(共19张PPT)
教学目标
【知识与能力目标】
1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系。
2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件。
3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件。
【过程与方法目标】
通过从解决实际问题的过程中抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类重要的代数式。
【情感态度价值观目标】
从分数到分式的学习中，体会类比等数学思想或方法，获得代数学习的成功经验。
【教学重点】分式的概念。
【教学难点】准确理解分式的意义，明确分式的分母不能为零。
第十五章 分式
人教版八年级上册
15.1.1 从分数到分式
逆向
变形
转 化
新知导入
转 化
整式的乘除法知识结构
幂的运算性质
整式乘法
单项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘
单项式与单项式相乘
1、同底数幂乘法
2、幂的乘方
3、积的乘方
转化
整式除法
类 比
4、同底数幂除法
多项式与单项式相除
单项式与多项式相除
单项式与单项式相除
转 化
公式的逆用
多项式与多项式相除
因式分解
提公因式法
方法
公式法
十字相乘法
分式
新知导入
宁波方特东方神画——一个有故事的乐园，作为传承中国历史文化的主题乐园，在创意初期即将整个园区以:民间传说、民间戏曲、经典爱情传奇、神秘文化、杂技与竞技、民间节庆、民间手工艺、综合项目八大类别进行区域划分。运用暗黑骑乘、四面幻影成像、实景特技机器人等全球顶级的设备技术，设计出《女娲补天》、《千古蝶恋》、《长城绝恋》、《惊魂之旅》、《神州塔》等20多个优秀的主题项目。
新知导入
一、《牛郎织女》剧场
升降式球幕剧场，乘坐大型升降式旋转平台，观王母分伉俪[kàng lì]、随牛郎织女，共同目睹浪漫唯美的神话爱情传说。
新知导入
二、《长城绝恋》剧场
以中国著名传说“孟姜女哭长城”为题材，通过真人表演与建筑投影、程控运动物体矩阵等高科技手段相结合的表演方式，为你演绎凄美而坚贞的爱情故事。
新知导入
三、《千古蝶恋》
剧场
国内首创四面通透式幻影成像，结合真人舞台表演，随着音乐和唯美的场景如神仙眷侣轻盈飞舞，忽而花开满墙，忽而墙面崩塌甚至消失，真实再现梁山伯与祝英台缱绻[qiǎn quǎn]缠绵的壮美爱情。跨越时空，梁祝化蝶，亦真亦幻的场景将千古绝恋娓娓道来。
新知导入
四、《决战金山寺》剧场
乘船缓缓行进，一如回到烟雨如梦的西湖之畔。水漫金山融汇灾难模拟、水幕电影、天幕表演等众多国际顶尖的高科技表现形式，真实再现白娘子金山寺怒斗法海的紧张场面，演绎中国传统民间故事——《白蛇传》里那段流传千年的壮美爱情传奇。
问题:
（1）台州与宁波的距离约180km，汽车的平均速度是 80km/h，那么我们从台州自驾到宁波约需多少h？
（2）“宁波方特东方神画” 内有四大民间传说剧场，共有k个座位，你知道平均每个剧场有多少个座位吗？
（3） 《牛郎织女》剧场有a排，共有600个座位，平均每排有多少座位？
（4） 《决战金山寺》 剧场有8排，共有（a+b）个座位，平均每排有多少座位？
（5） 《长城绝恋》剧场有p排，共有m个座位，平均每排有多少座位？
（6）《千古蝶恋》剧场有（x+y）排，共有（c+d）座位，平均每排有多少座位？
新知讲解
新知讲解
辨析、思考：
观察式子 ，指出它们的相同点和不同点.
相同点：
不同点
（观察分母）：
都具有分数的形式，
分母中有无字母
两个整式相除的商
分式的概念：
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.
注意：
1）分式是不同于整式的另一类式子，且分母中含有字母是分式的一大特点。
2)分式比分数更具有一般性。
课堂练习
练习1 辨一辨:下面的式子哪些是分式？
练习2 编一编:请任意选择下面两个整式,尽可能多地构造出分式.
课堂练习
问题：通过表格,你发现了什么
练习3 试一试:求下列各式的值,并填表.
X … -2 -1 0 1 2 …
… …
… …
-1
-2
无
意义
2
1
2
无
意义
0
当分母=0时，分式无意义；
当分子=0且分母≠0时，分式值为0.
例题学习
例1 对于分式:
(1)当x取何值时，分式有意义？
(2)当x取何值时，分式值为零？
(3)当x=1时，分式值为多少？
(4)选择一个你喜欢x的值代入求分式的值.
课堂练习
(1)当x 时，分式 有意义.
练习4 填一填:
(2)当x 时，分式 有意义.
(3)当x 时，分式 .
(4)当m 时，分式 有意义.
(5)当m 时，分式 有意义.
课堂练习
练习5 议一议:
X … -2 -1 0 1 2 …
？ … 0 ﹡ ﹡ ﹡ 无 意义 …
(1)你认为表中的“？”是一个怎样的代数式？
(2) 你能再提出一个有关分式 取值的问题吗
拓展提升
解：由题意得x2 -2x+m≠0，且无论x取何值时，分式总有意义
∴x2 -2x+1≠1-m， 即(x -1)2≠1-m，
又∵(x -1)2≥0
∴1-m<0即m>0
∴当m>0时，分式总有意义.
课堂小结
实际 问题
分式
定义
有无意义
取值
字母取值，求分式的值
分式取值，求字母的值
列式
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教学目标
1、理解分式的基本性质；
2、会用分式的基本性质将分式变形；
3、掌握分式的符号法则.
温故知新
实际 问题
分式
定义
有无意义
取值
字母取值，求分式的值
分式取值，求字母的值
列式
书P157
新知导入
解:(1)要使分式有意义,则分母2m-n≠0，即n≠2m；
(2)要使分式有意义,则分母－4a≠0，即a≠0且a≠4；
新知导入
解：由题意得x-1＝0
∴x＝1.
此时2x2+5≠0
∴当x＝1时，分式值为0.
分式的值＝0
分子的值＝0
分母的值≠0
解：由题意得∣x∣-5＝0 且(x＋3)(x-5)≠0，
∴x＝±5且x≠-3和5
∴当x＝-5时，分式值为0.
15.1.2 分式的基本性质(1)
人教版八年级上册
温故知新
问题1
小学学过分数计算，请你快速计算下列各式，并说出计算根据：
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变.
分数的基本性质:
新知讲解
1.下列从左到右的变形成立吗？为什么？
（类比分数的基本性质，得出分式的基本性质）
（二）类比归纳
2.你能归纳出以上所体现的变形吗？
3.会用字母表达式表示吗？
分式的基本性质
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
新知讲解
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
分子分母都
分子分母都
分子分母都
乘以a
除以2b
除以(a-1)
新知讲解
观察分子或分母如何变化
例2 填空：
1
2x
a2+ab
2ab-b2
新知讲解
例3 判断下列变形是否正确.
( )
(c≠0)
( )
( )
（1）
（2）
（3）
（4）
( )
×
√
×
×
新知讲解
例4 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号：
符号法则：
（五）符号规律
分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
新知讲解
例5 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：
新知讲解
例6 不改变分式的值把分子、分母的系数都化为整数：
新知讲解
例7 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数.
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教学目标
1．理解分式约分的概念，了解最简分式的概念;
2．会用分式的基本性质进行分式约分.
列式
温故知新
实际 问题
分式
定义
有无意义
取值
字母取值，求分式的值
分式取值，求字母的值
书P157
类比
分数的基本性质
分式的基本性质
约分
通分
1.分式的基本性质：
一个分式的分子与分母同乘（或除以）
一个____________，分式的值______.
，
（C≠0）
2.分式的符号法则：
不变
用字母表示为：
不为0的整式
15.1.2 分式的基本性质(2)
人教版八年级上册
——约分
新知导入
2.观察下列式子与第1题的异同，试一试计算：
1.计算：
新知讲解
把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分.
课堂练习
在约分 时,小颖和小明出现了分歧.
小颖:
小明:
你认为谁的化简对？为什么？
√
分式的约分,通常要使结果成为最简分式.
（分子和分母没有公因式的分式称为最简分式）
例题学习
解:(1)原式=
例1 约分
约分的基本步骤：
(1)找出分式的分子、分母的公因式
(2)原式=
(2)约去公因式，化为最简分式
因式分解
如果分式的分子或分母是多项式，先分解因式再约分
例题学习
解：
（3）原式
例1 约分
（4）原式
变式:
（注意符号问题）
课堂练习
约分
（3）
（4）
（5）
板书设计
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教学目标
1．理解分式通分的概念；
2．会用分式的基本性质进行分式通分.
列式
温故知新
实际 问题
分式
定义
有无意义
取值
字母取值，求分式的值
分式取值，求字母的值
书P157
类比
分数的基本性质
分式的基本性质
约分
通分
定义
公 因式
最简分式
把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分.
分子分母的公因式：
约分：
(1)系数：
最大公约数
(2)字母：
相同字母取最低次幂
先分解因式，再找公因式
(3)多项式：
最简分式：
分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式.
15.1.2 分式的基本性质(2)
——通分
人教版八年级上册
新知导入
1.分数的通分：
问题：什么叫做分数的通分？
最简公分母：
4×3×2=24
根据分数的基本性质，把几个异分母的分数分别化成同分母的分数
——分数的通分.
新知讲解
问题 类比分数的通分你能把下列分式化为分母相同的分式吗？
（1）分式通分的概念
（2）如何进行分式通分？
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化
成同分母的分式（分式值不变）叫做分式的通分.
系数
最小
公倍数
最简
公分母
最高
次幂
单独字母
（第一要看系数；第二要看字母）
通分要先确定分式的最简公分母。
新知讲解
例1 通分：
解：
最简公分母是
新知讲解
例1 通分：
解：
最简公分母是
课堂练习
3. 三个分式 的最简公分母是
1.三个分式
的最简公分母是（ ）
B.
C.
D.
2.分式
的最简公分母是_________.
A.
变式（1）
变式（2）
变式（3）
新知讲解
例2（补充）通分
课堂总结
变形名称 定义 过程 结果 运算
约分
通分
约分与通分的比较
(1)系数：最大公因数
(2)字母：相同字母取最低次幂
(3)多项式：先分解因式，再找公因式
约去分式中分子和分母的公因式
公因式
最简分式
或整式
乘除
异分母→同分母（值不变）
最简 公分母
(1)系数：最小公倍数
(2)字母：相同字母取最高次幂
(3)多项式：先分解因式，再取最高次幂
同分母分式
加减
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教学目标
教学目标：
理解并掌握分式的乘除法法则，能利用分式的乘除法解决些
相关的实际问题．
重点：
掌握分式的乘除运算．
难点：
分子、分母为多项式的分式乘除法运算．
类比
分数的运算
类比
分数的基本性质
列式
温故知新
实际 问题
分式
定义
有无意义
取值
分式取值(0)，求字母的值
字母取值，求分式的值
书P157
分式的基本性质
约分
通分
定义
公 因式
最简分式
定义
最简公分母
分式的
运算
加减
乘除
乘方
变形名称 定义 过程 结果 运算
约分
通分
约分与通分的比较
(1)系数：最大公因数
(2)字母：相同字母取最低次幂
(3)多项式：先分解因式，再找公因式
约去分式中分子和分母的公因式
公因式
最简分式
或整式
乘除
异分母→同分母（值不变）
最简 公分母
(1)系数：最小公倍数
(2)字母：相同字母取最高次幂
(3)多项式：先分解因式，再取最高次幂
同分母分式
加减
15. 2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除(1)
——乘除
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新知导入
1、一个长方体容器的容积为V,底面的长为a, 宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少
长方体容器的高为 ,
水高为
2、大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
大拖拉机的工作效率是 ( ) 公顷/天, 小拖拉机的工作效率是( )公顷/天,
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的( )倍.
根据题意，列出式子
→如何计算？
新知讲解
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，
把分母相乘的积作为积的分母。
分式的乘法法则
用符号语言表达：
新知讲解
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
分式除法法则
用符号语言表达：
→转化为乘法运算
例题讲解
练习 计算：
例1 计算:
解：
运算结果应化为最简分式
例题讲解
乘法运算时,分子或分母能分解的要分解.
例2 计算:
练习 计算：
例题讲解
“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米(a>1)的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克。
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量
的多少倍？
例3 解决问题
解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是
（a2-1）m2，
单位面积产量是 kg/m2；
“丰收2号”小麦的试验田面积是（a -1）2 m2，
单位面积产量是 kg/m2．
∵ 0＜（a -1）2 ＜a2-1，
∴ ＜ .
即“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
例题讲解
例3 解决问题
解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是
（a2-1）m2，
单位面积产量是 kg/m2；
“丰收2号”小麦的试验田面积是（a -1）2 m2，
单位面积产量是 kg/m2．
∵ 0＜（a -1）2 ＜a2-1，
∴ ＜ .
即“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
例题讲解
例3 解决问题
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是
“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍．
解：（2）
课堂总结
类比
分数的运算
类比
分数的基本性质
列式
实际 问题
分式
定义
有无意义
取值
分式取值(0)，求字母的值
字母取值，求分式的值
书P157
分式的基本性质
约分
通分
定义
公 因式
最简分式
定义
最简公分母
分式的
运算
加减
乘除
乘方
法则
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教学目标
教学目标：
理解并掌握分式乘方的计算法则，会进行分式的乘方、乘
除法的混合运算．
重点：
分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算．
难点：
分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方
运算中符号的确定．
温故知新
类比
分数的运算
类比
分数的基本性质
列式
实际 问题
分式
定义
有无意义
取值
分式取值(0)，求字母的值
字母取值，求分式的值
书P157
分式的基本性质
约分
通分
定义
公 因式
最简分式
定义
最简公分母
分式的
运算
加减
乘除
乘方
法则
分式乘分式，
用分子的积作为积的分子，
分母的积作为积的分母.
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
分式的乘法法则
分式的除法法则
温故知新
想一想：分式乘除混合运算应如何计算呢？
计算：
乘除混合运算可以统一为乘法运算.
15. 2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除(2)
乘方及混合运算
人教版八年级上册
新知导入
你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？
分式乘方,要把分子、分母分别乘方．
分式的乘方法则：
一般地，当n 是正整数时，
新知讲解
例1 计算：
解：
数与式有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除.
新知讲解
答：不正确，正确的计算过程是：
课堂练习
B
课堂练习
C
D
课堂练习
4.计算：
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教学目标
教学目标：
1.理解负整数指数幂a－n=.(a≠0，n是正整数)，
并掌握整数指数幂的运算性质；
2.会用科学记数法表示绝对值小于1的数．
重点：
掌握整数指数幂的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小于1的数．
难点：
负整数指数幂的性质的理解和应用．
温故知新
类比
分数的运算
类比
分数的基本性质
列式
实际 问题
分式
定义
有无意义
取值
分式取值(0)，求字母的值
字母取值，求分式的值
书P157
分式的基本性质
约分
通分
定义
公 因式
最简分式
定义
最简公分母
分式的
运算
加减
乘除
乘方
法则
整数指数幂
15. 2 分式的运算
15.2.3 整数指数幂(1)
负整数指数幂
人教版八年级上册
当m=n时
新知导入
二、幂的运算性质：
1、同底数幂乘法
2、幂的乘方
3、积的乘方
4、同底数幂除法
一、乘方的定义：
求几个相同因数的积的运算叫做乘方.
n个a
即 a·a· … ·a=
a
n
指数
幂
底数
5、分式的乘方
(m,n为正整数)
三、0指数幂：
=1
(a≠0)
四、负整数指数幂：
？
当man 中指数n 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂an 表示什么？
新知讲解
计算：
根据同底数幂的除法运算，得：
根据分式的约分，得：
数学中规定：当n为正整数时，
即：a－n(a≠0)是an的倒数.
an 中指数n 可以是负整数吗？
如果可以，那么负整数指数幂 an 表示什么？
1、填空：
（1） = ____， = ____；
（2） = ____， = ____；
（3） = ____， = ____ （b≠0）;
课堂练习
1
1
1
-1
数学中规定：当n为正整数时，
即：a－n(a≠0)是an的倒数.
新知拓广
思考：引入负整数指数和0指数后， （m，n 是正整数）
这条性质能否推广到m，n 是任意整数的情形？
即：
即：
即：
幂的其他运算性质能否也推广到m，n 是任意整数的情形？
新知拓广
整数指数幂的运算性质：
整数指数幂的运算性质可以归结为这三条.
例题学习
例1 计算：
例2 计算：
解：
课堂练习
2、计算：
÷
课堂总结
二、整数指数幂的运算性质：
即：a－n(a≠0)是an的倒数.
一、负整数指数幂：
当n为正整数时，
整数指数幂的运算性质可以归结为这三条.
温故知新
类比
分数的运算
类比
分数的基本性质
列式
实际 问题
分式
定义
有无意义
取值
分式取值(0)，求字母的值
字母取值，求分式的值
书P157
分式的基本性质
约分
通分
定义
公 因式
最简分式
定义
最简公分母
分式的
运算
加减
乘除
乘方
法则
整数指数幂
科学记数法
15. 2 分式的运算
15.2.3 整数指数幂(2)
科学记数法
人教版八年级上册
0.001= = ；
新知导入
0.1=
0.01=
0.000 01= = ．
归纳：
探索：
当引入0指数和负整数指数后，指数由正整数扩大到整数范围,
0.000 1= = ；
0.00 01=
n个0
n个0
探究新知
解：0.003 5=3.5×0.001 =3.5×10－3
规律：
对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．
如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢？
观察这两个等式，你发现10的指数与什么有关？
0.00 01
n个0
0.000 098 2=9.82×0.000 01=9.82×10－5
例题学习
例1 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.3；（2）-0.000 78；（3）0.000 020 09.
例2 将下面用科学记数法表示的数改写成原数.
0.00 01
n个0
解：（1）0.3=3×10-1 ； （2）-0.000 78=-7.8×10-4 ；
（3）0.000 020 09=2.009×10-5.
例题学习
例3 纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm =10-9 m .把 1 nm3 的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上．1 mm3 的空间可以放多少个 1 nm3 的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
解：1 mm =10-3 m，1 nm =10-9 m.
答：1 nm3 的空间可以放1018个1 nm3 的物体.
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