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是________平方米(结果保留整数，≈1.73)．
图1　　　　　　　　　图2
三、解答题
13．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
14．如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转，点Q按顺时针方向每秒钟转，求点P，Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P，Q各自走过的弧长．
参考答案
1．C
解析：－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．B
解析：设扇形的圆心角为α，则由扇形的面积为，半径为1，知＝αl2，解得α＝ .故选B.
3．B
解析：sin θ＝＝，且m>0，解得m＝3.故选B.
4．A
解析：由三角函数定义可知点Q的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.故选A.
5．A
解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴解得－26．D
解析：由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.故选D.
7．C
解析：因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.故选C.
8．D
解析：由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x＜0，即sin x＜cos x，所以－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是.故选D.
9．A
解析：因为α是第三象限角，所以2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)，所以kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)，所以是第二象限角或第四象限角．当是第二象限角时，y＝－＝0；当是第四象限角时，y＝－＋＝0.故选A.
10．10sin　10
解析：根据题意，得∠AOB＝×2π＝，故d＝2×5sin＝10sin(t∈[0,60])．∵t∈[0,60]，∴∈[0，π]，当t＝30时，d最大为10 cm.
11．2
解析：由已知得tan α＝3，∴n＝3m.又m2＋n2＝10，∴m2＝1.又sin α<0，∴m＝－1，n＝－3.故m－n＝2.
12．5
解析：如题图2，由题意可得∠AOB＝，OA＝3，所以在Rt△AOD中，∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×3＝，可得CD＝3－＝.由AD＝AO·sin＝3×＝，可得AB＝2AD＝＝3.所以弧田面积S＝(弦×矢＋矢2)＝×＝＋≈5(平方米)．
13．解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|.
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－；
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
(2)当a＞0时，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin＞0.
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；
当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
14．解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t秒钟，
则t·＋t·＝2π.
所以t＝4，即第一次相遇时所用的时间为4秒钟．
设第一次相遇时，相遇点为C，
则∠COx＝×4＝，
则点P走过的弧长为×4＝，
点Q走过的弧长为×4＝.
xC＝－cos×4＝－2，
yC＝－sin×4＝－2.
所以点C的坐标为(－2，－2)．