人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 1.1.1 空间向量及其运算 课时作业（含答案）

课时分层作业(一)　空间向量及其运算
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4．则a与b的夹角〈a，b〉＝(　　)
A．30°　　　　　　　　 B．45°
C．60° D．以上都不对
∴a·b＝，∴cos〈a·b〉＝＝．]
2．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有 (　　)
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋．
A．1个　　　B．2个 C．3个　　　D．4个
①(＋)＋＝＋＝．
②(＋)＋＝＋＝．
③(＋)＋＝＋＝．
④(＋)＋＝＋＝．
所以，所给4个式子的运算结果都是．]
3．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则·＝(　　)
A． B．
C． D．
4．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)
A． B．
C．－ D．0
5．设三棱锥O ABC中，＝a，＝b，＝c，G是△ABC的重心，则等于(　　)
A．a＋b－c B．a＋b＋c
C．(a＋b＋c) D．a＋b＋c)
二、填空题
6．已知|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则a·b所夹的角为________．
7．已知向量a，b，c两两夹角都是60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a－2b＋c|＝________．
8．四棱柱ABCD A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，则点B与点D1两点间的距离为________．
三、解答题
9．已知长方体ABCD A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
(1)－；
(2)＋＋；
(3)＋－．
10．如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1．用a，b，c表示以下向量：
(1)；(2)．
11．(多选题)化简下列各式，结果为零的向量为(　　)
A．＋＋　　　　　 B．－＋
C．＋＋－ D．＋＋
12．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是(　　)
A．60°　　　B．120° C．30°　　　D．90°
13．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
14．(一题两空)如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2, 点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|＋|＝______，|－|＝______．
15．在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且||＝2||，||＝||，求||．
课时分层作业(一)　空间向量及其运算答案
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4．则a与b的夹角〈a，b〉＝(　　)
A．30°　　　　　　　　 B．45°
C．60° D．以上都不对
D　[∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2ab＝|c|2，
∴a·b＝，∴cos〈a·b〉＝＝．]
2．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有 (　　)
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋．
A．1个　　　B．2个 C．3个　　　D．4个
D　[根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断：
①(＋)＋＝＋＝．
②(＋)＋＝＋＝．
③(＋)＋＝＋＝．
④(＋)＋＝＋＝．
所以，所给4个式子的运算结果都是．]
3．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则·＝(　　)
A． B．
C． D．
B　[由题意可得＝，∴·＝×1×1×cos 60°＝．]
4．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)
A． B．
C．－ D．0
D　[如图所示，∵·＝·(－)＝·－·＝|OA|·|·cos∠AOC－|·|OB|·cos∠AOB＝0，
∴⊥，∴〈，〉＝，cos〈，〉＝0．]
5．设三棱锥O ABC中，＝a，＝b，＝c，G是△ABC的重心，则等于(　　)
A．a＋b－c B．a＋b＋c
C．(a＋b＋c) D．a＋b＋c)
D　[如图所示，＝＋＝＋(＋)
＝＋(－＋－)＝(a＋b＋c)．]
二、填空题
6．已知|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则a·b所夹的角为________．
π　[cos〈a·b〉＝＝＝－，
又〈a·b〉的取值范围为[0，π]，
∴〈a，b〉＝π．]
7．已知向量a，b，c两两夹角都是60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a－2b＋c|＝________．
　[∵|a－2b＋c|2＝a2＋4b2＋c2－4a·b－4b·c＋2a·c
＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3，
∴|a－2b＋c|＝．]
8．四棱柱ABCD A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，则点B与点D1两点间的距离为________．
　[四棱柱ABCD A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°．
∴＝＋＋，
∴2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 60°＝2，
∴||＝，
∴点B与点D1两点间的距离为．]
三、解答题
9．已知长方体ABCD A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
(1)－；
(2)＋＋；
(3)＋－．
[解]　(1)－＝＋＝＋＝．
(2)＋＋＝．
(3)设M是线段AC′的中点，则
＋－
＝＋＋
＝(＋＋)＝＝．
向量、如图所示．
10．如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1．用a，b，c表示以下向量：
(1)；(2)．
[解]　(1)＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝(＋2＋2)
＝a＋b＋c．
(2)＝＋＝＋(－)
＝＋＋
＝a＋b＋c．
11．(多选题)化简下列各式，结果为零的向量为(　　)
A．＋＋　　　　　 B．－＋
C．＋＋－ D．＋＋
ABCD　[对于A，＋＋＝＋＝0．
对于B，－＋＝＋＝0．
对于C，＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0．
对于D，＋＋＝＋＋＝＋＝0．]
12．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是(　　)
A．60°　　　B．120° C．30°　　　D．90°
B　[a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e
＝1－1×1×－2＝－，
|a|＝＝＝
＝＝．
|b|＝＝＝＝＝．
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
∴〈a，b〉＝120°．]
13．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
－13　[∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13．]
14．(一题两空)如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2, 点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|＋|＝______，|－|＝______．
2　　[|＋|＝||＝2，＝，
·＝2×2×cos 60°＝2，
故|－|2＝|－|2＝2－·＋2＝4－2＋×4＝3，
故|－|＝．]
15．在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且||＝2||，||＝||，求||．
[解]　∵＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋．
∴·＝
＝2－·＋·－·＋2＋2
＝a2－a2＋a2－a2＋a2＋a2
＝a2，
故||＝＝a，
即||＝a．
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