人教B版（2019）数学必修第三册综合复习：同角三角函数的基本关系及诱导公式达标训练（含答案）

同角三角函数的基本关系及诱导公式
一、选择题
1．已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
2．(2020届陕西高三模拟)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
3．已知tan(α－π)＝，且α∈(，)，则sin(α＋)＝(　　)
A. B．－ C. D．－
4．(多选题)若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin D．sin＝cos
5．已知α∈(，π)，且cos α＝－，则＝(　　)
A. B．－ C. D．－
6．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为(　　)
A．3 B．－3 C．1 D．－1
7．若＝，则tan θ＝(　　)
A．1 B．－1 C．3 D．－3
8．若θ∈(，π)，则＝(　　)
A．sin θ－cos θ
B．cos θ－sin θ
C．±(sin θ－cos θ)
D．sin θ＋cos θ
9．已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x＝(　　)
A．－ B. C. D．－
10．(2020·福建三明模拟)已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　)
A. B．－
C. D．－
二、填空题
11．计算：sin 750°＝________．
12．(2020届浙江台州一中高三月考)若sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sin α·cos α＝________．
13．已知sin α＝，α∈(0，)，则cos(π－α)＝________，cos 2α＝________．
14．(2020届辽宁葫芦岛第六高级中学高三月考)已知α为第二象限角，则cos α＋sin α·＝________．
15．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，)，则sin θ－cos θ的值为________．
16．(2020届河北张家口高三月考)已知0<α<，若cos α－sin α＝－，则的值为________．　
三、解答题
17．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)．求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
参考答案
1．C
解析：因为α是第四象限角，sin α＝－，所以cos α＝＝，故tan α＝＝－.故选C.
2．D
解析：sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝＝.故选D.
3．B
解析：tan(α－π)＝tan α＝.由解得cos α＝±.又因为α∈，所以α为第三象限的角，所以cos α＝－，所以sin＝cos α＝－.故选B.
4．CD
解析：因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，＝，＝，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin(π－C)，cos＝cos－＝sin，sin＝sin－＝cos .故选CD.
5．C
解析：因为α∈，且cos α＝－，所以sin α＝＝，所以＝＝＝.故选C.
6．B
解析：由角α的终边落在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.故选B.
7．D
解析：由已知得，＝，∴＝，故tan θ＝－3.故选D.
8．A
解析：因为＝＝＝|sin θ－cos θ|，θ∈，所以sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.
9．D
解析：sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则(sin x＋cos x)2＝.因为sin2x＋cos2x＝1，所以2sin xcos x＝－，即＝＝－，解得tan x＝－或tan x＝－.当tan x＝－时，sin x＋cos x<0，不合题意，舍去，所以tan x＝－.故选D.
10．D
解析： sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－，故选D.
11.
解析：sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝.
12．－
解析：由sin(π－α)＝－2sin，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，所以sin α·cos α＝＝＝－.
13．－　
解析：cos(π－α)＝－cos α＝－＝－，cos 2α＝cos2α－sin2α＝－2－2＝.
14．0
解析：原式＝cos α＋sin α＝cos α＋sin α.因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0.
15．－
解析：∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，∴sin θ－cos θ＝－.
16.
解析：因为cos α－sin α＝－，①所以1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝.所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝.又0<α<，所以sin α＋cos α>0.所以sin α＋cos α＝.②由①②得sin α＝，cos α＝，tan α＝2，所以＝.
17．解：(1)原式＝＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ.
由条件知sin θ＋cos θ＝，故＋＝.
(2)由sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝1＋2sin θcos θ，
即(sin θ＋cos θ)2＝1＋2×，解得m＝.
(3)由
解得或
又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.