《空间向量及其运算》学考达标练
一、单项选择题
1.(2020·山东宁阳二中月考)如图，在平行六面体中，向量是（ ）
A.有相同起点的向量
B.等长向量
C.共面向量
D.不共面向量
2.（2020·安徽定远重点中学高二上期末）如图，已知正方体的棱长为，设，则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2020·抚顺一中月考）设四边形，为空间任意一点，且，则四边形是( )
A.平行四边形
B.空间四边形
C.等腰梯形
D.矩形
二、多项选择题
4.（2020·鞍山海城高中月考）是两个非零向量，以下命题正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题
5.（2020·莱芜四中月考）如图，在平行六面体中，为与的交点，连接，则=_______;_______.
6.（2020·锦州北镇高中月考）四棱柱中，,，则与所成角为_____.
四、解答题
7．（2020·铁岭高中月考）如图，在长方体中，，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，
（1）单位向量共有多少个？
（2）试写出模为的所有向量；
（3）试写出与相等的所有向量；
（4）试写出的相反向量.
参考答案
1.
答案：C
解析：由题意可得.因为共面，所以共面.
2.
答案：D
解析：因为正方体的棱长为，，所以是的补角，因为，所以=60°，所以，故选D
3.
答案：A
解析：因为，所以.所以且，所以四边形为平行四边形.
4.
答案：
解析：只有是假命题，故选.
5.
答案：,
解析：由题图可知,.
6.
答案：
解析：四棱柱中,，，，因为且，所以是与所成角或其补角，设,,则， ,所以，所以，所以.
7.
答案：见解析
解析：（1）由于=1，所以这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.
（2）模为的向量为.
（3）与向量相等的所有向量（除它自身之外）为,.
（4）向量的相反向量为.
4 / 5《空间向量及其运算》高考通关练
一、单项选择题
1.(2020·陕西西安中学高二期末)如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.(2020.泰安四中月考) 已知是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2020东明县一中期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，,,则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
4.已知正方体的中心为，则在下列各结论中，正确的结论有（ ）
A.与是一对相反向量
B.与是一对相反向量
C.与是一对相反向量
D.与是一对相反向量
5. 在正方体中，下列命题正确的为（ ）
A.
B.
C. 与的夹角为60°
D.正方形的体积为
三、填空题
6.已知，，与的夹角是，则_____, =______.
7.( 2020·辽宁鞍山岫岩中学测试) 点是点在坐标平面内的射影，则=_____.
8. ( 2020·山东潍坊期末)如图,正四面体的棱长为1，点是棱长的中点, 则=_______.
9. ( 2020·博兴一中月考)在平行六面体中，
,,则=_______;与的夹角的余弦值为______.
四、解答题
10. 如图，正方形与正方形的边长均为1，且平面平面，点在线段上移动，点在线段上移动，设.
（1）求线段的长度；
（2）当为何值时，线段的长最小
参考答案
1.
答案：A
解析：由平行六面体的性质可得,则
.故选A.
2.
答案：B
解析：由题意得,
.
所以.所以.
3.
答案：D
解析：
设,则,.因为,所以
.所以.因为,所以
.又,所以.故异面直线与所成角的余弦值为.
4.
答案：ACD
解析：,所以A正确.因为,又,所以,故B错误. ,所以C正确.因为,又,所以与是一对相反向量,故D正确.综上，正确的结论有ACD.
5.
答案：AB
解析：
;如图,
与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°;正方形的体积为.综上可知,AB正确.
6.
答案：， 3
解析：,.
7.
答案：
解析：因为点是点在坐标平面yOz内的射影,所以,所以.
8.
答案：
解析：因为正四面体的棱长为1，点是棱的中点,所以.
9.
答案：，
解析：(1)令,则.因为,所以
；
(2) .
10.
答案：见解析
解析：
(1)由已知得,则,
所以
故
.
(2)由(1)知当时, 取到最小值,即,分别是,的中点时的长最小，最小值为.
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